Dans le cas de la loi typique des erreurs, on a
J ^ir J—x V^TT Jo
d'après les notations adoptées au § VIII. Posons t=0L\ cette intégrale, que nous avons déjà appelée (f), deviendra
(5) e(«) = -^ rVv/.
Vît Jo Rappelons-nous que hx = t^ et qu'ainsi Terreur x est corn-
11, OL Cf. . I
prise par hypothèse entre — y et -Ht; puisque m = — p.?
n n fi^
elle sera comprise encore entre
(6) zpam^2.
L'erreur probable sera celle pour laquelle on a
(7). ^ Ç'^'e-^'*'dx=:l,
Jn Jo 2
ou bien, en désignant par p la valeur quirend
celle pour laquelle on a x = y- On trouve p = 0,4769363.
Comme on a
il en résulte qu'il y a la probabilité -> c'est-à-dire i
contre i A parier que Terreur est comprise numériquement
entre o et r, ou hien entre o et — y^-
Nous donnerons ici quelques valeurs de qui serviront
a faire mieux comprendre la marclie de la fonction :
Pciiir / = o , {76 =: p, on a & [t] =zo,5;
^=I,IOO—:p, (^) —0,8427005;
^zz: 2,317 ==p, ®(0==O>999;
rziz2,75i =zp, 0(O:=o,9999; '
On déduit de ce tableau que, pour les erreurs supérieures à
la probabilité est seulement de
Remarquons que les deux équations hx^tj hr = p donnenl
et que, par les deux autres
on obtient
(8) rz=p^y m z= 0^6'] ^5 m,
où m sera l'erreur moyenne dont nous avons parlé, s'il s'agit d'observations faites, ou bien Terreur à craindre sur des observations à faire, dont on suppose connue la probabilité des erreurs.
52. En rassemblant les valeurs déjà trouvées pour r relativement à m, il viendra pour le cas des Jig, 4) 5, 7
Ir= o,866/iî, r = o,7i7/w, rr= 0,674'";
d'où l'on voit que l'erreur probable est moindre que Terreur à craindre, ce qui doit être. Pour s'en faire une idée nette, supposons qu'il y ait mille erreurs également possibles distribuées entre o et a. Terreur probable sera évidemment -9 tandis que Terreur moyenne sera bien plus
grande, puisque la somme des erreurs de - à a est plus
forte que celle des erreurs de o à — C'est pour cela qu'on
a justement appelé cette moyenne Terreur à craindre*, car si, d'un côté, les erreurs au-dessous et au-dessus de la valeur r sont également probables, de Tautre, leurs grandeurs étant différentes, elles n'ont pas la même importance
pour la précision du résultat, et l'on doit craindre plutôt, même à égale probabilité de se tromper, de faire des erreurs grandes que des petites. Cela se verra encore plus clairement si nous supposons, pour un moment, que les erreurs que l'on peut commettre pour une loi donnée de probabilité représentent autant de sommes à payer. Quoique ces sommes aient égale probabilité de sortir au-dessous et au-dessus de la somme r, il est évident que, pour s'en garantir, on devra craindre qu'il ne sorte une somme supérieure à r plutôt qu'une moindre, car au delà de r les sommes, tout en ayant égale probabilité de sortir, sont pourtant plus grandes en valeur absolue.
Remarquons enfin que, des deux équations
et (§ \ni)
on déduit
rrr. 0,476936 V^fx, r =z o, 84535 f*. '
Telle sera Terreur probable commise sur la valeur de la moyenne arithmétique.
' S3. Pratiquement, au lieu des intégrales
r/»00 Xff[x)dxy m =2 I x^ff[x)djr^ J o
on peut prendre la moyenne (Xi des valeurs absolues des erreurs, et la moyenne my des carrés des erreurs.
Soient donc n les observations, et voyons quelle différence nous trouverons à substituer f/i à fx.
Soit
où X, x\ x"^ . • . sont les valeurs absolues des erreurs, et faisons
on obtiendra
«' = PÎ 4-^ — 2fx,fx, 2j:* 2x 7.1.XX'
mais on a'
et comme la moyenne des valeurs x, x', a:", . . . est j!/, on pourra substituer à la somme Sxx' autant de fois/:A| juii qu'il
, . /i(w— i) V a de termes, a savoir •
Ainsi, on aura approximativement
'w, , , 2.tt?n(n — i)
w'=: h fx'— 2fx^-H-i- :r—9
ou
et
On peut considérer cette expression de w comme Terreur à craindre sur fx, et par suite (5) Tintëgrale (a) exprimera la probabilité que [^) soit compris entre
'^'-^V ïi ' ^-+-«\/ -^
Ces formules, auxquelles nous sommes arrivés bien sim-
pleraent, contiennent la conclusion d'un Mémoire trèsimportant de Poisson sur le tir à la cible. 11 suffira d'adopter pourfjti et /r/i les moyennes (en appelant, par exemple, r la dislance au centre à laquelle frappent les balles) de n' expériences précédentes, de sorte que l'on ait
et alors l'intégrale 0(of) exprimera la probabilité que sur n' nouvelles expériences l'écart moyen du centre des coups tirés soit compris entre les limites.
54. Pour permettre d'évaluer dans la pratique la probabilité des erreurs commises, nous avons donné dans les
Tables II et III les valeurs de t et de. - correspondant à l'in-
P tégrale
La Table II nous donne la probabilité que l'erreur d'observations est comprise entre =p t. Ainsi, par exemple, on trouvera que la probabilité que l'erreur soit comprise entre ipo,3 est 0,329, à savoir : qu'il y a 829 contre 671 à parier que l'erreur sera comprise entre ces limites, ou^ en d'autres termes, que sur *i 000 erreurs coilimises, 329 tombent entre qz o , 3 .
La Table III nous fournit la probabilité que le rapport de l'erreur d'observation à l'erreur probable soit
compris entre les limites zç. - indiquées dans les colonnes ( - ) • On voit, par exemple, qu'il y a o,363 de probabilité, à savoir : qu'on peut parier 36 contre 64 que l'er-
reur ne dépassera pas les — de l'erreur probable, ou que
la valeur probable a d'une observation donnée sera comprise entre a — o,'jr et a -H 0,7/'.
