BORDS RECTILIGNES INDÉFINIS

presque totalement, et il restera l'effet de Tare contigu au bord A, arc qui donnera en c une bande lumineuse ; et ainsi de suite.

Il est facile de voir que les franges seront d'autant plus écartées que Técran Â'B' sera plus éloigné de la fente; car, pour avoir la même différence dans les rayons nA, nB, il faut d'autant plus s'éloigner du point P que la distance oP est plus grande ; il en est de même quand la fente devient plus étroite. Si l'écran vient à une distance A'^B" telle que BA"— AA" =\l, la première bande sombre sera en A", et, par conséquent, il n'y aura pas de franges dans l'espace éclairé ; et cela aura lieu pour une distance d'autant plus petite de l'écran, que la fente sera plus étroite.

Trmfectoire des firan^es. — Ces résultats peuvent aussi se déduire de la courbe que forme une frange d*un môme ordre quand l'écran se déplace. Cette courbe est évidemment une branche d'hyperbole dont les foyers sont en A et B. Mais comme ces foyers sont très rapprochés, la courbe se confond sensiblement avec ses asymptotes , et peut être considérée comme une ligne droite.

L'équation de l'asymptote est x = - - 1/ , en apppelant y la distance de

l'écran A'B^ à la fente, et x la distance au point P, de la frange considérée. Or, on a 2A = f» {>, et en appelant 2C la largeur AB de la fente, B2 = C^— A« = C^ — Ve ^^^ ; ou B2=: C2, en négligeant le terme en )?. L'équation de l'asymptote devient alors

m est impairpourles franges brillantes, et pair pour les franges obscures. On voit que les franges sont également distantes ; car on a, pour les milieux de deux

franges voisines, x' — x = db -rpr y- L'intervalle entre les franges est pro-

portionnel à leur distance j^ à la fente, et en raison inverse de sa largeur C. Si donc la fente allait en se rétrécissant d'une extrémité à l'autre, les franges seraient obliques et iraient en s'écartant du côté de l'extrémité la plus étroite. Ce résultat se vérifie avec la fiche D ( /(</. 1659).

La distance x' — x des franges est proportionnelle à >. Ces franges sont donc plus serrées avec la lumière violette qu'avec les autres couleurs ; c'est pourquoi la lumière blanche donne des franges irisées.

^ Fraaffes eiKiérieares. — Ces franges ne changent pas d'aspect comme les franges intérieures , avec la distance de l'écran ; c'est qu'elles sont produites par une portion d'onde AB dont le pôle est intercepté. Pour les expliquer, remarquons que tout point N pour lequel la différence NB--NA sera égale à un nombre impair de fois {\ sera le lieu d'une bande lumineuse, et que si la différence est d'un nombre pair, il y aura obscurité. — Les franges extérieures forment des hyperboles, dont les foyers sont A et B et qui se confon-

ASi DIFFRACTION.

dent sensiblement avec leurs asymptotes; elles sont soumises aux mêmes lois que les franges intérieures, et l'équation [1] s'y applique exactement. Les franges extérieures perdent rapidement leur netteté quand on s'éloigne du bord de l'ombre géométrique, et elles disparaissent quand la fente est trop large pour que les rayons partis du point B soient sensibles en A' (2261). Il faut donc, pour qu'il y ait à la fois des franges extérieures et intérieures, que la fente ne soit ni trop large ni trop étroite.

Les divers résultats qui précédent se vérifient par l'expérience. MM. Biot et Pouillet les avaient découverts par l'observation, avant que la théorie ne les eût fait connaître.

On obtient des franges très brillantes pouvant être projetées sur un écran éloigné, en appliquant sur une fente de i«" de largeur, une lentille cylindrique très peu convergente, au foyer de laquelle on place l'écran. — Au lieu d'une fente, on peut employer un miroir étroit incliné à iS"", sur lequel les rayons se réfléchissent comme s'ils partaient de l'image symétrique du trait lumineux On se sert alors de la fiche T (fig, 1659).

S264. Franges produites par de«x feates très étroites et trèa mppreehées. — Ce cas n'est autre chose que l'expérience de Grimaldi et Young(222l). La trajectoire des franges est une hyperbole dont les foyers sont aux fentes. Une lame transparente très mince placée sur Tune de ces fentes déplace les franges de son côté. — Nous avons vu (1,519) que M. Despretz a obtenu, avec les ondes sonores, un résultat analogue à celui qui nous occupe ici.

9IZ9S. Frasées prodaites par aa éeraa très étroit. — Supposons que l'écran AB {fig. 1661 ), au lieu d'être indéfini, soit assez étroit ponr que la lumière venant de ses deux bords, dépasse le milieu de l'ombre géométrique; les rayons agiront les uns sur les autres, et il en résultera des franges intérieures à l'ombre, indépendamment de celles qui se forment à l'extérieur. De plus, ces dernières seront modifiées, car il parvient aux points où elles se forment, de la lumière venant du côté opposé de l'écran étroit, et qui se mêle à celle qui les forme. En effet, si l'on masque un des bords avec un écran, on voit ces franges changer sensiblement d'aspect, en même temps que les franges intérieures disparaissent.

ExplieaUoB des Ikmaffes latérleares: — Quand l'écran AB (fig, 1664), n'est pas trop étroit, ces franges différent très peu de celles qui seraient fournies par deux fentes placées en A et B à la place des bords de l'écran ; ce qui tient à ce que la lumière envoyée par les arcs élémentaires qui touchent • l'un et l'autre bord, détermine le âens de l'action produite à une certaine distance (2261). Mais il n'en est plus ainsi quand l'écran est très étroit, et que les franges sont observées à une distance assez grande de AB pour qu'elles soient très rapprochées des franges extérieures. Si l'on considère d'abord le milieu P de l'ombre géométrique, on voit que ce point recevra les ondulations concordantes émanant des deux parties libres A^, Bd' de l'onde. Il y aura

BORDS BEGTILI6NES INDEFINIS.

donc en P une frange brillante, dont Téclat différera d'autant moins de celui que donnerait la surface entière de Tonde, que Técran sera plus étroit. Si donc on plaçait l'œil en P, on apercevrait un trait lumineux, comme si l'écran ÂB était fendu dans toute sa longueur. Considérons maintenant le point n, pris dans l'ombre géométrique ; la lumière qu'il reçoit est produite par la résultante des actions émanant des différents points de la partie d'onde Ad, combinée avec la résultante qui correspond à la partie Bd'. Partageons l'arc Ad en éléments d'interférence Aa, ab, &c... Si l'arc Aa était seul, l'efi'et qu'il produirait sur l'éther en n, pourrait être remplacé par celui d'une onde unique, ou onde résultante, partant d'un point o tel que l'on ait on — An = an — on =|>. Cependant \les actions des divers points de l'arc Aa , allant en diminuant à mesure que ces points sont plus éloignés du pôle qui correspond au point n, on voit que le centre de l'onde résultante sera un peu plus rapproché du point A que du point a. L'arc Aa n'étant pas seul mais étant suivi des arcs ab,hc.,,. qui en détruisent en partie refret(2261), surtout pour les points les plus éloignés du pùle, en voit que le centre de l'onde résultante sera encore plus rapproché dg A , et d'autant plus que l'arc Aa sera plus éloigné du pôle. Les centres des ondes résultantes étant supposés en o et o', on voit qu'il y aura une frange brillante en n, si la différence o'n — on est égale à un nombre pair de fois ^>, et une frange obscure si ce nombre est impair. La trajectoire sera une hyperbole ayant un foyer en o et o' . Mais ces foyers seront différents pour les franges des différents ordres, puisque les centres des ondes résultantes changent de position dans les arcs Aa, Ba', et que ces arcs eux-mêmes changent de grandeur, avec les distances des bords A et B au pôle du point n.

On voit que les franges sont d'autant plus espacées que AB est plus petit : car, pour obtenir une même différence de marche dans les rayons o'n, on, il faut que le point n soit d'autant plus éloigné de P, que AB est plus petit. Cela se vérifie facilement au moyen de la fiche K(/î^. 1659), dans laquelle une aiguille forme l'écran étroit ; on voit les franges s'étaler beaucoup plus, du côté de la pointe que du côté le plus épais. Si, quand l'écran n'est pas très mince, les franges se confondent avec celles que produiraient deux fentes étroites placées en A et B, c'est qu'alors les distances oA et o'B sont insensibles par rapport à AB. Fresnel, puis M. Quet, ont retrouvé par le calcul tous ces résultats, qui se vérifient aussi par l'expérience.

Fig. 1664.

lY

434 DIFFRACTION.

II. Dlfrftotlra pu eu •wertUM ta des êerau dont toatM les dteeuiMis sont très peUtti.

S!e66. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les bords reclilignes des écrans ou des fentes étaient assez étendus pour que leurs extrémités n'aient pas d*influence sur la partie des franges que Ton observe. II suffit alors de chercher les effets des points de la surface d'onde cylindrique situés dans une section droite, et nous avons vu comment on parvient, qn suivant la méthode synthétique de Fresnel, à expliquer toutes les circonstances générales des phénomènes. Mais quand les ouvertures ou les écrans sont très petits dans tons les sens, la théorie est beaucoup plus compliquée ; il faut tenir compte des actions produites par les ébranlements partis de tous les points de la surface libre de Tonde, et, à défaut de la méthode synthétique qui ne peut plus s'appliquer, il faut employer Tanalyse mathématique, qui conduit toujours à des résultats d'accord avec les observations. Parmi les géomètres qui ont fait des recherches étendues sur ce sujet, il faut citer particulièrement M. Schwerd. Prenant pour point de départ la méthode analytique de Fresnel, il Ta développée et appliquée à un grand nombre de cas variés, parmi lesquels nous citerons ceux d'une petite ouverture ayant la forme d'un c«*cle, d'un trapèze, d'un parallélogramme, d'un carré, d'un triangle. Ne pouvant développer ici ces savants calculs, nous nous contenterons de décrire quelques-uns des résultats fournis par l'expérience.

SIMY. Anneanx produits par aae onvertore o« «m é^ran eireviairea. — Quand des rayons émanant d'un point lumineux passent par un petit trou circulaire, on obtient à une certaine distance,' des anneaux irisés ou franges circulaires ; les unes dans l'image géométrique de l'ouverture, les autres en dehors de cette image, et analogues aux franges linéaires formées par une fente étroite. Fraunhofer a trouvé que les diamètres des anneaux sont en raison inverse du diamètre du trou, et qu'ils sont équidistants ; seulement h distance du centre au premier anneau est moindre que la distance de deux anneaux consécutifs. En appelant r,r\r",., les inyons des anneaux, et D le diamètre du trou, on a

On»n»,000o4 , , 0""n,00066 ,, ^ 0"*,00065

r= 1: ; r'=l ^- hr; r" = 2 '- hr';...

Au centre, il y a un point brillant ou un point noir, suivant la distance de l'écran au trou, ou suivant la grandeur de ce dernier ; et les anneaux intérieurs ou extérieurs peuvent disparaître, suivant ces dimensions.

Ecraa cireniaire. — Dans le cas d'un disque circulaire très petit, on obtient aussi des franges circulaires analogues aux franges linéaires produites par un écran allongé très étroit. Un résultat curieux, indiqué par le calcul.