PRINCIPE DE TORICELLI

l'espace parcouru pendant une seconde, par une molécule s*échappantderorifice, en supposant que son mouvement reste uniforme pendant ce temps. Cette Titesse dépend essentiellement de la hauteur du liquide au-dessus du centre de gravité de Torifice, hauteur que l'on nomme la charge. Si Ton suppose qu'il n'y a ni frottement aux bords de roriiice, ni autre cause perturbatrice, la vitesse est donnée par le principe suivant.

t39. Principe de Toricelli. — La vitesse d'un liquide à la sortie d'un m/ice pratiqué en mince paroi est égale à celle qu'acquerrait un corps en tombant verticalement du niveau du liquide au centre de gravité de l'orifice ; le vase étant supposé assez grand pour que les mouvements du liquide soient mensibles dans son intérieur. D'après ce principe, dû à Toricelli, la vitesse sera exprimée par la formule v = [/ïgû , dans laquelle H représente la charge.

Pour démontrer ce principe, soit ab(figA 80) un oriflce pratiqué dans la paroi d'un vase, et att'o' une tranche liquide infiniment mince, sortie pendant un temps infiniment petit G, avec une vitesse v. Posons ofc — s , aa' = h, te = H. La force qui a chassé hors du vase la masse s^hd de la tranche a66' a' dont la densité est d, est égale au poids de la colonne liquide a5a, c'est-à-dire à Hs . (f. La quantité de mouvement produite par cette force pendant

le temps ô est donc égale à vXs^h.d. Considérons maintenant un cylindre S du môme liquide, de section s, et dont la hauteur infiniment petite h' soit telle que cette colonne tombe de sa propre hauteur pendant le temps 0 que met la colonne àbb'a' à sortir du vase. La force qui met cette masse S en mouvement n'est autre chose que son propre poids s.h' .d; «t la quantité de mouvement produite au bout du temps ô considéré, est p' X » . d . V ; en appelant v' la vitesse acquise par la colonne S après être tombée de la hauteur h' . Or, les forces sont entre elles comme les quantités de mouvement (56) ; on aura donc

Usd : sh'd =vxshd:v' X sh'd ; ou bien U:\ =vh:v\

De plus , les espaces h et V étant infiniment petits , sont entre eux comme les vitesses v et v' ; on a donc encore hlh' = v l v'. Multipliant les deux dernières proportions l'une par l'autre, et remarquant que v' étant la blesse acquise par la colonne S en tombant de la hauteur /i', on a v' = \/ïgh' ; il vient

Yih:h'=v^h: 2flf/i' ; d'où enfin v = {/ï^l = 4™,429 i/TT . t'està Varignon qu'est due la marche de cette démonstration.

Fig. 4 84.

C^Bséquenees. — Il résulte du principe de Toricelli, que la vitau d'écoulement d'un liquide est proporlionnelle à la racine carrée de la chary. On voit aussi que cette vitesse ne dépend pas de la densité du liquide ; de sorte qu*un même vase mettra toujours le même temps à se vider, quel que soit le liquide qu'il renferme. On peut se rendre compte de ce dernier résultat, en obsenant que, si la force qui chasse la tranche liquide qui occupe Torifice est proporlionnelle à sa densité, la masse de cette tranche est aussi proportionnelle à cette densité ; d*oii il résulte que, la force et la masse mise en mouvement variant dans le même rapport, la vitesse doit rester la même (56).

Nous avons supposé qu'il n'existait pas de pression extérieure, à la surface du liquide, ni à Torifice. Si de semblables pressions existaient, il faudrait

prendre leur différence, la remplacer par une colonne liquide équivalente, et l'ajouter à la valeur de H, dans la formule qui donne la vitesse, ou l'en r^ trancher, suivant que la pression la plus grande agirait à la surface du liquide ou à Torifice.

240. Vérificati^Bm par l'espérience. — Quand on vent vérifier le principe de Toricelli, il faut avoir soin d'employer un réser^•oir très grand par rapport à l'orifice, afifl de rendre insensibles les mouvements qui se produisent dans le voisinage de ce

dernier. Ces mouvements se constatent en mêlant de la sciure de bois au liquide; on voit alors les parcelles en suspension converger vers l'orifice, à partir d'une certaine distance, tandis que les parties plus éloignées descendent lentement sans éprouver de déplacements relatifs. Quand le vase est de petites dimensions par rapport à l'orifice, il peut se former nnc dépression au-dessus de ce dernier, «, ^ {fig. 181). Quand l'orilice est au fond du vase, la dépression peut se transformer en un canal , r, qui s'étend jusque dans l'intérieur de la veine. Ce phénomène se manifeste surtout quand le vase a une forme conique, ou quand on imprime an li(jnide un mouvement de rotation. La dépense est aloi*s considérablement diminuée.

Cela posé, une première méthode pour vérifier le principe de Toriceiîi, consiste à déduire la vitesse du liquide h sa sortie, de l'amplitude du jet

Fit:. 4si. — I

PRINCIPE DE TOKICELU. 223

parabolique, et à comparer cette vitesse à celle que donne la formule. Toricelli et Roemer ont imaginé, pour cela, des appareils assez exacts. La fig. 182 en représente un, décrit par Musschenbroeck. ac est un vase cylindrique vertical , très large en c, afin que le niveau du liquide ne varie pas sensiblement pendant l'expérience. Ce vase porte plusieurs orifices r, 7, m, w, p placés les uns au-dessus des autres. L'amj litude x du jet étant mesurée sur une droite horizontale ah, on en conclut la vitesse a à la sortie d'un orifice, m, au

moyen de la formule y=x tang w— ;^ .^ , démontrée précédemment (106),

ians laquelle il faut faire w = 0 , puisque la direction du jet est ici horizontale ; DD a aloi^

y^ — ^—' d'où a=xl/^. [I[

y, ou ma y a dû être pris négativement, parce que l'origine des coordonnées de la trajectoire est au point m.

Si l'on compare cette vitesse à celle d'un corps qui tomberait de la hauteur cm, on trouve un accord satisfaisant, surtout si Ton opère avec le mercure, sur lequel la résistance de l'air a peu d'influence. D'après les expériences de Bossut, les différences n'atteignent pas 0,01.

Il est aussi une conséquence remarquable que l'expérience vérifie : c'est que les jets qui partent successivement de deux orifices, n et r/, se rencontrent sur la hgne ab lorsque leurs distances aux niveaux c et ab sont égales deux à deux de manière qu'on ait cq = na\ et qa = en. En effet, la formule [l] donne x^ = Wy : g = 4Hî/ , en remplaçant a par sa valeur \/ïgH . Or, le produit Ht/ est le môme pour les deux orifices, car on a cq Xqa = en x na.

En adaptant au bas du vase ac un tube cylindrique horizontal pouvant tourner sur lui-même, de manière à lancer par un orifice latéral un jet liquide dans différentes directions, on peut obtenir des jets d'une amplitude variable. La formule générale devient, dans ce cas, en faisant 1/ = 0, gx = a^ sin 2w ; elle fait connaître la vitesse a à l'orifice, quand on connaît la direction w du jet et l'amplitude x mesurée sur la droite horizontale qui passe par cet orifice. On voit que deux jets lancés de manière à faire avec l'horizon des angles dont la somme soit égale à 90°, doivent avoir la même amplitude ; car sin2w reste le môme pour 90° — w et pour w. C'est ce que l'expérience vérifie. On peut aussi reconnaître que le jet a la forme d'une parabole, en le voyant se projeter sur une semblable courbe tracée d'avance sur une table dressée lerriérc l'appareil.

(^and le jet est vertical , le liquide doit s'élever à la hauteur du niveau c , )uisque la vitesse à la sortie est celle qu'un corps acquerrait en tombant de ce iWeau jusqu'à l'orifice (105). Ce résultat se vérifie approximativement avec le nercure, en prenant certaines précautions. C'est par là que Toricelli fut conduit i la découverte du principe qui porte son nom, et qu'il publia en 1043.

Auparavant, on admettait, d'après Castelli, aussi disciple de Galilée, quela vitesse était proportionnelle à la charge.

«li. Mesure direete de la vitesse. — La méthode de vérification que nous venons d'exposer n'est pas suffisamment exacte, à cause de la résistance de l'air, et de l'épaisseur de la veine liquide, qui empêche d'évaluer exactement l'amplitude du jet. On peut mesurer la vitesse i», au moyen de la dépense au bout d'un temps donné, quand l'écoulement est uniforme, et rorific^, s, de jj^randeur connue. Soit p le poids de liquide sorti pendant le temps t; si nous supposons que la première tranche sortie ait continué de marcher avec la même

vitesse pendant 1*, elle sera la base ^ ^^^^^^^^^^^^^ d'un cylindre liquide, dont l'autre base

sera l'orifice, et dont la longueur représentera la vitesse cherchée. Or, le poids de ce cylindre est s . t; . (/ , en désignant par d la densité du liquide. Le poids sorti pendant 1» est aussi plt\ on aura donc

p l t = svd; d'où V =z p :t$d.

Fig. I8:K 848. Niveau eonstant. — Nous

avons supposé que la vitesse d'écoulement reste constante pendant le temps t, ce qui exige que le niveau ne change pas pendant ce temps. Pour remplir cette condition, on emploie divers appareils. Trop-plein. — Nous citerons d'abord le trop-plein (fig. 183). L'eau arrive dans un résenoir muni de plusieurs orifices S, par un tube à robinet R.

Ce tube plonge dans une petite caisse submergée c, destinée à détruire l'agitation de l'eau affluente. La posilioD constante du niveau est réglée par le bord horizontal d'une échancrure fl, par laquelle un excès de liquide s'écoule continuellement; de manière que le niveau ne peut s'élever que d'uiie quantité négligeable, au-dessus de ce bord.

Flotteur de De Prony. — Le flotteur de De Prony (fig, 184) constitue l'appareil le plus exact pour avoir une vitesse constante dans les plus petites subdivisions du temps. AB est un résertoir rempli d*eau, dans lequel flottent deux caisses rectangulaires c, c soutenant un bassin W par l'intermédiaire des tringles 1J,t\ de manière que ces caisses déplacent un volume d'eau dont le poids est égal à la somme des poids des

Fig. 184.

CONTRACTION DE L.\ VEINE. 2â5

caisses, des tringles, et du bassin 66. Une plaque de cuivre est disposée verticalement entre les deux flotteurs, sur la face antérieure du réservoir; elle est percée de plusieurs ouvertures fermées au moyen de plaques retenues par des vis. Une de ces plaques porte l'orifice à bords tranchants par lequel l'eau doit s'émuler. Ce liquide tombe dans un entonnoir fixé au réservoir, et arrive dans le bassin 66, par un tube flexible destiné à empêcher le choc de la veine liquide sur le fond, il est facile de voir que l'eau qui sort, tombant dans le bassin 66, augmente le poids du système flottant, et force les caisses ce à s'enfoncer davantage, de manière à déplacer une nouvelle quantité d'eau dont le volume soit égal à celui du liquide sorti. Le niveau ne baissera donc pas. Deux cloisons «, fi, qui ne s'élèvent pas tout à fait jusqu'au niveau, empêchent l'agitation produite par le mouvement des caisses, de se faire sentir à l'orifice.

«43. Au moyen des appareils que nous venons de décrire, on vérifie d'abord que les vitesses sont entre elles comme les racines carrées des charges. 11 suffit, dans ce cas, pour comparer les vitesses, de comparer les poids de liquide écoulés pendant le même temps, sous diff'érentes charges. Pour vérifier k formule v = 4,429 i/^j il faut chercher si la vitesse qu'elle donne est <i'accord avec celle que fournit l'expérience. En opérant ainsi et ayant soin d'employer des orifices en mince paroi, ou à bords tranchants, pour éviter les frottements, on trouve que la vitesse effective est constamment moindre que la vitesse théorique. Poleni a reconnu que la première

Q'est environ que les deux tiers de la seconde,

*^'esl-à-dire de celle que donne la formule do

Toricelli. Cette discordance provient de plusieurs

Causes, que nous allons examiner.