THÉORIE DES MOINDRES CARRÉS

27. Supposons qu'entre des quantités données et i quantités inconnues quMl s'agit de déterminer, il existe un nombre p d'équations de condition, supérieur à celui des inconnues. Il est évident qu'en combinant i à i les p équations, on obtiendra divers systèmes de valeurs pour les i inconnues propres à satisfaire à une partie, mais non à la totalité des équations. On ne saurait pas au premier abord lequel préférer de ces différents systèmes, et on n'aurait pas d'autre critérium pour choisir Fun plutôt que l'autre, que de les substituer successivement dans les équations de condition, et de voir quel est celui qui, avec les p — i équations restantes, fournirait un système d'erreurs, c'està-dire d'écarts de o, les plus petits possible. Ce serait une opération très -longue, presque impraticable, qui du reste ne conduirait pas sûrement au but \ car, alors même que l'on connaîtrait les vraies valeurs des inconnues, il pourrait très -bien arriver que leur substitution dans les p équa-

lions produisît des écarts encore plus grands que ceux obtenus par la méthode précédente, ce qui proviendrait évidemment de Tiniperfection des observations qui ont fourni les p équations. Au milieu de ces incertitudes et de ces difficultés, le parti suivant parait préférable.

Parmi toutes les valeurs que Ton peut attribuer aux inconnues, on préférera celles qui, substituées dans les équations, fourniront des diflTérences avec o (prises en valeur absolue, c'est-à-dire abstraction faite du signe) les plus petites possibles-, car il est évident que, dans la question actuelle, peu importe le signe de l'erreur, pourvu que l'on songe à en diminuer la grandeur absolue. Les écarts devront même être tantôt d'un signe, tantôt d'un autre, puisque, dans le cas contraire, comme nous l'avons déjà maintes fois observé, il y aurait lieu de croire à des erreurs systématiques. Mais pour remplir analytiquement cette condition, à savoir de ne tenir compte que des valeurs absolues des erreurs, le moyen le plus naturel c'est d'en considérer les carrés, et ensuite de faire en sorte que la somme de ces carrés soit un minimum.

28. L'application de cette méthode dans les divers cas que l'étude de la nature peut présenter, forme précisément l'objet de la théorie des moindres carrés.

Deux exemples suffiront à éclaircir ce qui précède.

1° L'étude des oscillations du pendule à diverses latitudes amena les physiciens à conclure que la longueur X du pendule qui bat la seconde dépend de la latitude (p du lieu, selon une loi déterminée exprimée par l'équation

\ = x 4-/sin2>I;,

où a:, X sont deux longueurs qu'il s'agit de trouver. Divers observateurs célèbres firent à cet égard des expériences que nous reproduisons dans le tableau suivant :