ERREUR À CRAINDRE ET MESURES DE PRÉCISION

Soient

tX a ^O « •Mê A • • •

plusieurs erreurs qu'on a pu commettre dans une série d'observations, et soient

leurs probabilités respectives.

Il est naturel de chercher quelle est Terreur dans laquelle on a pu tomber le plus facilement. La première idée qui se présente à cet égard serait de prendre la moyenne des erreurs, qui serait exprimée par Tinlégrale

(i) i Xff[x)dx,

En effet, ç (x) désigne une fraction dont le numérateur représente le nombre des erreurs qui tombent entre x et

mais la plus grande valeur de e-*' entre «et — oo est e-*'; donc on a toujours

donc cette somme est toujours plus petite que

qui n'est pas autre chose que le dernier terme de la série, auquel on «'est arrête, lorsqu'on a exécuté le produit indiqué dans le second

membre (3).

X -f- dx^ et le dénominateur le nombre total des erreurs qui se sont commises entre — oo et -f- oo .

Nous nous rappellerons qu'on a substitué les limites ±00 aux limites finies*, car les probabilités en dehors de ces limites sont très-petites, ejt leur présence ou omission ne nuit en rien à l'exactitude pratique des résultats. Par conséquent, toute la somme x<p [x) dx est équivalente à une fraction dont le numérateur et le dénominateur expriment respectivement la somme des erreurs et leur nombre. Âin^i cette intégrale représente bien la moyenne cherchée.

Mais cela suppose qu'on a toujours pris les erreurs absolument entre les limites 14=00 , car autrement les termes se détermineraient deux à deux réciproquement par la propriété connue

?(^)=?( — ^)- Ainsi cette somme, que nous appellerons /ix^est équivalente à

jcff [x)dx.

43. Mais, pour éviter une telle restriction et faciliter les calculs, nous emprunterons à l'analyse elle-même le moyen de tenir compte de la valeur absolue des erreurs, en considérant, d'après Gauss, les carrés des erreurs. Ainsi le carré de l'erreur à craindre, que nous appellerons m*, sera exprimé par l'intégrale

x^f^[x)dx,

qui, par l'a raison exposée ci-dessus, représente la moyenne des carrés des erreurs. Il est évident qu'on pourra considérer l'observation comme d'autant meilleure que celte moyenne sera plus petite; car la bonté d'une observation ne consiste pas dans le sens selon lequel l'erreur s'écarte de o, mais bien dans sa valeur absolue.

Il est bon maintenant de se faire une idée de la manière

dont varie Terreur à craindre, selon les diverses lois de probabilités que Ton adopte.

Et d'abord, si i*on considère la probabilité typique des erreurs et que l'on pose

on aura

^7rt/oo

— ^ Dl l ( f^^'*' Jr\ -

- Wi^^'Hloo )-

aV^TT

d'où

44. Si, au contraire, la courbe des probabilités des erreurs se réduit aux deux lignes AB, AC (fig. 6), et si les

Fig. 6.

erreurs sont comprises entre OC = — a et OB = -H a, on aura

Eu effet, l'ordonnée j correspondante à Teneur x sera

Mais Taire BAC = ab ; par conséquent

possibilité de JT y a — x

2 possibilités BAC

Digltlzed by LjOOQ IC

En convenant (le prendre toujours x posîtivemenl entre O et A et entre A et O, il viendra

m^ = — I x^a — x)d.v-\ I x^ (a -h -r) dx =z = tt»

d'où

Ainsi dans ce cas l'erreur à craindre est proportionnelle à la base du triangle (ce qui est évident) et égale environ à j.

45. Lorsque les erreurs, au lieu de décroître coiumc dans la Jî^. 5, sont toutes également probables {fig- 7),

Fig. 7.

on trouverait, en raisonnant comme ci -dessus.

?(^) = :rT'

et par suite

L'erreur à craindre dans ce cas est plus grande que dans le cas précédent, ce qui doit être évidemment.

46. Supposons encore que la courbe des probabilités soit un arc de parabole {J^g- 8 ) .

En posant OA = a^ OC = Z>, il viendra

el puisque Taire BCA = - afc, d'après un théorème connu.

nous aurons

h ab //« a' 4 a^

Fi£f. 8.

Par conséquent

m' = j I ^~ x'dx=z—,

Si Ton avait cherché la moyenne arithmétique avec la formule