DE L'ERREUR PROBABLE

50. En général, quelle que soit la loi des erreurs, on appellera erreur probable l’erreur telle, qu’il y ait la même probabilité d’en commettre une plus forte ou une plus faible.

Soit ainsi BAC ( fig . 9 ) la courbe des probabilités, et OM

Fifi- 9- I*

l’erreur probable; il faudra que l’ordonnée correspondante à OM partage en deux parties égales l’aire AOX. En

effet, comme chaque aire AOMM', M'MX, exprime la probabilité que l’erreur tombe entre O et M, ou bien entre M et X, et comme ces deux probabilités doivent par hypothèse être égales, il s’ensuit que les aires le seront également.

Comme on peut en dire autant de la partie négative de la courbe, il faudra que l’aire entière NN'M'M partage

par moitié l’aire entière, ou bien qu’elle soit égale à

L’erreur probable, que nous appellerons r, sera donc celle pour laquelle

Supposons que — a et - 4 - a étant les limites des erreurs, celles-ci soient toutes également probables; comme dans ce cas

il viendra

d’où

ce qu’on pouvait prévoir; car, naturellement, l’ordonnée qui correspond à l’erreur probable passera par la moitié

de AB (fig. 7 ). En se rappelant ensuite qu’on a m =

(p. 55), on en déduira r

Dans le cas delà Jïg. 5 , on a

d’où, en comparant r avec la valeur de déjà trouvée en ce cas, il vient

m — — > qu’on a y/6

r= a (y'ti — y^3)

5 t. Dans le cas de la loi typique des erreurs, on a

e~‘' dt,

d’après les notations adoptées au § VIII. Posons t=a\ cette intégrale, que nous avons déjà appelée © (f), deviendra

V ic J o

Rappelons-nous que hx=t , etqu’ainsi l’erreurx est comprise par hypothèse entre — j et + 7; puisque ru = — —

elle sera comprise encore entre

Va.

L’erreur probable sera celle pour laquelle 011 a

— I * dx — - ,

dit J 0 2

ou bien, en désignant par p la valeur qui rend

celle pour laquelle on a x — On trouve

Comme 011 a

il en résulte qu’il y a la probabilité c’est-à-dire 1 contre 1 à parier que l'erreur est comprise numériquement entre o et r, ou bien entre o et

Nous donnerons ici quelques valeurs de 0 qui serviront à faire mieux comprendre la marche de la fonction :

Pour t — 0,^76 = p, on a 0 j/)=o, 5 ; t — o,5g5 — p, 0(r) = o,6;

e-.co — p, 0 (0=i.

On déduit de ce tableau que, pour les erreurs supérieures à

la probabilité est seulement de

Remarquons que les deux équations hx=t , 7 ir = p donnent

et que, par les deux autres

on obtient

r — p\jl ,

où 111 sera l’erreur moyenne dont nous avons parlé, s’il s’agit d’observations faites, ou bien l’erreur à craindre sur des observations à faire, dont on suppose connue la probabilité des erreurs.

52 . En rassemblant les valeurs déjà trouvées pour r relativement à m, il viendra pour le cas des jig. 4,0,7

d’où l’on voit que l’erreur probable est moindre que l'erreur à craindre, ce qui doit être. Pour s'en faire une idée nette, supposons qu’il y ait mille erreurs également possibles distribuées entre o et a, l’erreur probable sera évidemment — , tandis que l’erreur moyenne sera bien plus

grande, puisque la soirçme des erreurs de - à « est plus

forte que celle îles erreurs de o à ~ C'est pour cela qu’on

a justement appelé cette moyenne l’erreur à craindre 5 car si, d’un côté, les erreurs au-dessous et au-dessus de la valeur r sont également probables, de l’autre, leurs grandeurs étant différentes, elles n’ont pas la même importance

pour la précision du résultat, et l’on doit craindre plutôt, même à égale probabilité de se tromper, de faire des erreurs grandes que des petites. Cela se verra encore plus clairement si nous supposons, pour un moment, que les erreurs que l’on peut commettre pour une loi donnée de probabilité représentent autant de sommes à payer. Quoique ces sommes aient égale probabilité de sortir au-dessous et au-dessus de la somme r, il est évident que, pour s’en garantir, on devra craindre qu’il ne sorte une somme supérieure à r plutôt qu’une moindre, car au delà de r les sommes, tout en ayant égale probabilité de sortir, sont pourtant plus grandes en valeur absolue.

Remarquons enfin que, des deux équations

et (g Mil)

on déduit

Telle sera l’erreur probable commise sur la valeur de la moyenne arithmétique.