S 2. — DU MOUVEMENT ET DES FORCES

L Dn monvement en lui-même.

40. On nomme mobile le corps dont on considère le mouvement. Lie mouvement peut être un mouvement de translation, dans lequel tous les points du corps se meuvent parallèlement les uns aux autres ; ou de rotation autour d*un axe; ou enfin une combinaison de ces deux mouvements.

Le mouvement de translation peut être rectiligne ou curviligne. Nous ne nous occuperons d*abord que du mouvement de translation rectiligne. Ce mouvement étant le même pour tous les points du corps, nous pouvons, pour simplifier, considérer un seul point matériel. Le mouvement d*un pareil point peut être uniforme ou vatié.

4t. HoavemcBt aniforme. — Le mouvement uniforme est celui dans lequel des espaces égaux sont parcourus par le mobile dans des temps égaux. Le rapport constant entre V espace parcouru et le temps employé à le parcourir; ou, ce qui revient au même, Vespace parcouru dans lunité de temps, se nomme la vitesse du mouvement uniforme. Cette sorte de mouvement est celui que présentent les corps abandonnés entièrement à eux-mêmes; puisque, en vertu de Yinertie, ils ne peuvent rien changer aux conditions de leur mouvement.

Proposition I. — L'espace parcouru dans le mouvement uniforme est proportionnel au temps. Cette proposition est la conséquence directe de la définition de la vitesse. Il en résulte que, si l'on désigne par v la vitesse, et par e Tespace parcouru au bout du temps /, on aura

[1] e=vt\ d'où v=y, et /=

L'expression [i] se nomme la formule du mouvement uniforme. Les deux autres servent à calculer la vitesse, quand Tespace parcouru et le temps sont

DU MOUVEMENT EN LUI-MÊME. i 47

donnés; et le temps, quand l'espace et la vitesse sont connus. Dorénavant

nous prendrons toujours la seconde sexagésimale pour unité de temps.

Il résulte de la formule [1] que, si nous représentons le temps t par la

longueur AB {fig. 24) (ce qui veut dire que cette

-|fi longueur renferme autant de fois l'unité de longueur

que le temps représenté renferme de secondes), et la

vitesse par BC perpendiculaire à ÂB , Taire du

^ " rectangle ABCD peut servir à représenter Tespace

Fig. 24. parcouru; ce qui veut dire qu*il contient autant de

fois l'unité de surface, que l'espace parcouru renferme

de fois Tunité de longueur.

4S. HOUYSHKHT YAUt. — Dans le mouvement varié, les espaces parcourus par le mobile pendant des temps égaux, ne sont plus égaux entre eux ; l'état du mouvement change à chaque instant, ce qui ne peut avoir lieu que par l'intervention de causes étrangères au corps. Il résulte de là que la vitesse ne peut plus se définir comme dans le cas du mouvement uniforme.

La vitesse, à un instant donné dans le mouvement varié, est le rapport entre Fespace infiniment petit parcouru à partir de cet instant, et le temps aussi infiniment petit employé à parcourir cet espace, temps pendant lequel le mouvement doit être regardé comme uniforme. En d'autres termes, la vitesse est la dérivée de l'espace par rapport au temps. On dit encore que c'est la vitesse du motiv^men/ fmt/brme qui animerait le mobile, si, à l'instant considéré, il était abandonné entièrement à lui-même, c'est-à-dire débarrassé de toutes les causes capables de modifier son mouvement.

43. ■ouireinciit anirorméiiicnt ^arlé. — Il peut arriver que la vitesse varie d'une quantité constante pendant le même temps : le mouvement est dit alors uniformément varié. On distingue le mouvement uniformément accéléré, quand la vitesse va en augmentant , et le mouvement uniformément retardé, quand elle va en diminuant.

Proposition 11. — Dans le mouvement uniformément varié, le changement éprouvé par la vitesse au bout d'un certain temps est proportionnel à ce temps. En effet, soit u la vitesse initiale du mobile, c'est-à-dire la vitesse à un instant donné à partir duquel on compte le temps, w Y accélération, c'estrà-dire la quantité constante dont varie la vitesse en une seconde, et v la vitesse au bout de t secondes, on aura, d'après la définition même du mouvement uniformément varié:

[2] v = u±:wt.

Le signe -4- correspond au cas où le mouvement est accéléré, et le signe — au cas où il est retardé. Dans ce dernier cas, la vitesse devient nulle quand on a u = wt, c'est-à-dire au bout d'un nombre de secondes représenté par u i w.

La formule [2] contient l'énoncé de la proposition. Si l'on y fait «=0, ce

NOnONS GENERALES.

qui revient à supposer que le mobile part de Tétat de repos, on aura au bout du tenfps t :

[3] v=zwt;

ce qui s*énonce en disant que la vitesse acquise au bout d'un certain temps est proportionnelle à ce temps.

Proposition III. — Dans le mouvement uniformément accéléré, l'espace parcouru par un mobile partant de l'état de repos, est proportionnel au carré du temps employé à le parcourir. Représentons le temps par la longueur ÂB (fig. 25), et la vitesse au bout de ce temps, par la longueur BC prise sur la perpendiculaire à Textrémité de ÂB. Divisons le temps ÂB en parties égales

très petites Aa, a|3, Py... Les vitesses acquises après les temps représentés par les longueurs Aa, A|3, A7..., seront données par les longueurs aa, p6, 7c..., qui sont proportionnelles à ces temps, d'après ce que nous venons de voir.

Supposons maintenant que, pendant chacune des subdivisions du temps Âa, aj3..., la vitesse soit constante et égale à celle qui n*a lieu réellement qu*à la fîn de cet intervalle; le mouvement étant uniforme, les espaces parcourus pendant les différentes subdivisions du temps seront représentés (41) par les surfaces des rectangles Aa, ph\ 7c'... ; et l'espace parcouru au bout du temps AB, par la somme de ces rectangles. Cette somme diffère de la surface du triangle rectangle ABC de tout ce qui dépasse Thypoténuse AC. Il est facile de voir que, si le temps AB avait été divisé en un nombre plus grand, double par exemple, de parties égales, la somme des rectangles aurait moins différé de la surface du triangle ABC : l'excès aurait été diminué, des parties qui sont ombrées dans la ligure. On voit aussi que, à mesure que les subdivisions du temps seront plus nombreuses, la somme des aires des rectangles différera de moins en moins de Taire du triangle ABC. Enfin, à la limite, quand le temps sera partagé en un nombre infîni de parties égales infiniment petites, c'est-à-dire quand la vitesse variera d'une manière continue, l'espace parcouru pendant le temps AB sera représenté par la surface de ce triangle. Or, cette surface a pour mesure jABxBC; posant AB=(, BC=v, et remarquant qu'on a trouvé V = wt, on obtient pour l'espace parcouru

Fig. 25.

c = |ABxBC,

ou

e = iwt^; [4]

formule qui contient la proposition énoncée. Cette démonstration élégante est