THÉORIE DES MOYENNES

12. Soient a et b, b étant «, deux nombres fournis par deux observations d’une quantité x qu’il s’agit de déterminer. Il est clair que personne ne voudra adopter a plutôt que b ou vice versâ pour la valeur de ar, en supposant que les observations soient également plausibles; mais tout le monde admettra volontiers que la valeur de x est comprise entre a et b. Et comme il n’y a pas de raison pour qu’elle se rapproche plus de a que de ô, ou inversement, cette valeur doit être telle, que ses différences a\ec a et b soient égales. On devra donc avoir

Donc, dans ce cas, la valeur la plus plausible de x est la moyenne entre les deux quantités.

S’il s’agit de quatre valeurs observées de .r, par exemple a , ô, c, d, la valeur la plus plausible est encore la moyenne

n+t+c+rf

En effet, d’après le principe ci-dessus, on peut remplacer les deux observations a, d par une seule, et

les deux observations b,c par une autre seule,

Or la

moyenne entre ces deux nouvelles quantités est n -+- d b -+- c

Un conçoit aisément que pour un nombre pair a « d’observations la valeur la plus plausible est la moyenne

a -h l> -h c -h fl -h .. .

c'est-à-dire la somme des quantités observées divisées par leur nombre.

La même chose a lieu pour un nombre impair 2/t -+- 1 de quantités,

car, d’après les principes ci-dessus, ces an + i quantités peuvent être remplacées de (an-f i) manières par des expressions de cette forme :

et comme il n’y a pas de raison d’adopter l’une plutôt que l’autre, et qu’elles peuvent toutes représenter la valeur cherchée de x, en les sommant on aura (an + i) fois cette valeur, et, par conséquent,

[2B + I ) = la:

d’où, comme précédemment,

an -t- i

Ainsi serait justifiée cette règle bien vulgaire et dictée par le seul bon sens, que la valeur la plus plausible de x, fournie par plusieurs observations, est égale à la moyenne des valeurs observées. En appelant donc o, o\ o ",. . . les résultats de n observations, et x la valeur cherchée, on aurait

13. Il nous reste encore à examiner si vraiment la moyenne arithmétique est la valeur qu’il convient le plus d’adopter quand la quantité qu’il s'agit de déterminer est connue par plusieurs observations. Quoiqu’il semble, d’après ce que nous avons dit au commencement de ce chapitre, qu’il ne doive pas y avoir de doute à cet égard, nous ajouterons encore le raisonnement suivant. Si les observations étaient tout à fait exactes, les différences de la valeur cherchée avec les valeurs fournies par les observations seraient nulles. Donc la valeur la plus plausible, à savoir celle qui se rapproche le plus de cette vraie valeur, sera celle dont les différences avec les valeurs observées seront les plus petites. Si cela est, il faudra aussi que la somme de ces différences prises en valeur absolue soit la plus petite possible. Pour réaliser cette condition algébriquement, nous dirons que la somme des carrés des erreurs doit être un minimum. Soit donc Q cette valeur la plus plausible, il faudra que

(Q — o) 5 - f- (Q — o'Y -f- (Q — o") 1 minimum.

Mais on a

/ 2o\ 1 (lo)

2(Q — o) J = /iQ 5 — aQ2o-4- 2o J = /i( Q — — J -f- Zo 1 —

où Zo* — ^ - est une quantité donnée. Or le seul moyen

de rendre un minimum le deuxième membre, c’est d’égaler à o le carré j , qui seul est susceptible de

varier. Cela posé, il viendra

donc la moyenne est bien la valeur la plus plausible.

14. Notons à présent qui- cette valeur de x peut ou non se confondre avec la vraie valeur de la quantité qu’il s’agit de déterminer. La tension maximum, par exemple, d’une vapeur donnée à un degré donné de température est une quantité certainement lixe, unique. On pourra multiplier les expériences autant que l’on voudra, mais on ne sera jamais assuré que la moyenne représente cette tension. 11 est donc de toute importance de nous rendre compte de l’erreur à laquelle on s’expose lorsqu’on substitue la moyenne à la vraie valeur que l’on cherche.

Soit X cette valeur; on aura

et par suite d’où

Appelons p la moyenne arithmétique — ? et posons

(3) 1=7* il viendra

«X =r ïo+ SA,

Mais comme

ÏA = A ■+■ A' -t- A' 7 + . . . ,

nous aurons aussi

SA 5 ÏAA'

Faisons maintenant

qu’on pourra appeller la moyenne des erreurs, on aura

»/* üaa'

Mais les erreurs A étant par hypothèse entièrement fortuites, il est évident que sur un grand nombre d’observations elles seront à fort peu près deux à deux égales et de signe contraire, de sorte que les produits AA 7 seront deux à deux aussi désignés contraires, et la somme 2AA 7 s'annulera.

Il viendra donc simplement

Telle est, avec une grande approximation, l’erreur à laquelle on peut s’attendre lorsque, au lieu de la vraie valeur X, on prend la moyenne p.

Donc l’erreur commise dans ce cas est égale à la racine carrée de la somme des carres des erreurs divisée par le nombre des observations.

15. Pour évaluer pratiquement une telle erreur, il serait necessaire de connaître d’avance les erreurs A, ce qui revient implicitement à admettre comme connue la vraie

valeur de X, que précisément nous ignorons, et qu’il s’agit au contraire de déterminer, au moins avec une approximation suffisante. \ oyons, par conséquent, quelle erreur nous commettrons lorsque, au lieu de déduire les A de la vraie valeur de X, on les déduira de sa valeur approchée, c’està-dire de la moyenne arithmétique des observations.

Soient donc 5 , â\ à",..., les écarts ou les différences entre la valeur approchée de X et chaque observation, on aura

Mais des équations (1) et ( 4 ) on lire

et en remplaçant o, o', o",... par leur valeur (9), il viendra

ou

SA’ = «X» + illS -t-

Mais comme p est la moyenne des observations, on a 2^ = 05 et puisque