J — OO

qui, par la raison exposée ci-dessus, représente la moyenne des carrés des erreurs. Il est évident qu’on pourra considérer l’observation comme d’autant meilleure que cette moyenne sera plus petite; car la bonté d’une observation ne con- , siste pas dans le sens selon lequel l’erreur s’écarte de o, mais bien dans sa valeur absolue.

Il est bon maintenant de se faire une idée de la manière

dont varie l’erreur à craindre, selon les diverses lois de probabilités que l’on adopte. t

Et d’abord, si l’on considère la probabilité typique des erreurs et que l’on pose

U. Si , au contraire, la courbe des probabilités des erreurs se réduit aux deux lignes AB, AC (Jig. 6), et si les

Fig. C.

erreurs sont comprises entre OC = — a et OB = -+-«, on aura

En efïet, l’ordonnée j correspondante à l’erreur x sera

Mais l’aire BAC = nb ; par conséquent

f possibilité de x y a — x

* 2 possibilités BAC à 1

En convenant de prendre toujours x positivement entre O et A et entre A et O, il viendra

i 1 = — / x’(a — xW.rH I x 1 la -F- x) Jx ~

a ‘J o al J-a 12

d'où

Ainsi dans ce cas l’erreur à craindre est proportionnelle à la base du triangle (ce qui est évident) et égale environ à

45. Lorsque les erreurs, au lieu de décroître comme dans la Jig. 5, sont toutes également probables ( Jig . 7 ),

Fi[f. 7.

on trouverait, en raisonnant comme ci-dessus,

et par suite

JC- dx —

rn m — — .

L’erreur à craindre dans ce cas est plus grande que dans le cas précédent, ce qui doit être évidemment.

46. Supposons encore que la courbe des probabilités soit un arc de parabole [Jig- 8 ).

En posant OA = u, OC = b, il viendra

et puisque l'aire BCA = - ai, d'après un théorème connu, nous aurons

h ab

3 a 1 — .r 3 3 fl 3 — x 3

Fig- 8 -

* iO A

Par conséquent

■=ur-^=r

ni = — z= •

Si l’on avait cherché la moyenne arithmétique avec la formule

on aurait trouvé, selon la probabilité typique des erreurs,