o,o 38 x 4- io,oooj 4 - o, 1963 = 4- o, 63 o

par lesquelles ou trouvera

33. Il nous reste à voir maintenant comment on calculera l'erreur moyenne dont peuvent être affectées les valeurs de x,y, z, ainsi déterminées par la méthode des moindres carrés. Sans reproduire ici la démonstration donnée par Gauss (*), ce qui nous entraînerait trop loin de notre but, nous poserons avec lui la formule

qui donnera l’erreur moyenne commise sur les p équations, en appelant 0 les écarts de o des équations ( 1 ) après y avoir substitué les valeurs de x, y, z fournies par les équations résolvantes (5).

(*) O» peut se rendre compte, à notre nvis très-facilement, de cette formule sans passer par la démonstration de Gauss, en remarquant en définitive que les équations résolvantes ( 4), ( 5) ne sont que les équations (1 ) multipliées successivement par les systèmes des coefficients

et sommées ensemble. Donc, dans le cas général, ces 1 équations résolvantes remplacent i des équations données p, et on pourrait considérer le système donné des équations ( 1 ) comme composé des i équations résolvantes et de p — i équations prises, comme on voudra, parmi les p équations. Si l'on prend donc, comme nous avons dit au n° 27, les valeurs de x, jr, t,... dans les i équations résolvantes pour les substituer dans les autres, les écarts ne se trouveront que dans les p — i équations. Ces écarts étant donc au nombre de p — i, il est évident que c’est bien par p — i qu’il faut diviser les sommes des carrés des erreurs. D’ailleurs, 'même en opérant de la sorte, la somme 2<f* ne peut pas varier, car autrement elle ne serait pas un minimum.

C'est par un semblable raisonnement qu'on pourrait, par intuition, justi-

fier la formule (to), § III; car l’équation p. = — peut remplacer une des équations données, et alors les vrais écarts se réduisent à n — 1 .

Cela posé, en nous bornant au cas de t = 3, les erreurs à craindre sur les valeurs des inconnues x,j , z, que nous appellerons m x , m r , m„ . . seront

m’= Am, ml = Bm, ml = Cm,

en appelant A, B, C les valeurs qu’acquièrent x, y, z lorsqu’on remplace successivement le système (5) par les suivants

La 1 x -+- Zaby 4- lacz — I , lobx 4- Z b 2 y 4- ibcz —■ O,

2 acx 4- tbcy 4- Zc’z — o,

Là 1 x Zaby + Z acz — o,

Zub j? 4- 2 b 1 y 4- Zbcz - - i,

Z acx 4- 2 bcy 4- Zc 2 z =o,

2 à‘ x 4- Lob y 4- Lacz z=o, lob x 4- 2 b 2 y 4- Zbcz ~o,

Zacx 4- 2 bcy 4- Zc’z — I.

En d’autres termes, pour ceux qui sont au courant de la théorie des déterminants, les valeurs de A, B, C seront fournies par les équations

d . A dZà 1 '

dïb >’

d.lL dZc J ’

A étant le déterminant (6).

Le cas général n’offrira plus de difficulté.

VH.