X-+-00 X(^[x) dx
on aurait trouvé, selon la probabilité typique des erreurs,
1,=:— Ç"^ a:e-'^^x^dx = --^ Ç"^ d[e-^') = ^>
47. En suivant la même marche pour les autres lois de probabilités et en comparant les résultats, on formerait le tableau suivant, par lequel on voit que le rapport de la moyenne des carrés des erreurs à la moyenne arithmétique est le plu5 grand possible lorsqu'on adopte la probabilité typique des erreurs.
an
En examinant l'expression (3), on voit que Ja probabilitc de commettre une erreur x est d'autant plus petite que h est plus grand. Par suite h est proportionnel à la précision des observations et peut leur servir de mesure. On appelle par cette raison h la mesure de précision des observations.
48. On peut encore mieux expliquer de la manière suivante l'opporlunilé de cette dénomination.
Supposons que pour un premier système d'observations on ait
\TzJ—X sI-kJ—X
tî[hx),
et pour un autre
s/lt J—x' JnJ—x
ces deux intégrales P, P' sont fonction de hx^ parlant elles
seront égales si
d'où
Par conséquent, si dans Je second système d'observations on peut commettre avec une égale facilité une erreur double, triplcjCtc, de la première, la constante A' relative sera la moitié, le tiers, etc., de h et vice versa. Mais puisqu'une observation doit être considérée comme d'autant plus pré» ci se que les erreurs dont elle est susceptible sont moindres, et comme ces erreurs décroissent en raison inverse de /«, il est tout à fait convenable de prendre h pour mesure de précision des observations.
Or nous avons vu que, dans le cas de la loi typique des erreurs, on a
m = — ^1 d'où // = — -=•
On peut doûc établir ce principe que la mesure de précision est en raison îni^erse de V erreur à craindre et vice versa; principe qui relie ensemble les deux points de vue différents selon lesquels on peut envisager la question, principe d'ailleurs évident de lui-même, par la nature m(^me des dénominations employées à l'exprimer.
Notons en passant que la quantité m que nous appelons erreur à craindre, dans le cas d'observations futures et d'une loi connue des probabilités des erreurs, est représentée par l'erreur moyenne des observations, lorsque les observations ont été déjà faites, et se calculera d'après les principes du § III.
49. Nous examinerons maintenant les relations qui existent entre le poids et la mesure de précision des observations. Si nous appelons, comme plus haut, a la moyenne de n observations
J7 Z=: o, .r = o', X = o", . . . , la probabilité d'avoir commis les erreurs
jX — o, fx — o', p — o", . .
sera, d'après le deuxième leiume, § VIII, égale à
ou bien, en remarquant que
l(ft — oY = rift^ — 2U.10 -h lo' = n l^i -\ -f- — — - ,
lo et que (Jt = — ^
P cnz — ^ et ^ J,
Pour juger de la précision du résultat, il faut voir quelle probabilité P, il va de commettre une erreur z sur la valeur moyenne (x avant de nouvelles observations.
Nous aurons le droit de croire d'autant plus à la bonté du résultat obtenu que cette probabilité sera plus petite.
Soit donc j- = a -h c la vraie valeur de la quantité que Ton cherche, il viendra
à savoir
P,= Pe-'^'*'.
En appelant li = h)Jn la mesure de précision de ce résultat, on obtient
ce qui démontre que, pour d'égales probabilités P de commettre les erreurs fx — o, c'est-à-dire à circonstances égales, la probabilité P, est d'autant plus petite quehyjn est plus grand, c'est-à-dire que le nombre des observations augmente davantage.
Pour un autre système d'observations, on aura
dont on déduit
Mais, comme nous l'avons vu § IV, les nombres n, n' sont
proportionnels aux poids p, p' des observations^ donc on
aura encore
Par conséquent, les poids des moyennes sont proportionnels aux carrés de leurs mesures de précision ^ et en nous rappelant que celles-ci sont inversement proportionnelles aux erreurs à craindre, nous retomberons sur le principe connu § IV, que les poids sont inversement proprotionnels aux carrés des erreurs à craindre, ce qui confirme et rattache ensemble toutes nos théories.
