DES FORCES

On entend par force nue cause du mouvement. Deux forces sont égales , lorsqu’étant appliquées en sens contraire l'une de l’autre en un même point, ou aux extrémités d'une même droite inextensible, elles se font équilibre.

Lorsque deux forces égales sont appliquées dans la même direction, il en résulte une seule force double de chacune des composantes ; et en général n forces égales , appliquées dans la même direction, constituent une force unique n fois plus grande que chacun» des composantes.

La résultant» de deux forces quelconques, appliquées en tin même point, et repré • sentées par des droites prises sur leurs directions, à partir de ce point, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

Ayant trois forces parallèles , dont l'une est la résultante des deux autres , deux quelconques sont entre elle» en raison inverse des perpendiculaires abaissées sur leurs directions, d’un point quelconque de la direction de la troisième force.

Conditions d équilibre des Machines simples.

Levier. La puissance P et la résistance R sont en raison inverse des perpendiculaire» abaissées du pojnt d'appui sur leurs directions.

Poulie fixe. P=R.

Poulie mobile. P:R comme le rayon de la poulie est à la sous-tendante de l’arc cm? brassé par la cord».

Treuil— cric. P;R comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue ou de U manivelle. „ ,

Roues dentées et pignons. P:R comme le produit des rayons des pignon» est au produit des rayons des roues.

Plan incliné. P:R comme la hauteur du plan incliné est à sa base.

Pis. P:R comme le pas de la vis est à la circonférence du cercle que la puissance

tend k faire décrire à son point d’application.

YJlj

AVANT-PROPOS

Loi générale de r équilibré des Machines , ou application du principe des vitesses virtuelles <2 leur état d’ équilibre.

On suppose qu’étant donnée une Machine d'une forme quelconque , on applique en deux points liés entre eux par les corps flexibles ou rigides dont elle est formée, deux forces P et R qui se font équilibre. Le moindre changement dans l'une de ces forces , rompra l'équilibre, et chacun des points d’application décrira dans le premier instant, un élément de courbe. Il peut arriver ou que ces forces soient dirigées dans le sens des lignes décrites par les points d’application, ou qu'elles fassent un angle avec ces lignes. Dans le premier cas, le rapport des forces en équilibre sera égal au rapport inverse de» petits espaces qui sont décrits par les points d’application, et qu'on nomme vitesse virtuelle de ces points ; dans le second cas , on prend pour vitesse virtuelle des pointa d'application, les projections des petits espaces qu’ils auraient décrits simultanément dans le cas d'équilibre, sur la direction des forces P et R.

Il existe dans tous les corps solides pesans, un point tel, que s’il est supposé fixe, le corps auquel il appartient reste en équilibre dans toutes les positions possibles , autour de ce point qu'on nomme centre de gravité .

De la position du centre de gravité sur certains corps .

La distance du centre de gravité d’un arc de cercle au centre de ce cercle , est quatrième proportionnelle au rayon , à l'arc et à la corde de cet arc.

Le centre de gravité d’un arc quelconque de cycloïde, partagé en deux parties égales au sommet de cette courbe, par le diamètre du cercle générateur, se trouve au tien de la longueur de ce diamètre, à partir du sommet.

Le centre de gravité d’un triangle se trouve sur la droite qui joint son sommet et le milieu de sa base , aux deux tiers de cette droite , à partir du sommet.

La distance du centre de gravité d'un secteur circulaire au centre du cercle , est quatrième proportionnelle aux deux tiers du rayon , à la corde et à l'arc qui lui correspondent. .. * •>

Le centre de gravité d'une calotte sphérique est au milieu de la flèche.

La portion de solide engendrée par l’aire d’une courbe plane, tournant autour djune droite menée dans son plan, est égale au produit de l'aire génératrice, multipliée par l’arc de cercle que parcourt son centre de gravité.

Le centre de gravité d'un demi-ellipsoïde qui a pour base l'ellipse construite sur deux diamètres principaux comme axes, se trouve sur le troisième demi-diamètre principal , aux trois huitièmes de ce demi-diamètre , à partir de 1a base.

Le centre de gravité d'une pyramide i base quelconque, se trouve sur la droite qui joint le sommet, et le centre de grsrité de la base, au quart de cette ligne, i partir de la base, ou aux trois quarts, à partir du sommet.

Le centre de gravité d’un système de corps pesans , est le plua bas ou le plus haut possible, selon que l'état d'équilibre de ces corps est stable ou ne l’est pas.

AVANT-PROPOS

De la chatnelte if de la lame élastique.

Va t chaise pesante et parfaitement flexible , suspendue à deux points fixes , forme ; dans l’état d'équilibre , une courbe située dans le plan vertical , passant par les points . fixes; on nomme cette courbe la chaînette. •

Nommant A la tension de la chaîne au point fixe , p le poids de la chaise d'une longueur s, c l'angle d'une verticale menée par le point fixe origine de l'arc s, et de la tangente à cet arc au même point, T la tension i l’extrémité de l'arc s qu'on suppose homogène dans toute sa longueur, on aura la valeur de T par la formule suivante :

T = V A‘ — nA p cos" c ■+■ p* ; *

la plus petite tension est Asinc; elle a lieu au point le plus bas de la courbe, pour lequel la tangente de la chaînette est horizontale.

La chaînette est une courbe rectifiable; on ne doit pas la confondre avec la lame élastique.

Pour définir cette dernière courbe , il faut supposer qu'une lame inextensible , flexible et élastique, qui, dans l'état d'équilibre, a la forme d’un rectangle plan, d'une longueur et d'une largeur données ; cette lame étant fixement attachée par une de ses extrémités, on applique i l’autre extrémité une force qui la fléchit dans le sens de sa longueur, de manière qu’elle se change en une portion de surface cylindrique; la section de celte surface perpendiculaire i la largeur de la lame, se nomme lame élastique.

Du mowement uniformément varié d'un corps grave.

L’expérience a démontré que les vitesses acquises par un corps grave qui tombe dans le vide , sont proportionnelles aux temps , et que les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir. D'où il soit que la pesanteur est une force accélératrice constante pour le même lieu. On prend pour sa mesure le double de l'espace qu'il a fait parcourir à un corps grave pendant une seconde. A Paris , cet espace est 4 j 9°44 mètres; le double de cet espace, qu’on désigne ordinairement par la lettre g, est q“, 8088. Soit e l'espace que parcourt un corps grave dans le tempe t, et v la vitesse du corps à la fin du tempe t, ou , suivant l'expression reçue, la vitesse due à la hauteur e; toute la théorie du mouvement du corps grave est renfermé dans ces deux équations :

v = gt, e = ^ t

d’où l'on tire

ét—y/fgi, et g = -

Pour élever un corps à une hauteur donnée , il faut lui imprimer une vitesse égale à celle qu'il acquerrait en tombant de cette hauteur.

La vitesse acquise par un corps grave qui a parcouru la longueur d’un plan incliné , est la même que «'il fût tombé verticalement de la hauteur de ce plan. •

Toutes les cordes d'un cercle qui partent de l'extrémité d'un diamètre vertical de ce

Jm - • 1

Wst 1

*nr

x AVANT-PROPOS.

•r - , ‘-tf

cercle , lont parcourues dans le même temps par des points matériels pesana qui partiraient en même temps sans vitesses initiales. *

On a déterminé, par expérience, la loi de la pesanteur à la surface de la Terre. .L'observation fait connaître, sous les différens parallèles, la banteur d’où les corps tombent dans la première seconde de leur chute ; en doublant cette hauteur, on a la mesure de la pesanteur des différentes latitudes.

Soit g la gravité pour les lieux i égale distance de l'équateur et du pèle , g la pesanteur à la latitude il; on a *

g' —g{ i — o, 000837 cos asl ) ; au pôle , jf — g ( 1 4 * o, ooa 837 ) ;

à l'équateur , • g = g ( t — 0,000837 ) ;

donc l'accroissement de la pesanteur dans l'étendue entière du quart du méridien , est égal à ag(o, ooa 837 ) , c'est-à-dire à environ rÿj de sa valeur moyenne.

Toutes les relations qui existent, entre la pesanteur g, le poids P, la masse M, le volume Y et la densité D d'un même corps, sont comprises dans ces deux équations

M = VD, P = YDg.