DYNAMIQUE
Masure des forces, en ayant égard aux masses des mobiles.
La masse d’un corps est la quantité de matière dont il est composé.
La connaissance de la masse des corps nous est donnée par cette propriété générale de la matière qu'on appelle inertie.
Si denx corps de masses différentes ont le même mouvement dans l'espace, les farces qui produisent ce mouvement seront entre elles comme ces masses; et si les masses sont égales , les forces sont entre elles comme les vitesses qu'elles impriment à l'une de ces masses égales.
Pour la intensités de deux forces de l'espèce de celles qui agissent instantanément sur les mobiles, on trouve qu'elles sont entre elles, en raison composée des masses auxquelles ces forces sont appliquées, et des vitesses qu'elles leur impriment, en supposant toutefois que ces vitesses sont les mêmes en grandeur et en direction peur tous la points d'un même corps.
On appelle quantité de mouvement d'un corps le produit de sa masse par sa vitesse. Ainsi les forces dont l’action est instantanée, ont pour mesure 1 a quantité du mouvement qu'elles produisent.
Les forces qui agissent- sur une masse quelconque , et qui ne lui impriment instantanément qu’une vitesse infiniment petite , se nomment forces motrices. La force accélératrice est l'élément de la force motrice qui agit sur l'unité de masse , de sorte qu'en divisant l’expression de 1 a force motrice par la mass* du corps soumit à cette force. Je quotient est la force accélératrice.
^'artfëetf b«
AVANT-PROPOS. xj
La force motrice prend le nom de pression , quand elle ne produit qu'une simple tendance au mouvement dont l'effet est détruit par un obstacle fixe.
Soit m la masse d'un corps qui se meut, de manière que tous ses points décrivent des droites parallèles avec nne vitesse variable. Soit v cette vitesse après le temps t t f la force motrice qui produit ce mouvement, et 9 la force accélératrice; on aura
dv de -
* = 3T=rfïï’ et
Soit p le poids de la masse m , et g la gravité ; on aura
p - pç p = mg, «t m = -, f—-'-
Si p est un certain nombre de grammes , la force y* fera équilibre à un poids du m?mc nombre de grammes, multiplié par le rapport ~ de la force accélératrice 9 et de la gravité g.
Du mouvement.
Le mouvement uniforme se fait en ligne droite, et le mobile parcourt des espace* égaux dans des temps égaux. Le rapport constant des espaces aux temps employés à les parcourir, se nomme la vitesse. On appelle mouvement varié, celui dans lequel la vitesse varie à chaque instant; il peut être remplacé par une suite de mouvemens uniformes , dont les durées sont infiniment petites, et dont les vitesses sont toutes différentes entre elles. Dans le mouvement varié , chaque point du mobile est soumis à une force dite accélératrice , qui agit continuellement sur le mobile, pour accélérer ou retarder son mouvement. Lorsque cette force .accélératrice est nulle, le mouvement varié se change en un mouvement uniforme dont la vitesse est aussi celle du mobile en cet instant.
La force accélératrice est constante ou variable ; dans le mouvement des corps graves , on la nomme pesanteur ou gravité; son action s'exerce sur toutes les parties de la matière, dans des directions perpendiculaires à la surface de la terre, ou suivant de* lignes verticales. L'expérience prouve qu'elle est constante d'intensité et de direction pour le même lieu de la terre et pour tous les corps dont les dimensions comparées à celles de la terre, sont négligeables. Dans cette hypothèse, un corps pesant est un assemblage de points matériels auxquels sont appliqués des forces égales et parallèles , et dirigées dans le même sens ; la direction de chacune de ces forces est indiquée par celle du fii à plomb qui serait suspendu À son point d’application; leur résultante est ce qu'on nomme le poids du corps . L’unité de poids est le gramme ou le poids d’un centimètre cube d’eau au maximum de densité.
*ij . AYANT-PROPOS.
Du mouvement (T un point sur un cercle.
De la force centrale ou centrifuge.
Soit f 1 intensité de la force centrale , ds l’élément de la circonférence du rayon r, décrit pendant le temps infiniment petit dt, v la vitesse que la force f imprime au
mobile, on a (page 9 ) g»£, /* ÜZS , v = £ ;
é in yerse arc ds sz — :
ar
donc ,
a ds*
ar.dt* '
Donc , la force centrale , ou la force centrifuge , qui lui est égale et opposée, a pour valeur le carré de la vitesse du mobile, divisé par le rayon.
Soit h la hauteur d’où nn corps grave doit tomber pour acquérir, par la pesanteur g t la vitesse v; on a v t =ogh.
Donc
f ah
Si l'on désigne par T le tempe employé à parcourir la circonférence entière a*r.
on aura v*
= vt)‘ " f--w
Du pendule simple.
Soit a la longueur du pendule, g l'intensité de la pesanteur, * la demi-circonférence dont le rayon est i, T le temps d'une oscillation entière; ontT = irl/-,
aw % " **
d'où l'on tire g =: — ; prenant pour l'unité de temps i", on trouve par expérience,
i Paris , a s= o“, 9 g 384 ; donc , g — 3,8088 mètres.
Le temps d'une demi-oscillation est une quantité finie j \/\ > < î u0 ' ( I ue l'arc décrit soit infiniment petit. Cela résulte de ce que la force accélératrice est la pesanteur décomposée suivant la tangente au cercle, et a par conséquent pour valeur le produit de la pesanteur par le cosinus de l'angle que la direction de la pesanteur fait avec la tangente an cercle ; or , cet angle diffère infiniment peu de l’angle droit , et ion cosinus est un infiniment petit; donc, la force accélératrice est infiniment petite.
Machine d Atwood.
Deux corps pesans réunis par nn fil inextensible sont posés sur deux plans inclinés , adossés l'un à l’antre; le corps le plus pesant entraîne le plus léger; on demande, •frès un temps t, la vitesse v de chacun des mobiles, et l’espace e qu’il a parcouru.
- •. . AVANT-PROPOS. - xtij
Nommant l et l les longueurs des plans inclinés, h leur hauteur commune, m et m' les masses des corps posés sur ces plans , a la vitesse initiale de la masse m , on a :
{mf — m'l)h f
• * TTôn+m*) '** +
(mf — ml) cl* . . ,
• = fe+vj7rV + û ‘+*‘
a ni *“ JH
b étant la râleur de e , qui correspond à t a= o.
Dans la machine «TAturood, Isztzxsh, a=0; donc,
m -f- ro a
La ritesse r est positire pour l’une des masses , et négative pour l’autre.
Treuil à roue ou à manivelle.
Les masses m , m‘ sont attachées , l’une à l’extrémité du rayon r du cylindre , l’autre à l’extrémité du rayon / de la roue ou de la manivelle : on a
(mr — mV)r
v = * — r- ; ryi sri-f- a ;
mr* 4. m r" 8 *
la vitesse */, poor la masse m', est
, (mV — t»r)r
Pour que la vitesse v' soit nn maximum, en faisant varier seulement /, il faut qn’on ait (jp) = 0, ou mr* — mV* + amr/ = o.
Soit j = i
d’où l’on tire soit
ma’-f-nou — m' =0, x , 4-u+i = i + -
m se 8i*«-,
Lorsque v = o, 19/ — 8ir=o, /=s( 4 , 3 )r, la vitesse v va es croissant depuis t' =( 4 > 3 ) r jusqu * i' = gr.
Pendule composé de deux masses m et m'. ’ * .
Soient r, /, r , le» distances des masses m et m' et du centre de gravité de ces masses au centre d’oscillation , l la longueur du pendule simple , dont le mouvement est le même que celui de la droite qui joint 1» centre d’oscillation et le centre de gravité de» deux
S" <■ , wL ' • ~<t-
uiassci m et m' ; on aura
AVANT-PROPOS
mr* -f- mV*
Pendule composé d'un nombre quelconque de masses ; des momens d'inertie.
Lorsqu’un corps tourne autour d’un axe, on a ppelle moment d'inertie de ce corps , la somme des élémens matériels du mobile , multipliés respectivement par le carré de leur distance À l’axe de rotation.
Quel que soit le nombre de masses qui composent un pendule, on peut le considérer comme un corps unique dont le centre de gravité est distant de l’axe de rotation on de suspension, d’une quantité a. Nommant K* le moment d’inertie de ce corps , divisé par sa masse, on a pour 1a longueur du pendule simple, qui oscille dans le même temps que le pendule composé,
Du eboe de s corps.
Le rapport des masses de deux corps qui se choquent et qui se font équilibre après le choc, est le rapport inverse des vitesses des masses avant le choc.
Si les masses n'étaient pas proportionnelles à leurs poids, on ne pourrait les comparer qu’en mesurant les vitesses avec lesquelles elles devraient «e choquer , pour demeurer en équilibre après le choc. On suppose que dans le moment qui précéderait* le choc de deux corpe? tous les points de ces corps décriraient des droites égales et parallèles.
Soient deux sphères À et A', homogènes et non élastiques, dont les centres se meuvent sur une ligne droite, et qui m choquent; désignons par v et s/ leurs vitesses avant le choc, m et m' leurs masses.
Si ces deux sphères vont dans le même sens , la vitesse commune u = ;
. .. . • • mv — m!v'
si elles vont en sens contraire u =
Le produit de la masse d’un corps par le carré de sa vitesse , est ce qu’on appelle
la force vive du corps.
Réglé générale , qui se vérifie dans le cas particulier du choc des corps durs. Toutes les fois que le mouvement d’un système de corps épronve un changement brusque , il en résulte une diminution dans la somme des forces vives de tous ces corps; cette diminution (théorème de M. Carnot) est équivalente â le somme des forces vives dues aux vitesses perdues ou gagnées par les mobiles.
Supposons maintenant les sphères A et A # parfaitement élastiques, et soient Y, Y 9 / leurs \it esses après le choc; on aura
V' — (m'-rny-
Dans le choc dis corps parfaite ment élastiques, la somme des forces vives est la même
ATANT-PROrOS. . *" xr
avant et après le choc , c'est-à-dire qu’on a
mY* -+• m'V'* = mv* + mV*»
Du mouvement d un corps solide libre *
Si un corps solide À est libre, et si l’on applique en différens points de ce corps des forces F, F*, F # , la vitesse iniule du centre de gravité est la même , en grandeur et en direction, que si la ruasse entière du corps y était réunie, et que les forces appliquées en différées points du mobile, à l’origine du mouvement, fussent transportées à ce centre, parallèlement à elles-mêmes et sans changer leurs intensités. Désignons par F l’intensité de Tune de ces forces , par M la masse du mobile, par v
la vitesse de son centre de gravité j on aura v =s
La grandeur de cette vitesse ne dépend , comme on voit, ni de la direction, ni du point d’application de la force F ; la même force , appliquée successivement en différens points d’un corps, et suivant différentes directions , imprimera toujours la même vitesse à son centre de gravité, propriété qui distingue ce centre de tous les autres points du jnobile.
Une force qui agit instantanément sur les mobiles , a pour mesure la quantité de mouvement qu’elle imprime à une masse quelconque, en supposant que tous les points de cette masse prennent des vitesses égales et parallèles. Lorsque la vitesse varie pour chaque point , la vitesse moyenne est celle du centre de gravité , et 1a force a pour mesure le produit de 1a masse par cette vitesse moyenne
(«ta (»-K+^+i£j = Mv)
De la force de percussion.
Le choc d'uü corps ea mouvement contre un corps en repos , est une force qui agit instantanément sur ce second corps , ou du moins , le temps pendant lequel elle exerce son action , est en général si petit , qu'on peut en faire abstraction , sans erreur sensible; l’intensité de cette force devra donc être représentée, dans le calcul, par le produit de la masse du corps choqué , multiplié par la vitesse que le choc imprime i son centre de gravité ; quant à son point d'application , c'est le point de contact des deux mobiles , et sa direction est toujours la normale commune en ce point aux deux surfaces. Lorsqu'un corps en repos sera choqué à la fois par plusieurs autres corps en mouvement , l'intensité de chaque force de percussion sera égale an produit de la masse du corps choqué , multiplié par la vitasse que prendrait ton centre de gravite , ai cette force agissait seule.
Principes généraux de Mécanique.
Conservation du mouvement du centre de gravité.
Le centre de gravité d'un système de corps qui ne renferme aucun point Exe. se meut dans l'espacs connue si les masses de tous ces corps y étaient réunies, et qae
xvj <AVANT-PR0P«6.’ *f'
les forces motrices don oie» , qui agissent sur ces corps , fussent appliquée» à ce centre, parallèlement à leurs directions, et sans changer leurs intensités.
Le mouvement de ce centre se conservera toujours le même, malgré les actions réciproques des points do système, provenant ou de leur liaison, ou de leur attraction mutuelle, ou bien encore de ressorts interposés qu’on peut assimiler à des force* répulsives. De même qu’un point ne saurait changer le mouvement qu'il a reçu, sans le secours d'une cause étrangère, de même aussi, un système de corps, qui n'est retenu par aucun point fixe, ne peut altérer le mouvement de son centre de gravité, *« par 1a seule action des parties qui le composent. Ce résultat important constitue le principe général de la conservation du mouvement du centre de gravité.
Principe de la conservation des aires .
Danj le mouvement d'un système de points matériels, liés entre eux d'une manière quelconque, soumis à leur attraction mutuelle, qui ne sont sollicités par ^aucune autre t • force accélératrice, et parmi lesquels il ne se trouve aucun point fixe, les sommes des aires décrites autour d'un point quelconque, sont proportionnelles . aux tempe • employés à les décrire.
Principe général de la conservation des forces vives.
Des corps formant un système en mouvement, sont soumis à leur attraction mutuelle et à d'autres attractions dirigées vers des centres fixes; les points du système peuvent être liés entre eux et à des points fixes, de telle manière qn'on voudra; tous ces mobiles, ou seulement une partie, peuvent être assujéti* à se mouvoir sur des conrbes ou sur des surfaces fixes et données. Dans un pareil système, l'accroissement on la diminution de la somme des forces vives, en passant d'une position à l’autre, ne dépendra nullement des courbes décrites par les mobilej ; cet accroissement sera nul et la somme des forces vives redeviendra la même, toutes les fois que le système reviendra a la même position; enfin cette somme se conservera constamment la même, lorsque les mobiles ne seront sollicités par aucune force accélératrice.
En appliquant ce principe au mouvement d'un point matériel qui se ment sur une surface donnée en yertu d’une impulsion primitive, et qui n'est sollicité par aucune force accélératrice , il est démontré que l'accroissement du carré de la vitesse du mobile , en passant d’un point à un autre, ne dépend jamais de U courbe qu'il décrit dans l'intervalle ; il dépend seulement de la position de oes deux points et de la nature des forces appliquées au mobile. Quand le mouvement a lien dans une courbe fermée, cet accroissement est nul, et la vitesse redevient la même , toutes les fois que le mobile revient à la même position. Quelle que soit la courbe décrite , la vitesse demeure constante.
Lorsque le système est composé de points matériels libres, et de points qui se meuvent sur des courbes ou des surfaces donnée» , æsujéties à fa loi de continuité , la vitesse perdue à chaque instant par chacun de ces points , en vertu, de sa liaison avec tous les autres, est une quantité infiniment petite; la somme des forces vives perdues au même instant par la système entier, n’est doue qu’une quantité infiniment petite du second ordre; répétée une infinité de fois pendant un temps fini, il a’ eu résulte qu’une
AVANT-PROPOS. xvij
perte infiniment petite ds force» vires, et voilà pourquoi U somme des forces vives se conserve coiMamment la même dans un pareil système, si toutefois les mobiles ne sont sollicité* par ancui e force accélératrire.
Le principe de» forces vives n*a put lie», quand les mobiles se meuvent dans un milieu résidant , ou quand ils éprouvent un frottement contre des obstacles fixes. 11 • est facile de >oir qu si les m biles ne sont pas sollicités par d’autres forces que les résista ces, la somme de leurs forces vive» diminue graduellement, et finit par s’anéantir.
Ca principe eX'iye aussi que le mouvement du système soit soumis à la loi de continuité. Chaque changement brusque qui survient dans ce» vitesses mobiles , prodost uae a diminution dans la tomme des farces vivrs du système, et cette somme peut étrp réduite à 7éro par une suite de semblables diminutions. C’est pourquoi , dans la construction d’une Machine destiuée â entretenir le mouvement d’un système, on doit sur-tout éviter * les frn'teoiens et les chocs des corps non élastiques du système, entre eux ou contre 9 des obstacles fixes (/oyez l'application de ce principe à V article choc (Us corps» )
Notice sur les livres relatifs à la science des Machines .
Jtcobi Bes.'on, Theatrum Mcuhinurum et Instrument orum t cum figuris. Lugdini, Vincentius , 1678, in-fol.
Le diverse et artifuiose Machine, del cap: ta.no Agostino Ramolli , in lingua italiana e franc es 1. Jn Parut , 1 588 , in-fol., Gg.
Jacobi Léopold, Theatrum Machinarum generale. Lipsicc, 17 a 4 , 3 vol. in-fol., Gg,
Machines approuvées par I Academie des Sciences de Paris, depuis 1688 jusqu’en
1754, 7 vol. m-4*, fig.
Descriptions des Arts et Métiers , faites ou approuvées par l'Académie des Sciences de Paris, fia vol. in-fol., année 1761 — 1778.
The repertory oj Arts and Manufa< tury. London Le premier volume a paru en 1794* Annales des Arts et Manufactures» Le premier volume a paru en 1800.
La Mécanique appliquée aux Arts , etc., par Berlin, lof, a vol. in- 4 % * 3 a planches , année 1781.
Architecture hydraulique t de Bélidor, 4 vol* in- 4 °, année 178a.
Nouvelle Arc hiletture hydraulique , par M. de Prony (*), a vol. in * 4 ", 1790.
Principes fondamentaux det Equilibre et du Mouvement t 1 vol. in-8°, par M. Carnot.
(♦) M. de Prony, Ton de rofr-taenn <i l'École Polytechnique, a public en 1810 et ) 8 i 5 ,potu l'usage de» élèrra de celle École, •esLefuw de Mécanique analytique, a vol. io-4 0 .
xviij AVÂKT-PROrOS. *
Recherches expérimentales sur F Eau et le Vent, parSmeaton, année 1739 ; ouvrage traduit de l'anglais, en 1810, par M. Girard , de l'Académie royale des Sciences.
Traité complet de Mécanique appliquée aux Arts, par M. Borguia , 3 vol. in* 4 *. année 1818.
i*. A practical Treatise on propelling Vessels, by Steam , 1 vol. in-8*, 1816.
a*. A treatise on the Economy of fuel, and Management oh heal, 1 vol. in-8*, 181 5 ; by Robertson Buchanan, civil engineer.
A Treatise of Mecanics , by Olynthus Gregory, of the royal Military Academy TVoobwich , troisième édition, corrigée et augmentée, année 1 8 ■ 5 , a vol. in-8“, et un atlas de 58 planches.
M. Grégorv a adopté, dan» son Traité de Mécanique, notre division de» Machine» élémentaires en dix série» ; le tableau de ces Machines occupe les planche» 38 et 3 g du second volume.
