DU MOUVEMENT EN LUI-MÊME
due à Galilée, qui a découvert les lois du mouvement uniformément varit^. On peut la traduire analytiquement de la manière suivante.
Divisons comme ci-dessus le temps ^ en n parties égales, qui seront représentées par — . Les vitesses après les intervalles de temps
seront
( it
2tt)-^,
3tt. - , . . .
nw —
d'après la formule [3]. Si nous supposons le mouvement uniforme pendant chaque subdivision du temps, avec la vitesse qui n*a lieu réellement qu*à la fin de chacune d'elles, les espaces parcourus pendant les intervalles successifs seront
d'après la formule du mouvement uniforme. La somme S de ces espaces sera, en mettant f-r- en facteur commun,
S = tf^(l+24-3-h +n) = w- + — ,
en remarquant que la quantité entre parenthèses est la somme des termes
d'une progression arithmétique, somme égale à - — - — . Si maintenant nous
faisons n= >« , ce qui revient à supposer que la vitesse varie d une manière continue, la somme S deviendra Texpression de l'espace parcouru dans le mouvement uniformément accéléré ; le second terme deviendra nul et il restera, pour représenter cet espace.
En comparant cette démonstration à celle qui précède, on voit que le terme
ma
— représente la somme des petits triangles kaa\ M', hcc\.. (flg. 24) qui zn
dépassent la ligne ÂC ; ce qui pourrait se trouver aussi directement.
44. Conséqocnres. — !<> La formule [4] montre que l'espace parcouru
dans le mouvement uniformément accéléré, par un mobile qui part de l'état de
repos, est égal à l'espace qu'il parcourrait d'un mouvemeni uniforme avec la
vitesse moyenne jv ou {wt.
i^ Il résulte de la même formule que, si Ton appelle a Tespace parcouru après une seconde, les espaces parcourus après
seront a, 4a, 9a, 16a ,
et les espaces parcourus pendant chaque seconde en particulier, a, 3a, 5a, la
nombres qui sont entre eux comme la suite des nombres impairs, et qui se déduisent de ceux de la série précédente en retranchant de chacun d'eux celui qui le précède immédiatement.
3° L'espace parcouru pendant un certain temps, dans le mouvement uni^o]^ mément accéléré, est la moitié de l'espace parcouru d'un mouvement uniforme pendant le même temps en vertu de la vitesse acquise. En effet, cette vitesse, au bout du temps t, est égale au;/, et l'espace qu'elle fait parcourir à un mobile pendant le temps /, est w/^, d'après la formule [1].
4<> On a souvent besoin de connaître la vitesse acquise en fonction de l'espace parcouru. Pour cela, il suffit d'éliminer t entre les deux équations v = wt, e = \ wt'^y et il vient
[5] V = \'2we .
La vitesse est dite dtte à V espace e, expression qu'il ne faudrait pas prendre à la lettre.
45. Béelproqne. — Qtiand les espaces parcourus par un moinle sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir, le mouvement est uniformément accéléré. En effet , d'après l'énoncé, l'espace parcouru an bout du temps / est représenté par e = kt^, k étant une constante ; et si l'on prend la dérivée par rapport au temps, on trouve 2kt pour la valeur de la vitesse. Cette vitesse est donc proportionnelle au temps; ce qui est le caractère du mouvement uniformément varié (43).
46. Cas où le mobile possède une vitesse inltlaie. — Quand le mobile possède une vitesse initiale u , au moment à partir duquel on compte les temps, les formules du mouvement uniformément varié sont
v=u±,u>t, e = ul±\tct^, V = \/u*Hh2tftf.
Le signe + correspond au mouvement accéléré, et le signe — au mouvement retardé. La première de ces formules a déjà été démontrée (43) ; la seconde se trouverait par les deux méthodes exposées au n» 44, en ayant soin d'augmenter toutes les vitesses considérées, d'une quantité constante représentant la vitesse initiale. La troisième s'obtient en éliminante entre les deux autres. Nous aurons
