RÉFRACTION PAR UNE SURFACE SPHÉRIQUE

Ters le centre, d'une caustique de révolution. Soient oa et oc les axes correspondants aux extrémités a et c de l'objet ; si nous menons, des bords de la pupille, des rayons tangents à la surface caustique a\ nous aurons le pinceau réfracté qui entre dans Tooil; et en joignant au point a Tintersection n de ce pinceau avec la surface, nous aurons le pinceau an qui fait voir en a l'image du point a. On construirait de môme le pinceau réfracté qui fait voir en c rima|edu point c. Les extrémités de l'image étant tout prés des axes oa, or, et roojet ac étant plus prés de l'angle qu'ils forment, l'image sera grossie et rapprochée. Elle sera en môme temps déformée ; les points de contact a\ c... n'étant pas , sur chaque caustique , à la môme distance du sommet. Déplus, la position des points û', c'... dépendant de celle de l'œil, il pourra arriver qu'on voie deux images , avec les deux veux, si leur éloignement n'est pas négligeable par rapport à leur distance à a'c\ — Ces résultats s'observent fréquemment avec ces globes de verre <]aiis lesquels on conserve des poissons vivants ;

on voit ces animaux plus ou moins grossis et déformés, suivant leur distance à la surface.

On montrerait tout aussi facilement que, si la surface était concave, les objets plongés paraîtraient plus petits, droits et rapprochés.

f •8!e. Sarfaees de séparattoa qui doDnent un foyer exaet. — H est naturel de se demander, comme pour les miroirs courbes (1937), quelle forme

Fig. U98.

Fig. 4499.

il faudrait donner à la surface de séparation de deux milieux, pour que les rayons réfractés se réunissent rigoureusement en un seul point. Descartes démontre dans sa dioptrique que, dans le cas des rayons parallèles entrant dans le milieu le plus réfringent, on obtient un foyer exact quand la surface de séparation est celle d'un ellipsoïde de révolution dont l'axe est parallèle aux rayons, quand le rapport entre son grand axe et la distance des foyers, est égale à l'indice de réfraction. En effet, considérons le rayon incident am (fig. 1498), et supposons l'ellipsoïde tel que le rayon réfracté vienne passer par un de ses foyers /". L'angle f'mc sera égal à l'angle de réfraction cmr = r.

128 DIOPTHIQUE.

puisque la normale divise en deux parties égales l*angle des rayons Tecteurs ; et les triangles fmf et mfc donneront

mf*. mf^fc :/c; A'oùmf-^-mf Ifc-^fc^^fm :fe=sin i :sin r = ii.

Or, /m+f fii=AB, eifc+fc=ff. — Il serait facile de voir que tout cela s'applique au cas d*une surface concave ; seulement le foyer est alors virtuel.

Nous avons supposé que le rayon entrait dans le milieu le plus réfringent; si, au contraire, il entre dans le moins réfringent, la surface de séparation doit être un hyperboloîde de révolution autour de Taxe transverse parallèle aux rayons incidents. En effet, considérons la branche mÀ {fig. 1499) de Thyperbole génératrice, et cherchons la condition pour que tous les rayons réfractés prolongés se coupent au foyer/*. Soit am un rayon incident, me la normale, et mR le rayon réfracté, qui, prolongé, passe par le foyer f. La normale à l'hyperbole divisant l'angle Rmf des rayons vecteurs en deux parties égales, le triangle mcf donne m/": c/'=sin i : sin r = »M ; et le triangle cmf^ fm\ «/* = sin i : sin r = n : 1. En combinant ces deux proportions, on en tire nii^zmf — mflcf — cf, ouÂB:/y' = n, comme dans le cas de Tellipsoîde. — Cela s'applique encore quand les rayons tombent sur une surface hyperboloîde concave, mais alors le foyer est réel. La partie de droite de la figure correspond à ce cas ; les lettres sont les mêmes que dans la partie de gauche, seulement elles portent des accents.

Si les rayons, au lieu d'être parallèles, partent d*un point situé à une distance finie. Descartes démontre que, pour obtenir un foyer exact, il faut que la méridienne de la surface de révolution sur l'axe de laquelle se trouve le point lumineux, ait une forme telle que le rapport entre la différence des distances du point lumineux au point d'incidence d'un rayon et an sommet de la méridienne, et la différence des distances du foyer aux mêmes points, soit constant et égal i l'indice n. L'équation de la courbe, en prenant le point lumineux pour origine, et l'axe de révolution pour axe des abcisses, est v/îSTyî' = c+ni/(x— p— p^)+y2; équation du 4« degré, dans laquelle c est une constante, n l'indice de réfraction, et p, p' les distances du point lumineux et du foyer an sommet de la surface de révolution.

n. nitonz tondnéf par étnx surfkoM fphérlqvM. — titillât.

«•88. Des leatiiics. — On nomme lentille, en optique, un corps transparent terminé par deux surfaces sphériques. Quand les deux surfaces ne se rencontrent pas, elles sont réunies par une surface cylindrique qui ne jooe aucun rôle dans les expériences. Plus généralemeent, on entend par lentille un corps transparent terminé par deux surfaces de révolution quelconques, dont les axes coïncident ; mais, à moins qu'on n'avertisse du contraire, on suppose

iâ9

toujours que les surfaces sont sphériques. Une de ces surfaces peut être plane, puisque le plan peut être considéré comme une surface sphérique dont le rayon est devenu infini.

Vaxe d'une lentille est la ligne droite qui passe par les centres des deux surfaces sphériques qui la terminent. Quand une des faces est plane, Taxe est la perpendiculaire abaissée du centre de la face courbe, sur la face plane.

DI9éreBt«« sortes de lentiiles. — On divise les lentilles en lentilles convergentes et lentilles divergentes. Les premières ont la propriété de rapprocher les uns des autres, ou de faire converger, les rayons qui les- traversent ; on

Fig. 4 500.

Fig. 4504.

les reconnaît en ce qu'elles sont plus épaisses au milieu que prés du contour. Les secondes font, au contraire, diverger les rayons lumineux; elles sont plus minces au milieu que sur les bords.

Il y a trois espèces de lentilles convergentes {fig, 1500) : 1^ la lentille hi-convexe, dont les deux faces sont convexes ; les centres o, o' des surfaces sphériques a, a', sont du côté opposé à ces surfaces, i^ La lentille planconvexe, dont une des faces est plane ; le centre unique o est du côté opposé à la surface courbe. 3^ Le ménisque conver-gent, dont une des faces est concave, et possède un rayon de courbure a'o' plus grand que celui de la surface convexe , de manière que l'épaisseur est toujours plus grande au milieu ; le centre o' de la surface concave est le plus éloigné de la lentille.

Il y a trois espèces de lentilles divergentes {fig. 1501) qui correspondent aux trois précédentes : !<> la lentille bi-concave; tes centres sont du côté des surfaces qui leur correspondent. 2* La lentille plan-concave; le centre de la surface courbe est de son côté. 3* Le ménisque divergent ; le rayon n'c' delà surface concave est moindre que celui de la surface convexe.

On nomme ouverture d'une lentille, l'angle sous-tendu par la surface dont le rayon de courbure est le plus petit, et ayant son sommet au centre de courbure de cette surface.

Propriétés ffénéraleo des lentlUes. — Pour concevoir comment les lentilles plus épaisses au milieu que sur les bords peuvent rendre convergents IV 9

Fig. 4 502.

i30 DIOPTRÏQUE.

les rayons émanant d*un point s {fig. 1502), il suffit de remarquer qu'un rayon, se, qui traverse une semblable lentille, est dans le même cas que s'il traversait un prisme limité par les deux plans tangents aux points d'incidence et d'émergence, prisme dont le sommet a serait tourné du côté opposé à Taxe de la lentille. Le rayon émergent serait donc dévié vers cet axe. Dans le cas des lentilles plus minces au milieu, les deux plans tangents forment un prisme cor, c'o't\ dont le sommet o, o' est du côté de Taxe; les rayons émergente f, i' sont donc déviés de manière à s'écarter de cet axe; ils sont donc rendus plus divergents.

i984. Fornialc de« lentilles très misées et à très petite osTertare. — L'expérience montre que les rayons qui, partant d'un point situé sur l'axe, traversent une semblable lentille, convergente ou divergente, se réunissent zen^lemtni, eux ou leur prolongement, en un seul point de Taxe, nommé

Fig. 1503.

/bi^er. Si l'épaisseur et l'ouverture de la lentille sont infiniment petites, les rayons émergents se réunissent exactement au même point.

Pour le démontrer, considérons la lentille, aolc (fig. 1503), que nous supposons convergente, pour fixer les idées ; les centres des faces a, a' sont o, o'. Soit s un point lumineux. situé sur l'axe oo\ à une distance de la lentille égale à p ; un rayon si entrera dans la lentille suivant la direction lE, en se rappro chant de la normale lo', et si le milieu était indéfini à droite de la face a'Cj ce rayon irait couper l'axe en un point (f, à une distance a'd liée à la distance p,

par la formule 1 rr- = — s: — > dans laquelle n est l'indice (1978).

Ef étant le rayon émergent, si nous considérons le milieu comme indéfini à la gauche de la face ac, un rayon qui suivrait la direction /E entrerait dans la lentille suivant El, et son prolongement allant couper l'axe en d, on aurait

-T "^ ~ — Y — • Représentons la distance fa par p', négligeons

l'épaisseur aa\ et ajoutons les deux égalités membre à membre, nous aurons

formule qui montre que la valeur de p' ne dépend que des quantités constantes p, R, R' et n. Tous les rayons émergents iront donc couper l'axe en

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LENTILLES. i31

un même point fy qui se nomme le foyer du point s. Réciproquement, si le point lumineux était en f, le foyer se formerait en b ; c'est pourquoi les points s et /'se nomment collectivement foyers conjugués,

41185. Foyer prineipal. — Si les rayons incidents sont parallèles à Taxe, f est infini, et la valeur de p', que nous représenterons par a, devient

ce que Ton peut trouver directement. Le point de concours des rayons est alors le foyer principal, et sa distance a à la lentille, la distance focale principale. Cette distance se désigne aussi sous le nom de foyer ; c'est dans ce sens qu*on dit qu'une lentille a un long foyer ou un court foyer. On voit

que la valeur — =— ^^ 1 ^— diminuant quand R et R' augmentent, la valeur de a varie dans le même sens que R et' R'. Les lentilles dont le foyer est long sont donc celles dont les surfaces ont une courbure peu prononcée, ou dont l'épaisseur varie peu, du milieu aux bords. On voit aussi que, à égalité de courbure des faces, la distance focale diminue quand l'indice de réfraction augmente.

L'expression de a varie suivant la forme de la lentille. Si elle est convergente ou bi-convexe , les deux rayons de courbure sont égaux, et l'on a

c = — r-. Si l'une des faces, a\ est plane, il faut faire R' = =« , et

il vient a = -, r- , valeur moitié moindre que la précédente ; ce qui

montre que les deux mohiés d'une lentille à faces égales concourent également à dévier les rayons lumineux. Si la lentille est un ménisque convergent, il faut changer le signe de R' et le supposer plus grand que R ; alors on a

a = -— rR^p--i ' valeur positive, puisque R — R' est négatif.

Dans le cas des lentilles divergentes, a est toujours négatif, car il faut changer les signes de R et de R', excepté dans le cas du ménisque divergent, od il ne faut changer que le signe de R', mais le supposer en môme temps plus petit que R. Les valeurs particulières de a sont alors, pour la lentille

bi-concave à faces égales, a= ^ — ; pour la lentille plan-concave,

a =- ; et pour le ménisque divergent, a = -. ---— — --.

Si, R' étant négatif, on avait R = R', on trouverait a £= =» ; et, en effet, les rayons seraient dans le même cas que s'ils traversaient un milieu terminé par deux faces parallèles , et d'épaisseur négligeable.

I1I8«. D«terniiBatioii du foyer d'aae lentille. — Si U lentille est convergente, on fait tomber les rayons solaires parallèlement à son axe sur sa surface, et l'on cherche, avec un écran, la section la plus petite du cône

13â DIOPTRIQUB.

émergent. L*écran se trouve alors aa foyer principal. — Si la lentille est divergente, on applique sur Tune de ses faces une bande de papier noir, ou une couche de noir de fumée, en ménageant deux petits trous a, 6 {fig. 1504), situés à la môme distance de l'axe sur un même grand cercle. Faisant ensuite tomber les rayons solaires sur cette face, parallèlement à Taxe, on reçoit sur un écran a'h\ perpendiculaire à cet axe, les pinceaux émergents aa\ bb\ On mesure la distance a'b' et la distance c'c. On a alors a'V : fl6 = c'F : cF = c'c + cF : cF ; d'où Ton tire la valeur de cF.

On peut encore déterminer la distance focale principale, au moyen de la formule qui en donne la valeur en fonction de Tindice de réfraction et des

rayons de courbure des faces. Nous verrons

comment on mesure Tindice. Quant aux rayons

de courbure , on les détermine au moyen d*uD

spbérométre à deux pieds seulement, placés dans

un même plan avec Taxe de la vis micrométrique,

et à égales distances de cet axe. Après avoir

amené la pointe de la vis sur la droite qui joint

Fig. 4 504. les pointes des deux pieds, on retire cette vis,

de manière à pouvoir appuyer les trois pointes

sur la surface de la lentille, suivant un grand cercle. Alors la distance des pieds

représente le double du sinus de la moitié de Tare a qu*ils embrassent, et la

quantité dont on a retiré la vis, le iinus verse, v, de cet arc , et Ton a

R^ = sinH« + (R-v)-'; d'où r = iilî!i^±ll .

4987. Dlseossion de la formule de« lentilles. — Si Ton remplace le second membre par sa valeur en fonction de a, la formule devient

On voit que p' varie dans le même sens que a, et qu'il est, par conséquent, d'autant plus petit, pour uue même valeur de p, que les courbures de la lentille sont plus prononcées. On voit aussi que la formule est identique avec celle des miroirs spbériques ; seulement, a dépend ici de trois quantités : les deux rayons de courbure, et l'indice de réfraction n. La discussion se fera donc de la même manière, et conduira à des résultats analogues (1930).

Ainsi, dans le cas des lentilles convergenteSy on verrait que, le point lumineux étant à l'infini, puis se rapprochant peu à peu, le foyer, d'abord à une distance a de la lentille, s'éloigne de plus en plus. Quand on a f)=2a , on a p'=:âa; et quand p = a, p' devient infini. Si p diminue encore, p' devient négatif; le foyer est virtuel, et il se rapproche de la lentille et se confond avec elle en même temps que le point lumineux. Le foyer réel ou virtuel peut donc

USNTILLES. 133

se trouTer successivement sur tous les points de Taxe, à l'exception de ceux qui sont compris entre le foyer principal et la lentille. — Si les rayons incidents sont convergents, il faut faire p négatif; le foyer est toujours réel, et p' varie depuisa jusqu'à zéro, pendant quep diminue depuis Tinfini négatif jusqu'à zéro.

Si la lentille est divergente, il faut faire a négatif (1985), et la formule montre que le foyer est toujours virtuel et ne peut être situé qu'entre le foyer principal et la lentille. — Si les rayons sont convergents, on fait p négatif, et l'on voit que le foyer est réel quand p est moindre que a. — EnGn, si l'on suppose les faces de la lentille parallèles, il faut faire a = :>o (i985), et l'on ap = — p', comme dans le cas où les rayons traversent un milieu terminé par deux surfaces planes parallèles, et dont l'épaisseur serait négligeable.

On peut trouver tous ces résultats par la géométrie sans se servir de la formule, en remarquant qu'un rayon traversant une lentille peut être considéré comme traversant un prisme (1983), et remarquant que, plus le point est éloigné, moins le rayon incident est incliné vers la base du prisme, plus le rayon émergent s'écarte alors du sommet (i969), et par conséquent plus il va couper l'axe prés de la lentille.

¥«riaeatl«B8 par rexpérieaee. — On peut vérifier la plupart de ces résultats par l'expérience, moyen d'une bougie, dans la chambre obscure. Comme nous le verrons bientôt (1992), il se forme au foyer, quand il est réel, une image, qui sert à reconnaître sa position au rnoyen d'un écran. Fig. isos.

Pour se rendre compte des variations relatives des distances p etp', on construira graphiquement les valeurs de p et p', comme pour les miroirs sphériques (1930), et l'on trouvera qu'elles sont représentées par les abscisses et les ordonnées de l'hyperbole équilatère de la figure 1505. La branche mm' correspond à la lentille convergente recevant des rayons divergents; la partie on de l'autre branche, au cas où les rayons incidents sont convergents ; et la partie <m\ au cas où p est moindre que a. Il ne faut pas oublier que la valeur de a dépend ici de trois quantités, R, R' et n.

i988* RénMion de plusieurs lentilles dont les axes eoTaeideat. —

Considérons plusieurs lentilles quelconques placées les unes à la suite des

autres, de manière que leurs axes coïncident, et assez rapprochées pour que les

rayons lumineux les traversent toutes avant de rencontrer Taxe commun, et

cherchons où les rayons lumineux partant d'un point, formeront leur foyer après

avoir traversé ce système. Soit d, d'yd".,. les distances qui séparent deux

à deux les lentilles, dont on néglige toujours l'épaisseur, et a, a', a*'... leurs

distances focales principales : positives si les lentilles sont convergentes, et

négatives si elles sont divergentes. La position du foyer formé par la première

h h \ lentille seule est donnée par la formule — h -7= — • Les rayons émergents

tomberont sur la suivante, en convergeant en un point situé à une distance p'—d de cette dernière, si la première est convergente ; ou en divergeant d'un point situé à une dislance d -l-p', si le foyer formé parla première lentille est virtuel ;

et Ton aura -» h -^ = J-. Si les rayons tombent en convergeant sor

la troisième lentille, on aura de même db »^^/ -+--::: = -:r t et ainsi de

suite; et pour la n« lentille, Hh — -i- — = . En éliminant

p\ p'--i Pnr-1 ^^^^^ ^^^ équations, qui sont au nombre de n, on obtiendrait une seule équation^ dans laquelle il n*entrerait que p, p„, et a,a\a'..., a^ ^ ; d, d\.,y d^^ , et de laquelle on tirerait la valeur de p„, c'est-à-dire la distance du foyer à la dernière lentille.

Si les lentilles, dont Tépaisseur est toujours supposée négligeable, sont en contact, dyd'.d'... sont nuls, et Télimination se fait facilement en ajoutant ou retranchant membre à membre les égalités successives, et il vient

— + — = — zh...ifc . L'unité divisée par le second membre

V Vn * «n-1 ^

représente la distance à la dernière lentille, du foyer principal du système.

4989. Cas de deox lentiiiefl coBYergentes. — On emploie fréquemment dans les instruments d'oplique, le système de deux lentilles convergentes placées à une certaine distance Tune de 1 autre ; c'est pourquoi nous allons le considérer en particulier.

io Supposons que le point lumineux soit situé à une distance, p, de la première lentille, plus grande que la distance focale a, et que la seconde lentille soit écartée de la première d'une quantité d plus petite que la distance p' où se fait le foyer conjugué. Les rayons qui émergent de la première lentille tomberont en convergeant sur la seconde, et Ton aura

— = , et . ■ H — ;7-=-T-; doùp'' = ; —

Comme p, et par suite p', est supposé constant, et que d est moindre que p\ on voit que p" diminue quand d augmente. Le foyer se rapproche donc de la seconde lentille quand on l'écarté de la première. Si les rayons incidents étaient parallèles à Taxe, il faudrait remplacer p' par a, et p* serait la distance du foyer principal du système à la seconde. Les deux lentilles forment donc un système à foyer variable, dans lequel le foyer se rapproche ou s'éloigne de la dernière, quand on l'éloigné ou qu'on la rapproche de la première.

2<> Si le point lumineux est plus rapproché de la première lentille que son foyer principal^ p' est négatif, et les rayons tombent sor la seconde lentille, comme s'ils venaient du foyer virtuel de la première, lequel est situé à une distance de la seconde égale à p'+ d ; on aura donc pour celle-ci :

-; d*oùp'= ^—r—

On voit que p" augmente quand d diminue. Le foyer conjugué s*éloigne donc quand on rapproche les lentilles. La valeur de p' devient infinie quand on a fl' =p'4-rf; c'est qu'alors le foyer virtuel d'où semblent émaner les rayons qui viennent à la seconde lentille, coïncide avec son foyer principal. Si l'on a a' > (p'+rf), p' est négatif, et le foyer du système est virtuel.

«••O. CAS ou Ll POniT LUMIHBUI B8T SITITÈ lOtt DE L*AXB. — NouS avOUS

supposé jusqu'à présent que le point lumineux était situé sur l'axe de la lentille; considérons maintenant le cas où il n'en est pas ainsi. Nous admettrons dans tout ce qui suit que le point lumineux situé hors de l'axe, en est cependant très peu éloigné par rapport à sa distance à la lentille ; ce qui a toujours lieu dans les instruments d'optique.

Nous allons d'abord démontrer que, parmi les rayonsrqui partent d'un point lumineux situé hors de l'axe, il y en a toujours un qui traverse la lentille sans éprouver de déviation. Menons à la face a

(fig, 1506), un plan tangent en un point n • a\ ^^"^1^

peu éloigné de l'axe oo' ; il sera toujours \ /^*,.<;^r^'^

possible d'en mener un autre tangent à la \^^t """ e!

face a' et parallèle au premier. Car, si nous o" «T^pf '

abaissons une perpendiculaire o'n' , du ::^^^^^*tW '•

centre o' sur ce premier plan, un plan tan- '•--^""^ >» '•

gent au point n' lui sera parallèle. Joignons Pig. 4 506.

les points n, n' ; un rayon incident, qui

donnerait un rayon réfracté traversant la lentille suivant nn\ donnerait un rayon émergent parallèle au rayon incident, puisqu'il serait dans le môme cas que s'il traversait un milieu terminé par deux plans parallèles. Or, un semblable rayon existe toujours; car, si nous faisons tourner le rayon sn dans le plan de la figure autour du point n, nous finirons par trouver un angle d'incidence tel que l'angle de réfraction soit égal à cno.

Centre opUqae d'une lentille. — Nous allons maintenant montrer que le point e où le rayon réfracté coupe l'axe, est le même pour tous les rayons réfractés qui correspondent à des rayons incident et émergent parallèles entre eux ; d'où il faudra conclure qu'il existe pour chaque point lumineux peu éloigné de l'axe, un rayon incident qui émerge sans déviation ; car, en faisant tourner nn' autour du point c, on finira par trouver un angle de réfraction correspondant à un rayon incident passant par le point donné. Cherchons donc la position du point c, ou sa distance à la face on. Les triangles ncoy n'co\ semblables puisque les normales on et o'n sont parallèles, donnent, en appelant R et R'ies rayons de courbure,

ôc : 7c = on : ôV = R : R';

136 niOPTRlQUE.

d'où on— ôc:?n' — ?c = R: R', ou ôc : câ' = R : R'.

Le point c partage donc l'épaisseur e de la lentille en parties proportionnelles aux rayons de courbure de ses faces. On tire de là

âc+â^c:âc = R^-R': R; d'oùâc= ^^

valeur qui ne dépend que des quantités constantes R, R', e. Le point c, où tous les rayons qui traversent la lentille sans éprouver de déviation, coupent Taxe, se nommé centre optique de cette lentille.

Diseasslon. — Prenons la valeur de ca positivement quand elle est comptée à gauche du point a. Si Ton a R=R', le centre optique c se trouve au milieu de l'épaisseur de la lentille, puisque l'on a alors ac = \e. Si la lentille est plan convexe, on a R= ^o, et il vient ac = e\ le centre optique est donc

situé sur la face courbe; ce qu'il est facile de voir directement. En effet , quel que soit le point d'immergence sur la face plane Âa (fig, 1507), le point d'émergence devra être en e, seul point où un plan tangent à la face courbe soit parallèle à Âa, si Ton veut que le rayon émergent soit parallèle au rayon inci- Fig 4 507. dent. — Dans le cas du ménisque convergent,

R est négatif et plus grand que R'. La valeur

de ca (fig, 1506) devient alors -r — — ; quantité positive et plus grande

que e. Le centre optique se trouve donc hors de la lentille, du côté de la face convexe ; ce que l'on peut reconnaître directement , en remarquant que les points de contact des plans tangents parallèles, sont du môme côté de l'axe, et que celui qui se trouve sur la surface concave en est plus éloigné que l'autre, comme on le voit en n, n' (fig. 1507).

Si la lentille est divergente et bi-concave, il faut changer les signes de R et R' ; ce qui ne modifie pas le signe de ra ; le centre optique sera donc toujours dans l'épaisseur de la lentille, et au milieu si l'on a R = R'. Dans le .cas de la lentille plan-concave, on a R = ^o, et ca = e; le centre optique se trouve donc sur la face courbe. Enfin, dans le cas du ménisque divergent, il faut faire R seulement négatif, et le supposer plus petit que R' ; la face a est

concave, et la valeur ac = -— ^ — — est négative et plus grande que e ; ce qui

montre que le centre optique se trouve hors de la lentille du côté de la face qui a le plus petit rayon, qui est ici la face concave. On peut le voir directement; car les points de contact des plans tangents parallèles sont du même côté de Taxe, et celui de !a face concave est le plus rapproché de cet axe, comme on le voit en D (fig. 1507 ).

LENTILLES. i37

€••1 • Foyers eoM|ii|fiiés «or les axes seecndalres. — Un rayon qui traverse une lentille en passant par son centre optique, n'éprouve pas de déviation, mais seulement un déplacement latéral^ qui est négligeable comme Tépaisséurde la lentille. On peut donc regarder ce rayon comme formant une ligne droite. Cette droite se nomme Yaxe secondaire du point lumineux qui a fourni le rayon.

Cela posé, nous allons montrer qu'un point lumineux situé hors de l'axe principal, donne un foyer conjugué sur son axe secondaire, pourvu que ce dernier fasse un très petit angle avec l'axe de la lentille. En effet, soit s (fig, 1508) le point lumineux, srf son axe secondaire, et sm an rayon incident que nous supposons dans le plan sra. Ce rayon donne le rayon émergent mf qui coupe l'axe secondaire en f, et il faut faire voir que la distance fc est indépendante du rayon incident particulier sm. Les rayons sm et mf coupent l'axe principal en a et F; et l'angle sca étant très petit, nous pouvons poser sm=isc=::p.

Fig. 1508.

eimf=cf=p'. Si, de plus, nous posons a^r = P et cF= P', nous aurons

-p-+ -pT = — «les points a et F étant des foyers conjugués situés sur l'axe

principal. Le triangle amF coupé par la sécante sf, donne

saXcFxmf=smxFfXca, [IJ

d'après le théorème des transversales, qui dit que la sécante détermine sur les côtés du triangle deux segments qui sont tels que le produit de trois d'entre eux n'ayant pas d'extrémité commune, est égal au produit des trois autres. L'égalité [1] revient à (P — p) . V .p'=zp (p'—P') . P. Effectuant les opérations, et divisant par le prodoit pp' PP', il vient

La valeur de p' est donc la même pour tous les rayons incidents, et la distance Tocale principale correspondante aux rayons parallèles à se, est a, comme pour les rayons parallèles à l'axe ac ' . Tous les foyers formés par les rayons parallèles, de différente direction, seront donc sur un même arc de cercle décrit