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a, b, c, d, e... au point P, les rayons dP, eP seront sensiblement parallèles, et comme leur différence de longueur est égale à |>, ces rayons interféreront en arrivant en P. On pourra en dire autant de tous les rayons partant des différents points des arcs sensiblement égaux de, ef; les ébranlements provenant de tous les points de ces arcs s'entre-détruisent donc deux à deux. Il en sera de même des arcs situés au-delà du point d considérés deux à deux, de sorte que la lumière reçue en P proviendra presque totalement des arcs les plus rapprochés do pôle Â, arcs qui sont inégaux entre eux. Ainsi, les ébranlements produits par les différents points de Tare Aa, ne pourront être détruits que partiellement par ceux qui proviennent des points moins nombreux de ab. Ceux-ci étant eux-mêmes en partie détruits par ceux qui proviennent de l'arc hc , l'action de Aa l'emportera notablement sur ce qui restera de celle de ab.
On voit que l'intensité de la lumière envoyée en P par les différentes parties de la surface de l'onde, décroîtra très rapidement à mesure que ces parties s'éloigneront du p61e A. Le sens du mouvement vibratoire de l'éther en P sera donc déterminé par celui qui correspond au premier arc Aa, et la lumière reçue en P sera plus intense dans la direction de la normale PA à la surface de Tonde que dans une direction oblique, comme l'avait déjà établi Huyghens, et même sera nulle dès qu'on s'écartera un peu de cette normale, comme le montre, du reste, l'expérience. — Si nous désignons par i l'intensité lumineuse produite en P par la demi-onde Am, celle qui résultera de l'action des deux moitiés de l'onde sera égale à !2 ; elle sera, du reste, plus petite que celle qui résulterait des actions des deux premiers arcs égaux à Aa s'ils étaient seuls, puisqu'une partie de leur effet est détruite par les arcs suivants.
m4IS. ExplieatioB des effets produits par les bords d'os éeran. — Joignons le point lumineux s au bord A de l'écran (fig. i66i). La lumière reçue au point P proviendra de la demi-onde Am et sera représentée par i. Considérons un point e tel que l'on ait Ac— ac=|X. Ce point recevra, de la surface am, de la lumière d'intensité i , et de l'arc aA, de la lumière d'intensité /, l étant plus grand que i ; car les ébranlements émanant des différents points de Tare aA, ne sont plus partiellement détruits par ceux qui émaneraient de Tare suivant, puisque ce dernier n'existe pas. Il y aura donc en c une lamière plus vive qu'en P, et d'intensité i -f-^-
Considérons le point n tel que An — ni s=2^>, et divisons l'arc Ab en deux parties Aa', a'6, telles que l'on ait An— a'n={X, et an^bn=^\ le point a' étant nécessairement différent du point a. Les actions engendrées par les différents points des deux arcs Aa', a'6, se détruiront presque totalement, et l'intensité lumineuse en n ne sera que i+K k étant très petit. En c'
1 Pour rendre les résultats distincts, on a, dans cette figore, ainsi que dans celles qui suivent, énormément exagéré les distances des franges, et les longueurs qui représentent les valeurs de X«
DIFFRACTION.
Fig. 166S.
{fig. 1662), point tel que Ton a c'— c'd=f>, Tintensité sera \+l\ l' étant beaucoup plus grand que i ; les actions provenant des différents points des deux arcs les plus éloignés de d s*entre-détruisant presqu*entiérenient, celles qui émanent du plus rapproché conservent presque tout leur effet, et l' est à peine moindre que /. On verra de même qu un peu auHieli de c\ la lumière n'aurait qu'une intensité à peine supérieure à 1 On aura donc alternativement des points sombres
et brillants, ou des franges, si le point s est
remplacé par un trait
lumineux parallèle au
bord de l'écran. Ces
franges seront de moins
en moins nettes; les
arcs dont les effets se
détruisent ne le faisant
pas totalement , de
sorte qu'un peu de
lumière s'ajoute aux
bandes sombres , en
quantité d'autant plus
grande que leur ordre est plus élevé. Enfin, aux points tellement éloignés de P, que la partie inter ceptée de la demi-onde circulaire soit trop éloignée du pôle d pour avoir une influence sensible, la lumière sera uniforme et d'intensité 2.
La longueur > étant plus petite pour les rayons violets que pour les rongesy les franges seront plus serrées pour la première espèce de rayons que pour la seconde ; de là les franges irisées que donne la lumière blanche.
Trajectoire hyperbolique des ffraM^es. — La trajectoire formée par une frange d'un certain ordre, considérée à différentes distances de l'écran AB, est approximativement une hyperbole dont les foyers sont en A et s. En effet, si l'on considère la frange obscure c' (fig. 1662), de rang m, on a Ac'— dc'=m|l. Retranchant terme à terme, de l'identité sd=sA, il vient sc'—ke'^sk — m^l. La différence se — Ac' est constante, quel que soit AP; et par conséquent la trajectoire forme une branche d'hyperbole dont les foyers sont en A et f.
Pour obtenir l'équation de cette hyperbole en fonction de la distance sA=2C (fig. 4662), de la longueur d'ondulation X, et du nombre m, posons 0P=4;, Vc'=yy et cherchons les valeurs des axes 2 A et 2B de la courbe. On a d'abord
2A=sc'— Ac'=«A — m^;=2C— m^X; d'où k^=C (C—m^l\ en négligeant le terme en >^. La relation connue B^ = C^ — A^ donne alors B«=C^— C Tc— m^A = mCiX. L'équation de l'hyperbole rapportée à son centre et à ses axes, est donc approximativement :
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ou C^^ — mi>x2 = — C^m^X,
en négligeant m^'k devant C, ainsi que le terme en >^ — Si l'on veut rapporter .la courbe au point A comme origine, il faut remplacer x par x+C, et Ton obtient une nouvelle équation, d*où Ton tire
On voit que y est proportionnel à la racine carrée de m; par conséquent, les franges seront d'autant plus serrées que leur ordre sera plus élevé. On voit aussi que, pour les mêmes valeurs de m et de x, y est d'autant plus petit que C est plus grand. Les franges seront donc d'autant plus éloignées de l'ombre géométrique, et, par conséquent, d'autant plus écartées les unes des autres, que le point lumineux s sera plus rapproclié de l'écran A.
Tous ces résultats ont été vérifiés par Fresnel. au moyen de son micromètre. Comme la limite de l'ombre géométrique n'est pas apparente, pour mesurer sa distance aux franges, Fresnel avançait, du c6té opposé au bord A, un autre écran assez éloigné pour que les franges produites par les deux bords ne se modifiassent pas mutuellement ; il déduisait ensuite la distance des limites des deux ombres géométriques, de la distance du trait lumineux au plan commun des écrans, et de sa distance à l'écran qui recevait les franges. Mesurant ensuite l'intervalle entre deux franges de même ordre appartenant aux deux systèmes, il la retranchait de la distance des limites des ombres géométriques, et obtenait ainsi le double de la distance d'une de ces franges à la limite d'ombre du même cOté.
I<aBilère dans l'oaibre fféoMétFiqne. — Les points pris dans l'ombre géométrique, recevront la lumière d'une portion d'onde d'autant plus petite et plus éloignée du pôle correspondant, que ces points seront plus éloignés du bord de l'écran, et la partie la plus efficace de cette portion étant enlevée dans un espace de plus en plus grand, l'éclat ira en diminuant rapidement , mais d'une manière continue, et il n'y aura pas d'intermittences comme en dehors de l'ombre.
RcBiarqae. — On voit pourquoi la nature et la forme du bord de l'écran n'ont pas d'influence sur les résultats, l'écran ne faisant qu'intercepter une partie de la surface de l'onde. Cependant, si cet écran était très épais et si son bord présentait une courbure peu prononcée, la surface de l'onde, considérée à la fyce postérieure de l'écran, n'aurait plus une intensité uniforme , car elle recevrait des franges provenant d'une surface d'onde passant par la face antérieure. Mais ces franges sont très faibles, très étroites, et négligeables tant que l'écran n'est pas trop épais.
Frangea an bord d'an miroir. — On peut obtenir des franges au bord
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d*an miroir incliné ; car les rayons réfléchis sont dans le même cas que s'ils venaient de Timage symétrique du trait lumineux. L'espace au-delà du miroir remplaçant Técran, les franges se font du côté du miroir, tandis que la lumière continue se manifeste au-delà de son bord libre. On voit en R (fig. 1659) la section transversale du petit miroir incliné servant à cette expérience ; audessous est dessinée la fiche à laquelle il est fixé.
fizes. Fraaffes produites par »■• ternie. — Dans ce cas, il peut se former des franges dans la partie éclairée et dans Tombre, soit simultanément, soit séparément, et la franger centrale peut être obscure ou brillante, suivant la largeur de la fente, ou la distance à laquelle on observe les franges.
1« Fwmmgem iatérie«rea. — Soit AB la fente {/ig. 1663 ), s le trait lumineux, et supposons d* abord l'écran A' B' placé à une distance telle que les différences AP — oP et BP— oP soient égales à | > ; tous les points de la partie AB de la surface de Tonde enverront en P des ébranlements concordants. Il en sera de même, à fortiori, si l'écran AB' est plus éloigné; la différence AP — oP étant alors moindre que | >. Il y aura donc une bande brillante en P. — Si nous rapprochons l'écran A'B' , de manière que la différence AP — oP = BP — oP soit plus grande que jX et égaleàn^X, quand n sera pair, chaque moitié de la partie AB de l'onde pourra se diviser en un nombre pair d*élémenU d'interférence (2261) dont les actions se détruiront deux à deux ; la frange centrale sera donc obscure. Si n est impair, il restera un de ces éléments qui ne sera pas détruit, et la frange centrale sera brillante. Cette frange sera donc successivement brillante ou obscure ,/ quand on ^rtera peu à peu Fig. 1 663. l'écran de la fente, jusqu'à ce que la distance oP soit telle
que AP — oP = |> ; distance à partir de laquelle la frange centrale restera toujours brillante. — Au iieu de faire varier la distance oP , on peut la laisser constante , et rétrécir la fente, ce qui produira le même effet que si Ton éloignait l'écran. Tous ces résultats se vérifient par l'expérience.
Voyons maintenant ce qui se passe en A'B' à droite et à gauche du point P, et supposons, pour fixer les idées, que la frange centrale soit brillante et que l'on ait AP — oP = |5l; il sera facile d'étendre ce que nous allons dire au cas d'une frange centrale obscure. Considérons le point n tel que B» — An =2^X. Nous pourrons partager l'arc AB en deux parties aA, «B telles que l'on ait nB—na=^na — nA = ^>. Les ébranlements communiqués au point n par les deux arcs Aa, àQ se détruiront en grande partie, de manière qu'il y aura en n une bande sombre. En r, tel que cB — cA ~ f > , il y aura une bande lumineuse ; car on pourra partager l'arc AB en trois éléments d'interférence. Les actions des éléments les plus éloignés de c se détruiront
