TY F

un arc CN = D^=~, D'E' étant l’épaisseur donnée de la dent, et

menant le rayon BNM , qui coupe l’épicycloïde CM au point M, cet arc CM d’épicycloïde sera la courbe qu’on doit prendre pour la base de la surface cylindrique D'G' ou G'E' du plein de la dent

49 . A cet arc CM de la dent de la plus grande roue, correspond un Ilauc de la petite roue dont on détermine la longueur de la manière sui-

sgi TRAITÉ

vante : du point B, comme centre, avec un rayon BM, on décrit un urc de cercle MPLG', qui coupe le cercle du diamètre AC ou point P, et le cercle du rayon AC au point L. Du point A , comme centre , avec AP pour rayon, on décrit le cercle KPQ, et la droite CQ est la longueur du (lanc de la seconde roue du rayon primitif AC. La portion CM d’épicycloïde conduisant le Hauc CQ de AC en AC', elle passe de la position CM à une position P'P, telle que l’arc CP du rayon BC est égal en longueur à l’arc CI* du diamètre AC; alors elle a pour tangente au point P, le rayon APC' (art. 3o et 5i). Au-delà de celle position , la dent glisserait encore sur le flanc, qu’elle pousserait au-delà de AC, jusqu’à ce que les deux extrémités de la dent et du flanc fussent réunies au point L; alors In dent ne toucherait plus le flanc ; l’extrémité P de b courbe PP' glisserait sur la partie PC' du rayon AC', mais ne toucherait pas ce rayon; car si l’on suppose le rayon AC transporté en AL, au-delà de AC', le point de contact de ce rayon AL cl de l’épicycloïde serait (art. 5o) à i’intcrsection de la droite AL et du dçmi-cercle ACP. Ainsi, lorsque le flanc AC est arrivé en AC', il faut qu’une autre dent égale à la première, engrène avec un autre flanc, et qu’elle communique à la roue du rayon primitif AC un mouvement uniforme de rotation. Aussitôt que cctcngreuage aura lieu, le flanc, arrivé dans la position APC' cessera d’ètrc pressé par la dent, et lorsque celte dent sera parvenue en LL', le flanc AC sera au-delà de AL.

Il est important que plusieurs dents de la grande roue agissent en même temps contre les flancs de la petite roue; par là, on diminue la pression contre chacun des flancs, ainsi que le frottement qui résulte de cette pression.

5o. On déterminera, d’après les mêmes règles, le liane de la grande roue et b figure du plein de b dent de la petite roue. Sur CB(fig. 1 , pl. 5), comme diamètre, on décrit un cercle CRB qu’on fait tourner sur le cercle du rayon AC; dans ce mouvement, le point de contact C de ces deux cercles engendre une épicycloïdc telle que CM'. Supposons-b rapportée en IDd, D<T étanlb demi-épaisseur de la dent de b petite roue, le rayon \Sd coupe l’cpicycloïde Dr/ au point d, extrémité de b dent; donc , si du point A comme centre, avec A J pour rayon, on décrit le cercle r/UM'R, qui . coupe le cercle CRB au point R , b portion RS du rayon BS sera (art. 5o) la grandeur du liane de la grande roue. Ainsi, l’arc d’épicycloïde CM', égal à 1W, tournant eu même temps que le cercle du rayon AC autour du centre A de ce ccrclo, fera tourner le rayon CB autour du centre B,

et fera parcourir à l’ex! rémité C de ce rayon , l’arc de cercle C'S de même longeur que l’arc CR. Lorsque le rayon CB est en SB, il est touché en K par l’épicycloïde qui le conduit; ainsi l’arc d'épicycloïdc CM' glisse de S en R sur le rayon qu’elle conduit de CB en SB, en le louchant continuellement. Au-delà de cette position SB, le flanc cesse d’être en contact avec la dent de la petite roue; la grande roue est alors conduite par d'autres dents de la petite.

5 1 . Il résulte de ces diverses constructions, que la demi dent de la grande roue est terminée par un are d’épicycloïde , tel que G'E', et par un flanc E'K' = SR. Une demi-dent de la petite roue est terminée par un arc d’épicycloïde, tel que UE, et par un flanc EK; le contour de la demi-dent suivante est formé de deux lignes </D, DV, égales à EH et EK ; il s'agit maintenant de déterminer le contour VGK. du creux qui sépare ces deux demi-dents consécutives. Si l’on évidail la petite roue, suivant la figure DVKE, formée par les droites DV et EK, et par l’arc de cercle VK, il est évident que la dent de la grande roue, terminée par une surface cylindrique qui a pour hase l’arc d’épicycloïde CM, ne pourrait pas selogcr dans l’intcrvallcqui séparerait deux dents consécutives; car l’extrémité M de la dent de la grande roue décrira une courbe dont une portion sera dans l’intérieur du cercle V K décrit du point A , comme centre , avec le rayon AV ; la courbe que le point M parcourra sur le plan du cercle dont le rayon est AC, sera donc la limita VGK de l’intervalle qui sépare deux dents consecutives ; la détermination de cette courbe dépend de quelques considérations générales sur les mouvemens absolus et relatifs. Nous allons exposer la partie descriptive de la théorie de ces mouveruens.

Du mouvement relatif d’un point.

5 a. Lorsqu’un point mobile change à chaque instant de position par rapport à trois axes rectangulaires fixes dans l’espace, son mouvement est absolu; ce mouvement est relatif lorsqu’on le rapporte à trois axes rectangulaires mobiles.

(PI. 3, fig. a). Deux surfaces courbes S et S' se meuvent dans l’espace ; un point quelconque A de la surface 8, décrit une courbe AA'A H ... dont la forme et la position, par rapport aux trois axes fixes OX, OY, O Z, sont données ; un point quelconque B de la surfaceS', décrit dans le même tempsuneautrecourbeBB'B"...dont 1a forme et la position, par rapportaux axes fixes, sont connues; ces deux courbes déterminent les mouvemens

• d 6 TRAITÉ

absolus des points A et B. Un demande les courbes qui résultent des mouvemens relatifs de ces points, en supposant qu’on rapporte ces mouvemeus à des points déterminés de la surface mobile S ou S'.

Soient A, A', A", A'"... les positions successives du point A, qui correspondent aux positions B , B', B"... du point B; AB , A'B\ A"B", A"'B"'... les droites qui joignent les positions simultanées des points mobiles A et B. Ayant meué par le point B de lu suriàce S' les trois axes rectangulaires x, y, z, respectivement parallèles aux axcsGxesOX, OY, O'/, supposons que ces axes, fixés à la surface S', se transportent successivement avec elle en x’, /, z', passant par le point B ; en x\ y *, z', passant par le point B" ; eu x'",y' n , z'"... une droite quelconque, telle que A'B'', qui joint deux positions correspondantes des points A et B, fait, avec le système d’axes x', y', z", passant par le point B", des angles qui déterminent la position du point A" par rapport à ces axes. Donc, si l’on trouve un point D" situé par rapport aux axes x, y, i, comme le point A" est situé par rapport aux axes x", y", z’, le point D" sera la position du point A relative aux axes je ,y, z de la surface S', considérés comme fixes, c’est-à-dire que , lorsque le point B sera en B", et le point A en A", le point D 1 ' sera placé par rapport aux axes x,y, z, fixes au point B, de la même manière que le point A" est situé par rapport à ces mêmes axes transportés en x", y' 1 , z"-

On trouvera, de la meme manière, une suite de points D'”, D”... correspondons aux positions A m , A"... du point A , et la courbe DD'LV'..., qui passe par ces points, détermine le mouvement du point A relatif aux axes x,y, z de la surface S'. On rapporterait de la meme manière la courbe décrite par un point B de la surface S', à des axes déterminés de la surface S , considérés comme des droites fixes.

Exemple de mouvement relatif.

53. Deux cercles des rayons EA, AF (fig. 3, pl. 5), situés dans le même plan, se touchent; ils tournent autour de deux axes fixes, passant par leurs centres E et F; le point de contact A, considéré comme appartenant au premier cercle, décrit l’arc AB 1 '; considéré comme appartenant au second cercle, il décrit, dans le même temps, un arc AA" de même longueur que l’arc AB"; ces deux conditions déterminent les deux mouvemens absolus du point A. On demande le mouvement relatif de ce point A, en prenant pour axe fixe uu rayon EA de l’un des .«jprcles , par exemple , de celui dont le centre est eu E.

La droite A'B' fait avec le rayon EB*, un angle A'BV, donc, si l’on mène par le point A une droite AD*=A'B', faisant avec le nyon AF, un angle IVAF = A'B'e, le point D* sera un point de la courbe demandée; mais ayant pris Ab' = AB* si l’on transporte le rayon AF sur le rayon b"f, et si l’on décrit du point f comme centre, le cercle 6"D”, sur lequel on prend un arc b" D'' de même longueur que l’arc A/»'', le point D", extrémité de cetarc, appartiendra à l’épicycloïde décrite par le point A du cercle mobile A"A, qui roule sur le cercle fixe du rayon ML: or, par la comparaison des deux triangles AA"B", Afr'D", on a Ali"— \l>", A A"=i"D"et les angles B" AA", A//'D" sont égaux ; donc les deux triangles sont égaux, et on a AD W =A"B 1 '. D’où il suit que la courbe décrite pur le point A d’un mouvement relatif, est une épicycloïde.

On prouverait, de la même manière, que, lorsque le cercle du rayon AF roule sur le cercle du rayon EA, les mouvemens relatifs des points k et k, placés sur ce dernier rayon, l’un au-delà du point A, et l’autre en deçà, donnent lieu à des épicycloïdes ralongéc et raccourcie. Quand deux cercles qui se touchent, tournent autour de leurs lignes des pôles comme axes , un point quelconque de l’un des plans qui contiennent oes cercles, décrit d’un mouvement relatif des épicycloïdes ordinaires, ou ralongées, ou raccourcies.

Du creux, ou de l’intervalle qui sépare deux dents consécutives d'une roue cylindrique.

54. Soient les deux roues cylindriques des rayons primitifs AC, CB (fig. 1 , pl. 3), pour lesquelles on a déterminé la forme des dents et la grandeur des flancs. Le creux ou l’intervalle qui sépare deux dents consécutives de la petite roue, est terminé par la courbe (art. 5i ) que décrit l’extrémité M de la dent CM de la grande roue, sur le plan du cercle du rayon primitif AC. Or, lorsqu’on fait rouler les deux cercles des rayons AC et CB autour de leurs centres, on sait, par l’article précédent , que le point C décrit d’un mouvement rapporté au rayon AC comme axe fixe, une épicycloïde, et que le point M décrit une épicycloïde ralongéc; de plus, tous les points du cercle décrit du point B comme centre, avec BNM pour rayon, décrivent la même ligne que le point M; donc si l’on prend Cz=MN, les points M et z décriront la même épicycloïde ralongéc. Soit zmq l’épicycloïdc ralongée, décrite par le point z : ayant décrit du point A, comme centre, avec AM pour rayon, l’arc de cercle M m, on rapportera la droite A z en AZ, en fài-

ar >8 TRAITÉ

gant l’ange MAZ=mAz. Transportant la branche de courbe qmzen QZ et en ZMX, QZX sera la courbe décrite par le point M sur le plan du cercle primitif de la petite roue, cette courbe étant rapportée à la droite AZ de ce plan, considérée comme un axe fixe de coordonnées.

Le point Z de l’épicycloïde ralongéc MZQ est, de tous les points de cette courbe , le plus rapproché du centre A ; on peut le considérer comme un sommet. Pour construire directement ce sommet, menons le rayon M.NB qui coupe la circonférence du rayon BC au point N, et développons l'arc CX de cette circonférence de C en n sur le cercle du rayon AC. Ayant porté la droite MX de n en Z sur le rayon An, le point Z est le sommet de la courbe MZQ. Cette courbe a pour normale au point M la droite CM.

A l’épicycloïde ralongée MZQ décrite par le point M du rayon BNM, correspond une épicycloïdc ordinaire N/i qui est décrite par le point X du même rayon, et dont la naissance sur le cercle du rayon AC est le point n distant du point C d’un arc nC égal à l’arc NC du rayon BC.

55. La courbe CM qui termine la dent de la grande roue, tourne autour du centre A, et prend la position P'P, telle que l’arc CP' du rayon BC est égal à l’arc CP du diamètre AC; alors elle a pour tangente ( art. 5o) le rayon APC' et pour normale la droite CP; celte droite est aussi normale à la courbe PZ'ju qui termine le creux adjacent au flanc C'P. En effet, ayant mené le rayon P>'B, la distance BP est égal au rayon Bj-', augmenté du ralongcment Py'=nZ de l’épicycloïda MZQ; d’où il suit (art. 19 ) que la normale au point P de cette courbe transportée en PZV, passe par le point C; donc pour tous les points Q et X du contour d’un creux QZMX, qui se trouvent sur la circonférence l’QX , les rayons AQ, AX sont tangens à cette courbe. .

L’épicycloïde ordinaire yy' qui correspond à l’épicycloïde ralongée PZV, coupc le cercle du rayon AC au point y, tel que l’arc Cy' est égal à l’arc Cy, et le rayon A y passe par le sommet Z' de l’épicycloïde ralongée.

56. Il peut arriver que les deux roues qui tournent, l’une autour du centre A, et l’autre autour du centre B, soient intérieures l’une à l’autre, en sorte que leurs rayons primitifs soient (fig. 1 , pi. 4) AC, BC. On déterminera la dent et le flanc de la petite roue , d’après ce qui a été dit (art. 44 — 5i ) et on trouvera pour le contour d’une demi-dent, la courbe M'C et pour le flauc, la droite CQ. La demi-dent de la grande

roue sera terminée par la courbe Cm VI , et le flanc de cette même dent sera la droite CR', dont la direction coïncide avec celle du premier flanc CQ. De ce que cette droite CR' et la courbe Cm VI sont situées du même côté, il suit que si la grande roue porte des dents, elle n'aura pas de flanc, et réciproquement, si on exécute les flancs, elle n'aura pas de dents. Quelle que soit la roue qui porte les dents , il faudra qua . 6ur l’autre roue conduite par les flancs, le creux ou l’intervalle qui sépare deux flancs consécutifs, soit d’une forme telle, que la dent qui presse l’un de ces flancs, puisse s'y loger toute entière. Le creux de la 'petite roue sera terminé comme dans la tig. 1, pl. 3, par une épicycloïde ralongée QZMX., qu’on trace d’après la méthode exposée art. 5 t. On n’obtiendrait pas le creux de la grande roue , en suivant fa même méthode; car lepicycloïde ralongée, décrite par le point M' étant R'M'R", on voit que 1a dent CM'C' de la petite roue ne pourrait pas s’y loger; le creux de la grande roue s'étendrait au-delà de cette courbe. Pour éluder cette difficulté, on place les dents sur 1a roue extérieure, les flancs et les creux sur 1a roue intérieure, et on fait conduire lu seconde de ces roues par la première.

De l'engrenage d’une roue el d’une lanterne à fuseaux cylindriques.

(Pl. 4, fig. a et 3.)

57. La roue et la lanterne tournent autour de deux axes parallèles ; un plan mené par le centre de la roue perpendiculairement aux axes, coupe ces axes aux points A et B. Sachant combien la roue et la lan? terne font de révolutions dans le même teins, on divise la droite AB ( fig. a ) en deux parties AC, CB proportionnelles aux nombres de tours simultanés, ou a leurs vitesses angulaires; ces droites AC, CB sont les rayons des cercles primitifs de la lanterne et de la roue. Le nombre de fuseaux de la lanterne étant donné, on divise le cercle primitif de la lanterne en autant de parties qu’il y a de fuseaux, el ces points de division C, D', E', F' sont les projections des axes des fuseaux.

On divise de même le cercle primitif de la roue en arcs CD, DE. . . égaux entre eux, et de même longueur que les arcs CD', D'E'...

Toutes les dents sont de même épaisseur; on mesure celte épaisseur par un arc de cercle primitif de la roue dentée. L’intervalle qui sépare deux dents, est terminé par un demi-cylindre droit à base circulaire; le rayon de ce cylindre est un peu plus grand que celui des fuseaux

5oo TRAITÉ

cylindriques de la lanterne. On suppose d’abord que ces fuseaux sans épaisseur, sont réduits aux droites C, D 7 , E'. . .

Dans cette hypothèse, l’épaisseur de la dent est un arc CD contenu un nombre entier de fois dans la circonférence du rayon BC. Pour

eterinincr le contour d une dent de la roue, on fait tourner le cercle du rayon A< sur le cercle du rayon CB. Dans ce mouvement, le point

W cloïdc C *» dont Ia longueur est déterminée par le iey.n MIN B, qui passe par le point N milieu de l’arc CD. De tous les points do cette courbe comme centres, avec un rayon dont la longueur surpasse un peu le rayon des fuseaux, ou décrit une suite d’arcs de cercles; la courbe cm, qui touche tous ces arcs, forme Je contour dune demi- dent de ta roue. Construisant cette môme courbe de m en , ’ et décrivant des points C et D comme centres, avec un rayon égal a la droite qui mesure la distance des courbes équidistantes CM, cm , les cercles rPc', JQd', on aura la dent entière dmc, et les deux creux adjacens rPc', dQd'.

58. Il est bon de remarquer que les points c et d, des courbes cm, dm, ne sont pas sur la circonférence du rayon AC ou AD, mais sur les tangentes a celte circonférence menées par les points C et D: en sorte que les naissances des dents, dans l’hypothèse où les fuseaux cylindriques ont une épaisseur, sont situées sur un cercle qui a pour centre le point B, et pour rayon la droite bd ou Bc, hypoténuse d’un triangle rectangle qui a pour côtés adjacens à l’angle droit les rayons Ce, AC jfci fuseau et du cercle primitif de la roue.

La normale au point m du contour de la dent, coupe l’épicycloïde CM au point m ; décrivant du point B l’arc m'm" qui coupe le cercle du rayon AC au point m", ce point détermine la position de l’axe du fuseau au moment ou ce fuseau cesse d’étre conduit par la portion cm de la dent cmd , fixée au cercle primitif de la roue.

La fig 3 se rapporte à l’engrenage intérieur. La distance CD des axes de deux fuseaux consécutifs est , pour l’uu et l’autre engrenage (fig. 3 et 5 ), eg.de a I épaisseur cd d’une dent et de deux demi-creux Ce, D d Les fuseaux sont fixes sur deux plateaux parallèles, qu’on nomme tourtes

des ^fuseaux * ” 1 ” S ^ ““ t0urtcs SOnt P er Pendiculaircs aux axes

Toutes les parties qui composent tant l’engrenage extérieur que l’inleneur, son représentées en plan et profil, fig. , et 5 pour l’engrenage extérieur, et fig. 6 et 7 pour l’engrenage intérieur.'

Soi

Des Cames et Pilons. (PI. 5, chap. Il; et pl. i, chap. I, cases 5*B et 7 *C du Tableau des Machines élémentaires.)

5g. Tes dents d’une rôtie cylindrique prennent le nom de cames, lorsque cette roue conduit le manche d’un pilon ou d’un marteau, et lui imprime un mouvement rectiligne ou circulaire alternatif.

La figure 1 (a), pL 5, représente un piloifet son manche ; ce manche est composé de deux pièces de bois CDEF, ABGH, réunies par deux f autres pièces (P) et (Q), qui laissent entre elles un espace vide ABCD. Etant donné un pilon de cette forme , il s’agit de lui imprimer un mouvement rectiligne dans le sens de la droite RS, en le faisant glisser * sur les faces verticales des pièces de bois horizontales LM, L'M'. Soient (fig. î, pl. 5) ce même pilon et son manche vus de profil; un arbre abedef porte les cames A, B, C, D, E, F. Lorsqu'il tourne, chacune de ces cames s’engage successivement dans l’intervalle ABCD (fig. i a) du manche du pilon, et le soulève en pressant la face horizontale AB de la partie du manche ABGH. Chaque came est un solide terminé par une surface cylindrique, qui a pour base la ligne vxyz ( fig. î ). RS étant la projection de la ligue milieu du manche du pilon , et T le centre, de l’axe de rotation de l’arbre abedef, on abaisse du point T une perpendiculaire Tl sur RS. On décrit de ce meme point!’, comme centre, un cercle du rayon T t ; enfin , ou développe une portion a/3 y de ce cercle, ce qui s’exécute en déroulant une corde ou un fil */3 appliqué sur la circonférence apy , et l’extrémité a de cette corde décrit la portion de développée o-ttç.

Chaque came, telle que A, est terminée par une courbe vx égale à la portion de développante air <p, dont la grandeur dépend de la hauteur à laquelle on doit élever le pilon. Pour la hauteur tx dont le pilon est soulevé , on développe l’arc de cercle tv égal en longueur à la droite tx\ la courbe vx est la seule partie du contour de la came, dont la forme soit déterminée. Le cercle décrit du point T, comme centre, avec Tx pour rayon, coupe la développante indéfinie a-iup au point ?, et la portion a.<p est la développante de l’arc do cercle a/3 égal en longueur à l’arc tv.

6o. Connaissant , par l’expérience , l’épaisseur qu’il convient de donner à la came, on la termine par une droite yz, qui concourt au point T, et on raccorde la courbe vx et cette droiteyzpar une courbe quelconque xy, qui soulève encore le pilon d’une petite hauteur , avant que la came soit

,So3 - TRAITÉ

dégagée du manche du pilou; alors le pilon tombe par son propre poids. Lorsqu’il est arrivé au point le plus bas de sa course , il est important que la came suivante F, déjà engagée dans l’espace vide ABCD (fig. 1 a), se trouve près de l’extrémité de la pièce de bois ABC il , afin d’éviter le choc de la came contre cette pièce de bois. tt" (fig. 1 ) est la longueur de l’arc parcouru par le point f autour du point T, tandis que le pilon descend de toute la hauteur” verticale dont il a été élevé par la came A.

. II suit de ce qui a été dit (art. 4a), que les hauteurs dont le point t de la ligne milieu du pilon , s’élèvera sur la verticale tx , seront de même longueur que les arcs décrits par le même poiut t autour du centre de rotation T, et que l’arête de contact de la came et de la face % AB (fig. 1 a) du manche du pilon sera constamment perpendiculaire à la droite tx ( fig. i ). ,

De l’engrenage d’une roue et d’une crémaillère comprises entre

deux plans parallèles. ( PI. 5, fig. a, et pl. i, chap. 1 er , case 5 B du

Tableau des Machines élémentaires .)

6i. La roue tourne autour d’un axe passant par son centre A; un plan perpendiculaire à cet axe contient le cercle du rayon primitif AC de la roue; la droite TCED', qui se meut en même temps que la crémaillère dont elle est la ligne milieu, touche constamment le cercle du rayon AC au point C, en sorte que la vitesse absolue du point C est la même, soit qu’on regarde ce point comme appartenantà la roue, ou comme fixé à la crémaillère. Cette droite TCE'D' pouvant être considérée comme un cercle d’une roue dont le rayon primitif est infini, l’engrenage d’une roue et d’une crémaillère est un cas particulier du cas plus général ou les deux roues ont des rayons primitifs de dimensions finies.

6a. Faisant tourner le cercle du diamètre AC sur la droite TCE'D', le pointC du cercle eDgendre , non pas uneépicycloïde, comme dans le cas général des deux roues, mais une cycloïde CM. On prend , pour la demi-épaisseur d’une dent de la crémaillère, une droite CN, contenue un nombre entier de fois dans le cercle du rayon AC ; une perpendiculaire NM à la droite CT détermine la grandeur de l’arc CM de la cycloïde.

La perpendiculaire M$ au rayon AC rencontre la circonférence du diamètre AC au point s; faisant AQ= As, CQ est la grandeur du flanc de la roue qui correspond à l’arc de cycloïde CM. Le creux de la dent de cette roue est terminé par la courbe MZRQ, que décrit le point M de U crémaillère sur le plan du cercle dont le rayon est AC. On suit , pour

DES MACHINES. 3oS* *

construire cette courbe, lu méthode qui a été décrite (art. 54). On prend l’arc CN' du rayon AC, égal en longueur à la droite CN, épaisseur d’une demi-dent de la crémaillère , et l’on tire le rayon AZN'. Les deux arcs N'Y et CN' étant égaux, on mène le rayon AY, et QRZX est le creux de la dent de la roue; CQ , XY sont les flancs des deux dents adjacentes à ce creux. Cette figure CQRZMXY a été transportée en DVGKE. Pour compléter la dent de la roue, on considérera la ligne milieu DT de la crémaillère, comme l’axe du pilon RS dans la figure précédente 1 , pl. 4. La courbe D d ( fig. a, pl. 5 ), développante du cercle du rayon AC, conduira la crémaillère de la même manière que la « came vx (fig. 1 , pl. 4) conduit le pilon. Le point d (fig. î , pl. 5) est l’intersection de la développante Ttid et d’un rayon A/D, tel que l’arc D/ est de meme longueur que la droite CN.

63. La crémaillère porte des dents, et deux dents consécutives sont séparées par un creux; mais elle n’a point de flancs, ou autrement le flanc se réduit à une ligne droite, comme on l’a déjà vu à l’art. 6o des cames et pilons. On aura donc tout ce qui est relatif à l’engrenage d’une crémaillère et d’une roue , lorsqu’on connaîtra la forme du creux qui sépare deux dents consécutives de la crémaillère; ce creux est terminé par deux branches de courbes égales à E'H'. Cette branche de courbe est égale à celle qui est décrite d’un mouvement relatif par l’extrémité M' de la dent de la roue sur la crémaillère. On construit cette courbe d’après ce qui a été dit (art. 54), et il suit de l’art. 55, que le rayon AC touche à la fois la développante du cercle CM , et la cycloïde ralongée CR'Z'.

Engrenage d’une roue à dents coniques, et d'une lanterne à fuseaux coniques. ( Pl. 6, cliap. 11, et pl. î, chap. I", case 6 E du Tableau des Machines élémentaires. )

64. Soient ( pl. 6, fig. î et 5 ) AC, A'C les axes de rotation de la roue etdela lanterne ; ces deux droites se coupent au point C,ctfontcntreellcs l’angle ACA'. Connaissant le nombre de révolutions que la roue et la lanterne doivent faire dans le meme temps, on divise l’angle ACA' (fig. î et 5) en deux autres angles ACB, BCA' par une droite CB, telle que si, d’un point quelconque B (fig. î ), on abaisse des perpendiculaires BA , BA' sur les axes de rotation, ces perpendiculaires, qu’on peut regarder comme les rayons primitifsde la roue et de la lanterne, soient entre elles dans le rapport des nombres qui expriment combien la rouo et la lanterne font de révolutions entières daus le meme temps. On divise les circonférences

5o4 TRAITÉ

de rayons primitifs BA, B A' en arcs qui, étant développés, soient de même longueur; l’une de ces divisions sur le cercle du rayon B A, mesure les épaisseurs d’une dent et du creux qui sépare cette dent' de la suivante; l’autre division sur le cercle du rayon B A' mesure ( art. 67 ) la distance des axes de denx fuseaux consécutifs de la lanterne ; chacun de ces fbseaux est un cône droit , qui a pour axe une arête d’un autre cône droit, dont le sommet est enC, et qui a pour base le cercle du rayon primitif BA' de la lanterne. Le plan de ce cercle coupe la surface d» chacun des fuseaux suivant une ellipse.

U suit de cette construction , que le nombre de fuseaux sur la lanterne, et le nombre de dents coniques sur la roue , sont dans le rapport des , rayons primitifs de la lanterne et de la roüc.

65. Faisant tourner le cercle du rayon A'B ( fig. 1 ) sur le cercle du rayon AB, de manière que le point B décrive une épicycloïdc sphérique (art' sa ), et regardant cette épicycloïde comme la base d’une surface coniqne, qui a son sommet au point C , intersection des deux axes AC, A'C, une dent de la roue terminée par cette surface, conduira la lanterne par l’axe CB de l’un des fuseaux, comme il a été dit (art. 34) ; mais !o fuseau ne se réduit point à son axe : chaque fuseau est un cône droit, dont le sommet est au point C ; on demande que la dent qui conduit ce fuseau soit terminée par une surface conique , telle que deux points des circonférences des rayons primitifs BA , BA' décrivent dans le même temps, comme dans le cas du fuseau réduit a son axe , des arcs de même longueur ; cette condition détermine la forme de la dent de la roue. En effet, la surface conique qui a son sommet au point C, et. dont la base est lepicycloïde sphérique décrite par le point B, ferait tourner la lanterne , en poussant les fuseaux de cette lanterne , qu’on suppose réduits à leurs axes. Par l’ira de ces axes , considéré comme une arête du cône épicycloïdc, menons un plan normal à ce cône, et construisons, dans ce plan normal, l’arête du fuseau conique; cette arête passera par le sommet du cône épicycloïde , puisque ce cône et le cône droit du fuseau ont même sommet. L’axe du fuseau étant mobile avec le cône épicycloïde, donteetaxe est une arête, chaque plan normal à cecônccontient une arête du cône droit qui forme le fuseau ; donc cette arête est la génératrice d’un troisième cône, fixé invariablement au cône épicycloïdc , et qui, tournant avec ce dernier cône, est tangent au fuseau conique dans toutes scs positions. La surface de çe troisième cône est l’enveloppe de l’espace que parcourt le cône droit du fuseau , dont l’axe se meut sur un côue à

• DES MACHiNF^. ’* * ’ * «o&-

base épicycloïde : l’enveloppe et l’enveloppée ont même plan normal , • suivant l’arête quf leur est commune , et ce plan passe par l’axe de l’enveloppe, qui est l’axe du fuseau conique ; l’enveloppce est la surface de la dent qui conduit le fuseau.

67. Soit DE (pl. 6, 6g. a) la projection de l’épicycloïde sphérique décrite parle pointB (ûg. 1), etOE (6g. a) la projection d’unc'arête du cône épicycloïde. On considère cette arête comme l’axe de l’un des fuseaux coniques. On mène par cet axe un plan normal au cône, épicycloïde , qui coupe la surface conique du fuseau suivant une droite ; la perpendiculaire à l’axe du fuseau , mené dans le plan normal par le point de l’épicycloido qui se projette en E (6g. a ), rencontre la droite de la surface conique du fuseau, en un point qui se projette en E' (6g. a). La suite des points construits de la même manière , appartient à une nouvelle courbe, dont la projection est D'E'; le cône qui aura son sommet au point C (fia 1), et pour base cette nouvelle courbe , conduira le fuseau , comme l’axe du fuseau l’aurait été par le cône épicycloïde.

68. On termine la couronne de la roue par des surfaces coniques droites , qui ont pour axe la droite AC ( fig. 1 ) , et pour arêtes les droites KBL, K'L'. Ces droites sont ordinairement perpendiculaires à l'axe de

■ rotation A'C, en sorte que la couronne a pour surfaces extérieures le plan AL , le cône droit engendré par KL , et pour surfuces intérieures, le plan A'L' parallèle au plan AL, et le cône droit engendré par K'L' parallèle à KL. La distance des parallèles KL, K'L' détermine la longueur d’une dent de la roue. Quant à la longueur des fuseaux , elle dépend de la distance entre les deux plateaux dans lesquels ils s’assemblent. Les bords de ces plateaux sont terminés par une surface conique droite , qui a pour axe la droite C A'<p , et pour génératrice la droit F 4 - ) dirigée vers le point C. Le plateau inférieur est compris entre deux plans F?>, 4 7r perpendiculaires à l’axe de rotation CA'$ ; la distance de ces plans mesure l'épaisseur du plateau. Pour que ce plateau puisse tourner hors de la roue, il suffit que la droite 4 -tt soit à quelque distance de la droite LK , arête du cône droit qui termine extérieurement la roue. Quant au plateau supérieur, il doit être tout entier au-dessus du plan horizontal H'K' qui termine la roue. Supposons ce plan déterminé; la sphère qui a son sommet au point C , et qui passe par le cercle du rayon CK', coupe le cône droit , qui a pour génératrice la droite CL', et pour axe la droite CA', suivant le cercle gh ; d’où il suit qu’un cercle très voisin , dont le rayon est g" h' y et qui appartient au même cône, ne sera pas coupé par le plan

Soft • » . TRAITÉ

II'KL', et qu'en pourra prendre ce cercle g" h 1 pour la base du plateau

supérieur.

Les surfaces coniques droites, qui terminent la couronne de la roue, sont coupées par le cône dont le sommet est au point C, et qui a pour base 4 . la courbe dont D'E'( fig. a) est la projection, suivant deux courbes, et ces deu s coût ! <es onl pour projections les lignes D'ME", d/n ( fig. a ). Les cercles décrits du point O, comme centre , avec les rayons HK , H'K/'

( fig. i ). déterminent les portions D'M et dm ( fig. a ) de ces courir , qui forment le contour d’une demi-dent. Chaque fuseau devant se placer dans le creux qui sépare deux dents consécutives, le contour de c«j creux est formé de deux courbes no, pq ( fig. a ) , intersection du cône droit qui termine le fuseau , et des deux surfaces coniques extérieure et intérieure de la roue. Afin que les dents ne se terminent pas en pointe , * on réunit les deux surfaces épicycloïdcs de chaque dent par une portion <1<* surface conique droite MM' mm' (fig a) , dont le sommet est en C (fig. i), et qui u pour base le cercle HK(fig. 1 ) dont la projection (fig. a ) est un cercle décrit du point O , comme centre , avec OM = HK pour rayon. Le point K est l’intersection de la droite CK, et de la perpendiculaire L'K' à l’axe de rotation CA'.

Pour tracer les contours des dents sur les cônes extérieur et intérieur de la roue, on développe ces cônes, et l’on construit, d’apres ce développement , deux panneaux (fig. 4). qu’on applique sur les faces extérieures de la roue.

La fig. 5, composée de deux plans et d’une élévation , représente la roue entière, et la lanterne avec ses fuseaux. Les droites CA, CA' sont, comme dons la fig. i , les axes de rotation de la roue et de la lanterne.

De l’engrenage de deux roues d’angle, à dents coniques.

(PI. 7, chap.II).

69. Soient ( fignre 1 , pl. 7 ), AC , A'C les axes de rotation des deux roues, qui font entre eux l’angle ACA'; on divise cet angle en deux autres ACB, BCA' par une droite CB, telle que si , d’un point quelconque B, on abaisse des perpendiculaires BA , BA' sur les côtés de cet angle, ' ces perpendiculaires, qu’on peut regarder comme les rayons primitifs des deux roues, soient entre elles dans le rapport des nombres qui expriment combien les deux roues font de révolutions entières dans le même temps. On divise la circonférence des rayons primitifs BA , BA' en ares qui, étant développés, soient de même longueur; chacune de ces

divisions mesure l'épaisseur d'une dent, et la grandeur du creux qui sépare une dent de la suivante ; ilsuit de cette construction que les nojji- • bres de dents, dans l’une et l’autre roue , sont daus le rapport des rayons primitifs de ces roues.

70. Ayant décrit sur BXA' (fig. 1), comme diamètre, un cercle projeté parallèlement à lui-même, et couché en BGA' (fig. 5), on lait tourner ce cercle sur la circonférence du rayon AB, de manière qu’un de ses points décrive une épicycloïde sphérique, tracée sur la sphère du rayon B Y, dout le centre Y est à l’intersection de l’axe de rotation AC, et de la parallèle à l’axe de rotation A'C , menée par le point X, milieu de la droite , A'B. De même sur AxB, comme diamètre, on décrit un cercle, et on le fait tourner sur la circonférence du rayon BXA’, de manière qu’un de ses points décrive une épicycloïde sphérique, tracée sur la sphère du rayon By, dont le centre y esta l'intersection de l’axe de rotation A'C, et do la parallèle xy à l’axe de rotation AC, menée par le point x , milieu de la droite AB.

La première épicycloïde est la base du cène qui doit conduire la seconde roue par son liane, ainsi qu’ila été dit (art. 56 — 5g), et de même la seconde épicycloïde est la base du cône qui doit conduire la première roue par son flanc; ces deux cônes à bases d’épicycloïdes out pour sommet commun le point C. Nous allons construire tout ce qui est relatif à une première roue, c’cst-â-dire , le plein d’une dent , les flancs adjacens à cette dent, et le creux qui sépare une deut de la suivante.

71. La roue que nous considérons a pour axe de rotation la droite AC (fig. f, pl. 7); elle est terminée extérieurement et intérieurement par deux troncs de cônes droits qui ont pour axe commun la même droite AC, et pour génératrices, l’un la droite LK, l’autre la droite L'K.'. Les bases inférieures de ces troncs de cônes août deux cercles parallèles, le premier du rayon AL, le second du rayon A'L', dont les centres A et A' sont sur l’axe AC. La distance entre ces deux cercles est égale à l’épaisseur des pièces de bois qui forment la couronne, ou Yenrayure de la roue.

7a. La grandeur de la portion de cône épicycloïde qui forme le plein d’une demi-dent de la roue, est déterminée par les dimensions des côues droits , qui comprennent la courouue de cette roue. Ayant projeté l’épicycloïdc sphérique qui sert de base au cône épicycloïde de la deut, sur uu plan perpendiculaire à l’axe AC (fig. 1), soit DE (fig. a, p|. 6), celte projection, et DME' (fig. a), la projection sur le même pian, 'de

' ' 3o8’ • TRAITÉ ‘ -

l'intersection «le ce côuc épicycloïde et du cône droit extérieur qui. a pyur g«fnératrice la droite LK (fig. 1 ). Le cercle AM (fig. a) décrit du point O avec un rayon OA=HK (fig. 1 ), coupe la ligne DM (fig. a) au point M. L’arc Dno étant l’épaisseur d’une dent et du creux qui la sépare de la suivante, on partage cet arc en deux parties Dit, no, telle que la dernière no soit d’environ ^ plus grande que la première; on partage encore l’arc D« en deux parties égales D», an, et on tire le rayon Gau' qui est la ligne milieu du plein d’une dent. Sur le cercle du rayon OA, on prend l’arc M'ai' égal à M»'; par cet arc Mi/M' et le somtnet du cône épicycloïde, on fait passer un cône droit. Le tronc de cône droit qui tonne l’intérieur de la couronne de lu roue, se termine au cercle dont le rayon est OA-'=H'K' (fig. 1 ). Ayant mené des points M, AT (fig. ») au centre O, des rayons Mm, M'm', ils interceptent sur le cercle du'rayou OA' un arc mm'; ce qui donne pour la projection de la petite face conique qui réunit les deux faces épicycloides d’uue dent, le contour MM 'mm'. Construisant la courbe M'« égale à la courbe DM, et les lignes dm,pm' semblables aux lignes DM, nM' et semblablement placées par rapport à la droite Gau', on aura la projectiou totale du plein d’une dent de la première roue. Les dents étant toutes égales , les faces épicycloides «le ces dents ont pour contours, des courbes égales. à celles qui se projettent (fig. a) en DM et M'n. Les points de ces courbes, tels que ceux qui se projettent en D et en M, sont situés sur deux .cercles des rayons OD, OM; nommant ces points, Naissances et Extrémités «les dents, les cercles qui contiennent ces points, sont l’un le Cercle des naissances, l’autre le Cercle des extrémités.

On construira de la même manière, la projection (fig. 3) d’une dent de la seconde roue sur un plan perpendiculaire à son axe; mais, d’après l’art. 3g, les dimensions de cette dent déterminent celles du flanc de • la jpremière roue; donc pour construire ce flanc, il faut connaître le cercle MM' (tig. 3) des extrémités des dents de la seconde roue.

7 Ô. Le cercle B«D (fig. 3), du rayon A' a égal au rayon A 'B de la fig. î , contient les naissances des dents de la seconde roue. Supposons que le rayon AV du cercle qui contient les extrémités de ces mêmes dents, soit connu ; les cercles des rayons A'a>, A'»' (fig. 5) peuvent être considérés comme les bases de deux cônes droits qui ont pour axe commun l’axe de rotation de la seconde roue, et pour sommet commun Je point de rencontre des deux axes de rotation. Les extrémités et les causantes des dents de la première roue sont de même sur deux

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rerelus MM', D n (fig. a) qu’ou peut aussi considérer comme les bases de deux cônes droits , qui ont pour axe commun' l'axe de rotation de la première roue , et pour sommet le point de rencontre des deux axes de rotation. Les arêtes de ces cônes droits, contenues duns le plan qui passe par leur axe commun, font entre elles un angle qu’on prend pour la mesure de la saillie de la dent; le rapport des saillies données des dents des deux roues, détermine le cercle MM' (fig. 3 ), qui contient les extrémités des dents de la seconde roue; nous supposerons que ces saillies soient égales, et on va voir comment, dans cette hypothèse, on construit le rayon S! ta' (fig. 3 ) du cercle MM'.

74. La droite qui joint le point B (fig. 2) et le point d’intersection des deux axes de rotation, se projette parallèlement à elle-même en BC (fig. 1); ramenant par un arc de cercle MA (fig. 2) décrit du point O comme centre , avec OM pour rayon , le point M en A, et élevant la •perpendiculaire AK à la droite OD, l’angle des deux droites BC, Kk'C (fig. 1) est la mesure de la saillie de la dent de la première roue, puisque ces deux droites sont dans un plan passant par l’axe de rotation AC (fig. 1), et qu’elles appartiennent aux deux cônes droits qui ont pour bases les ccreles D«, MM' (fig. 2). Les saillies des dents des deux roues étant supposées égales, on mènera une droite CQP, faisant avec la droite CB un angle BCP égal à BCK, et on prendra cet angle pour la mesure de la saillie de la dent de la seconde roue. Cette seconde roue est, de même que la première, terminée extérieurement et intérieurement par deux troncs de cônes droits , dont la section par le plan (fig. 1) des deux axes de rotation, est composée de deux parties égales à celle qui a pour contour la figure PB7r6<pVQ. Cette figure en touruanl autour de l’axe de rotation A'C, engendre les surfaces qui terminent l’enrayurc de la seconde roue, avant qu’on ait taillé les dents de cette roue ; l’angle des parallèles PB K, QB^ 7 avec Taxe de rotation A'C est arbitraire. • ;T è \ -

La droite CQP (*) (fig. 1) coupe la droite 7rBP au point P, d’où abaissant la perpendiculaire PP' sur A'BP'; on obtient le rayon A'BP', ou

(*) On voit (Gg. 1) deux droites marquées des même lettres Pet Q, qui concourent rer» j. te point C. On 50 sert de l'une, pour déterminer la saillie des dents de la seconde roue, et de l'autre, pour construire le creux do la premières roue. En diminuant la saillie des dents , et ^augmentant les dimensions des creux , les extrémités des dents sont moins sujettes à toucher la surface qui termine les creux.

5 io , TRAITÉ . ■

AV (fig. 3 ) du cercle MM', qui contient les extrémités des dents de la seconde roue.

75. Une face d’une dent de la seconde roue appartient au cène qui

a pour base la portion de courbe (art. 7») dont la projection (fig. 5 ) est MD. Soient * et y. les milieux des droites AB (fig. 1), OD (fig. a) : la droite 5* (fig. a), perpendiculaire à OD et à AB, coupe l’axe de rotation A'C (fig. 1), au point y centre de la sphère du rayon yB (fig. v) qui contient l’épicycloïde, d’où l’on déduit la projection MD (fig. 3 ) delà courbe analogue à celle qui se projette (fig. a) en DM E; donc si du point y, comme centre, avec y'B pour rayon, on décrit (fig. 1) le grand cercle 120, on aura tontes les données d’après lesquelles on peut construire ( art. 38 et 3 g ) la grondeur du flanc de la première roue. Suivant ces articles, on décrira sur yD (fig. a) comme rayon, ou sur OD comme diamètre, un cercle DGy'O. Du point 1 (fig. 1) intersection de la droite PQC et du grand cercle ai 3 , on abaissera surl’axeA'C- la perpendiculaire 1 54 ,° qui coupera la droite AB au point 5 , point qu’on ramènera en projection (fig. a) par la droite 56 , perpendiculaire à OD; celte perpendiculaire 56 coupe le cercle du diamètre OD au point 6. On décrira du point O, comme centre, avec 06 pour rayon, un arc 67, qui coupe la droite ODaupoint7. Elevant une perpendiculaire 78 (fig. 1) à OD, qui rencontre la droite AB au point 8, et menant la droite C8, l’angle 8CB comprend le flanc delà première roue, et mesure ce qu’on a nommé (art. ? 5 ) la Saillie de ce flanc. Les côtés de cet angle coupent la droite LFBK aux points B et 9, dont les projections (fig. a) sont D et 10; les cercles décrits du point O, comme centre, avec des rayons égaux à OD et à O10, coupent le rayon O/t aux points n , n'. Les côtés du même angle 8CB coupent la droite L(/K' aux points b et ^ qui se projettent en d et (10)' (fig. a). Faisant pp'=.d{ 10)', le flanc de la dent de la première roue se projette (fig. a) en nn'pp'; ce flanc , considéré dans l’espace, a la forme d’un trapèze dont les deux côtés parallèles appartiennent aux cônes, extérieur et intérieur, [de l’enrayune de la rode, et les deux autres côtés concourent au point <fintetfeea 0 Dn des deux axes de rotation. - %. • -

76. Il ne s’agit plus maintenant que de déterminer la forme du creux qui sépare deux dents consécutives, et de n’enlever du solide dans lequel on doit creuser les dents de l’une des roues, que ce qui est nécessaire pour le paésage des dents de l’autre roue. Lorsque les deux roues tournent autour des axes C A , CA' (fig. 1), l’extrémité M ou M' (fig, 3 ) de la dent de la seconde roue , décrit autour de l’axe CA' (fig. 1) un cercle du rayon

' DES MACHINES. 3il

A'M ou A'M' (fig. 5). En rapportant le mouvement du point M ou M' (fig. 3) aux deux droites AC, AB (fig. 1) considérées comme des droites fixes , chacun de ces points décrit (art. 23) une épicycloïdc sphérique ralongéc. Le cène qui a son sommet au point de rencontre C des deux axes CA, CA', et qui a pour base l’épicycloïde sphérique ralongéc décrite d’un mouvement relatif par le point M ou M', pénétre le solide sur lequel on a taillé les dents de la roue; cette pénétration forme le creux qui sépare deux dents consécutives. La grandeur du creux sur furie des roues dépend évidemment de la longueur de la dent de l’autre roue. Le contour d’un demi-creux, pour la première roue, est en projection (fig. a), composé de deux droites n'p', rq qui concourent au point O, et de deux courbes n'q, rp' qui résultent de l’intersection des cônes droits extérieur et intérieur de la roue et du cône à base d’épicycloïdu ralongée. Ces deux courbes sont tangentes à la droite np'ÿ cette propriété -est analogue à celle qui est l’objet de l’article 55.

77. Pour démontrer (*) que les courbes n'q , rp' sont tangentes à la droite np', nous allons supposer que le plan du flanc de la première roue qui passe parle rayon OD (fig. a), et le plan du flanc de la seconde roue qui passe par le rayon A'D (fig. 3), soient réunies dans un 6cul plan vertical OD (fig. a); alors le point D de la fig. 3, le point B de la fig. î , se confondent avec le point D de la fig. *, et la dent de la seconde roue, terminée par une surface conique qui a pour base la courbe dont la projection (fig. 5) est DM, louche le plan du flanc OD (fig. a) au point D, et le point M (fig. 5) se loge dans le creux adjacent au flanc OD (fig. a). Lorsque la dent de la seconde roue fait tourner la première roue dans le seus qui est indiqué par les flèches (fig. a),. clic conduit le flanc OD dans la position 06 (art. 76). Dans cet instant le point 5 (fig. 1), 6 (fig. 2), (art. 55), appartient à lu fois à Pêpicycloïde sphérique ralongée qui sert de base à la surface conique du creux qui sépare deux dents consécutives de la première roue, et à l’épicycloïde sphérique qui sert de base à la surface conique de la dent de la seconde roue ; or (art. 27 et a8), ces deux cônes dont le sommet commun est au point C (fig- 0> out pour plan normal, suivant l’arête commune, correspondant

(*) Cette démonstration m'a etc communiquée dans le temps (année 1810) où je m'occupais de la théorie des Engrenages , par M. Gaultier, qui faisait à la même époque des recherche» fort curieuses sur les vis sans En qui engrènent plusieurs filets d'écrou; elle est fondée sur une considération semblable à celle que nous avons employée (art. 55) pour fépicycloïde plane.

5i\ . TRAITÉ

au point (5,6), un plan qui passe par le point (5,6), et par la droite qui unit les points D (üg. a) et C (fig. i); donc ils ont même plan tangent, ctic plan se projette alors en 06 (fig. a).

* ? 8 . En considérant la dent de la seconde roue, lorsqu’elle touche le flanc de la première roue dans la position 01 ) (fig. a), la droite qui •passe par le point C (fig. î) et par l’extrémité de ia dent, coupe les cônes extérieur et intérieur de la roue en deux points qui déterminent les cercles des rayons Oq, Or (fig. a), sur lesquels sont placées les extrémités des lignes qui terminent le creux de deux dents consécutives. Lorsque la seconde roue touche le flanc 06, la droite qui passe par le point C (fig. i) «t par le point qui se projette en 6 .(fig. a), en 5 (fig. î); .«j C oupe lescônes droits tronqués qui terminent l’extérieur et l’intérieur de la première roue, en deux points; les distances de ces points au premier axe de rotation AC (fig. î j, sont (art. 76 ) les rayons 0«', O p' (fig. 3 ) des circonférences sur lesquelles sout placées les naissances des» lignes, telles que n'q, p'r (fig. ») projections du contour des creux qui séparent deux dents consécutives.

La courbe q't est égale à la ligne n'q ; les creux correspondons à ces dcific courbes, sont réunis par une portion de surface conique droite qui a son sommet au point C (fig. 1 ) , et qui a pour base l’arc qq' du rayon O q ou Oq.

79 . Les cnrayures des deux roues étant terminées extérieurement et i ntérieurement par des surfaces coniques droites , on fait le développemen t de ces surfaces, et on y trace les contours du creux et du plein d’une dent. D’après ce développement (fig. 4) qui est le même pour toutes les dents, on donne au solide dont la forme première est une espèce de couronne , la figure qui convient à l’engrenage de deux roues coniques ou roues d’angles.

La fig. a ( bis ) est une partie de la fig. 2 , mise à part pour éviter la confusion des lignes. La droite OD (fig. 9 ) et le triangle OCB (fig. 1 ) sont transposés (fig. 2 , bis) en O'D' et en O'C'D'. On a construit sur cette fig. (a bis) la projection n'q de l’épicycloïde ralongée, qui détermine (art. 77 ) le creux ou l’intervalle de deux dents. Cette projection est marquée (fig. 9) des memes lettres ri, q.

La fig. 5 (bis) contient le cercle générateur de l’épicycloïde, qui sert de base à la face conique d’une dent de la première roue. Le rayon

BX = ^ de ce cercle, est transposé (fig, 3, bis) en D/.

DES MACHINES. 3 i 3

Ln fig. 5 , composée d’ail plan et d’une élévation, fait voir l’assemblage de ces roues d’angles; le modèle de pet engrenage a été exécuté en bois * pour mon Cours des Machines à l’École Polytechnique, sur les dimensions du dessin, pl. 7, qu’ou vient S’expliquer.

80. Il y a d’autres espèces d’engrenages, qu’on emploie fréquemment, principalement dans les échappcmens de montres, dans les roues à rochet , etc., et dont la forme varie suivant l'application qu’on veut en faire; la forme des dents pour ces engrenages n’est pas susceptible d’une définition exacte, et pour cette raison n’est pas du ressort de la Géométrie descriptive.

81. Les roues d’angles ont évidemment pour objet de transformer un mouvement circulaire en un autre mouvement circulaire, lorsque les axes de rotation se rencontrent; s’ils ne se rencontrent pas, on les unirait par une troisième droite quelconque ou par une perpendiculaire aux deux, et cette dernière droite serait l’axe de rotatioti de deux roues, dont l’une recevrait le premier mouvement circulaire, et dont l’autre le transmettrait à la roue placée sur le second axe de rotation.

La vis sans fin placée à la case6C du Tableau des Machines élémentaires pi. 1, a aussi pour objet de transformer un mouvement circulaire en un autre mouvement circulaire, lorsque l’un des axes do rotation est dans un plan perpendiculaire au second axe.

De la Vis sans fin. ( Case 6 C du Tableau des Machines élémentaires, pl. 1 , chap. I". )

8a. La vis sans fin est une roue dentée , engrenée dans les pas d’une autre vis à laquelle elle imprime un mouvement de rotation. Sila vis estenvcloppée autour d’un cylindcp, il n’y a qu'une seule dent de la roue dentée qui soit engagée; mais on peut en engager plusieurs, en traçant la vis sur une surface de révolution , qui serait tangente à la circonférence du cercle passant par le premier point de contact de chaque dent.

La figure du filet de la vis sans fin, et celle des dents de la roue menée par cette vis, pourraient donner lieu à une multitude de recherches analogues à celles qui concernent les roues dentées en général.

La meilleure manière de tailler la roue dentée d’une vis sans fin consiste à faire la vis en acier, de la tremper, de donner à ses arêtes un bon tranchant, et de la faire agir sur la circonférence de la roue dcn'éc. A mesure que le tranchant de la vis entraîne la circonférence de la roue, on rapproche l’une de l’autre, jusqu’à ce qu’elles se pénètrent de toute

5i4 . TRAITÉ

la profondeur du filet de la vis , et on continue à les fkire mouvoir ainsi l’une sur l’autre , jusqu’à ce que la^ vis n’ait plus d’action sur les deDts qu’elle a taillées (*).

Résumé des propositions relatives aux engrenages, contenues dans

ce chapitre.

Après avoir défini les épicycloïdes plane et sphérique , ralongée et raccourcie , on indique la manière de construire ces courbes et de leur mener des tangentes. On prouve que la tangente à l’èpicycloïde sphérique est l’intersection des plans tapgens à deux sphères dont les centres •t les rayons sont connus. La transmission du mouvement de rotation d’un cercle à un autre cercle, situé ou non dans le même plan que le premier , se fait au moyen des épicycloïdes planes et sphériques. On lait connaître les mouvetnens géométriques qui résultent de ce mode de transmission, et le rapport des forces qui produisent ces mouvemens.

(*) Cet article est extrait de ['Essai sur l'Art de construire Us Machines , par M. Feriy ; on avait commencé l’impression de cet ouvrage vers l'année 181a, pour l'usage de l’Ecole du Génie de Metz, dont M. Ferry était alors l’un des professeurs ; on doit regretter qu’il n’ait pas été continué. La première feuille de cet ouvrage contient l’énoncé do problème suivant : Deux axes de rotation étant donnés d'une manière quelconque dans l'espace , il s 'agit de trouver une forme d’engrenage qui transmette U 'mouvement de tun à Vautre avec des vitesses déterminées.

M. Ferry a d’abord recherché quelle était la surface qui joni&sait de cette propriété , que les perpendiculaires abaissées d’un point quelconque de cette surface sur deux droites données , fussent dans un rapport constant ; on trouve par le calcul , que cette surface est un hyperboloïde à une nappe.

M. Olivier, lieutenant d* Artillerie attaché à l’Ecole du Génie et de l’Artillerie de Metz, a repris cette question du mouvement de rotation de deux cercles , et il a supposé qu’nne droite quelconque de l'hyperboloide aune nappe déterminé par les distances d'un point de cette aurface aux deux axes de rotation donnés, tournait autour de ces axes, et engendrait deux hyperboloides de révolution.

Considérant à part ces deux surfaces de révolution , il y trace des courbes du genre des hélices , qu’il regarde comme des lignes centrales de deux filets mobiles, qui se rencontrent en chaque position sur un point de la droite de l’hyperboloide à une nappe , qu'on a prise pour la génératrice des deux hyperboloides de révolution» ensuite i( prouve qu'en donnant un mouvement de rotation à l’un des filets autour du premier axe donné , il est en croix, ou en contact avec l’autre filet qu’il fait tourner autour du second axe de rotation. Dans le cas où les vitesses angulaire» des points de contact des deux filets sont égales, les deux filets s’appliquent l’un sur Tantre, comme deux cercles tangens situés dans le même plan, qui tourne ut autour de leurs lignes de pôles (voyez art. a, chap. II, page 7a).

DES MACHINES. 5i5