II

Connaissant les lignes décrites par un point , d’un mouvement absolu , on fait voir comment on conclut la forme et la position des lignes qu’il décrit d’un mouvement relatif.

On détermine la forme de deux roues cylindriques, qui tournent autour de deux axes parallèles , en les considérant comme deux cercles qui seraient tangensl’unà l’autre. On distingue, dans chaque engrenage, et pour chacune des roues qui s’engrènent, les dents, les flancs, et les creux qui séparent deux dents consécutives : on fuit voir que, pour l’engrenage dedeux roues cylindriques, les surfaces des dents, des flancs, des creux, sont des cylindres qui ontrespecti vement pour base, uncépicycloïde plane, un rayon, une épicycloïde ralongée. On démontre que le plaachm flanc d’une des roues est tangent aux surfaces de la dent et du creux adjacent à ce flanc; que ce flanc et le creux correspondant sont réduits aux plus petites dimensions.

Lorsqu’on substitue à une des roues une lanterne à fuseaux cylindriques, c’est-à-dire, une roue, sur laquelle sont Gxés, perpendiculairement à son plan , des fuseaux terminés par des cylindres droits à base circulaire ; les dents de la roue qui conduit la lanterne , sont terminées par des surfaces cylindriques , qui ont pour bases des courbes équidistantes des épicycloïdes planes; cette roue n’a point de flancs, ou plutôt le flanc se réduit à une droite ; le creux de deux dents consécutives est forme d’un demi-cylindre droit, un peu plus grand que le cylindre d’jun dos fuseaux de la lanterne et tangent aux surfaces des deux dents.

Dans le cas où l’une des roues doit soulever un pilon , dont la ligne milieu est dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation de la roue , la dent de la roue prend le nom de Came , et le pilon peut être considéré comme une roue dont le rayon est infini ; on fiiit voir que chaque came est terminée par une surface cylindrique qui a pour base une développante de cercle; cette développante est ce que devient l’épicycloïde plane, lorsque le cercle fixe étant d’un rayon fini , le cerc'e mobile esL d’un rayon infini. Si le cercle fixe est d’un rayoninfini, c’est-à-dire, une ligne droite, un point quelconque du cercle mobile décrit une cycloïdc.

3i6 TRAITÉ

Lorsqu’une des roues doit être conduite par une crémaillère, dont la ligne milieu est dans un plan perpendiculaire à l’axe de la roue , chaque dent de la crémaillère est terminée par une surface cylindrique , qui a , pour base une cycloïde ; le creux de deux dents consécutives est formé de deux portions égales de surfaces cylindriques qui ont chacune pour base une épicycloïde ralongée. Les flancs se réduisent aux lignes droites, suivant lesquelles les surfaces des dents et des creux se touchent.

La roue qui engrène avec la crémaillère est composée des mêmes parties que celle qui engrène avec une autre roue. 11 y a celte différence, que la dent et le creux sont terminés par des surfaces cylindriques , qui ont pour base, l’une une développante de cercle , et l’autre une développante ralongée. Ces courbes remplacent l’épicycloïdc ordinaire et l’épi— cycloïde ralongée , dont on fait usage dans le cas général de l’engrenage de deux roues cylindriques.

Engrenages des Boues d’angles , à dents coniques.

Ces roues tournent autour de deux axes qui se rencontrent sous un angle donné. On propose de les faire tourner comme deux cônes droits, qui auraient pour axes les axes de rotation, et qui seraient constamment tangens l’un à l’autre. On détermine, pour une roue, la forme de chaque dent et du creux qui sépare deux dents consécutives , et la grandeur du flanc adjacent à la dent et au creux. La dent est terminée par une surface conique à base d’épicycloïde sphérique; le creux, formé par une portion du cône à base d’épicycloïde spérique ralongée , est réduit aux plus petites dimensions. Le flanc est un plan qui passe par l’axe de rotation de la roue à laquelle il appartient; on démontre que le plan du flanc est tangent aux surfaces coniques de la dent cl du creux, qui lui sont adjacentes.

Lorsqu’on substitue à une des roues une lanterne à fuseaux coniques , ^c’est-à-dire une autre roue dont la circonférence porte des fuseaux terminés par des cônes droits, qui ont pour sommet commun le point d'intersection des deux axes de rotation, la dent de la roue, qui conduit la lanterne , est terminée par une surface conique, enveloppe de l’espace parcouru paraît cône droit, dont l’axe trace dans l’espace un cône à base d’épicycloïde sphérique. Ce cône droit mobile peut être égal à

des Machines. 517

celui qui termine l’un des Fuseaux de la lanterne; mais pour rendre l’engrenage plus facile, on le prend un peu plus grand. La roue qui fait tourner la lanterne n’a point de flancs , ou plutôt le flanc se réduit à la ligne île contact de la dent et du creux adjacent : le creux est terminé par la moitié de la surface du cône droit, générateur de la surface de la dent.

Si l’on conçoit le plan qui passe par les axes de rotation de deux roues cylindriques ou coniques, les dents de la première roue, placées d’un côté de ce plan, conduisent la seconde roue par scs flancs, et en même temps lcsudents de la seconde roue, placées de l’autre côté de ce plan des axes , conduisent la première roue par ses flancs. ( 3 e double ellct a lieu quel que soit le sens dans lequel ou fait tourner les deux roues.

Ou termine ce chapitre par l’application du trait ou de l’épure au tracé des roues d’une forme donnée. Cette application se fait par les méthodes delà Géométrie descriptive , qu’on met en pratique pour l’appareil des ouvrages en bois ou en pierre, et il est indispensable de connaître ces méthodes pour comprendre la théorie et la construction des engrenages.

Statique.

Application du principe des vitesses virtuelles aux Machines élémentaires décrites dans ce chapitre , et qui ont pour objet de faire décrire des cercles, à deux points donnés, autour de deux axes aussi donnés, de manière que les vitesses angulaires de ces points soient égales, ou dans un rapport donné. On conçoit les cercles décrits par ces deux points, et les forces P, Q tangentes à ces cercles qui se font équilibre. Ces deux forces, dont l’une est la puissance et l’autre la résistance, sont appliquées en deux points qui décrivent, dans un temps infiniment petit , des arcs de cercle aussi infiniment petits , que nous exprimerons par dp, pour la puissance, et par dq pour la résistance; on a, par le principe des vitesses virtuelles,

P dp -+- Qdq = O;

or, d’apres la construction des mécanismes qui lient ccs deux points mobiles, les arcs même finis, parcourus dans le même temps, sont égaux ou dans un rapport constant; donc on a dq — dp , ou dq = ndp-, ainsi l’équation précédente devient

dp{ P + Q), ou dp(V -+- tiQ) = o; d’ou il suit que la puissance est égale ou proportionnelle à la résistance.