Nous avons vu que l'erreur probable R est expri
-ai-
mée par réquation
R=zo,6745E.
Mais on a
II) E =r —zz OU /7 = — - = — •
pour un système donné d'observations, et pour un autre
(2) E'=— : OU fi' — ^,
Supposons maintenant que les erreurs e, que Ton peut
craindre pour chaque observation, soient égales, ou, pour
mieux-dire, également probables, à savoir /•= r'^ alors il
viendra
ou bien
ou encore
et comme par déGnition, dans le cas d'observations également bonnes, on a, en appelant p^ p' les poids des deux systèmes d'observations ,
il viendra
D'où il résulte que les nombres, c'est-à-dire les poids des observations (en les supposant toutes d'égale précision) sont inversement proportionnels aux carrés des erreurs probables à craindre sur le résultat final. En d'autres termes,
en appelant p le poids d'un système d'observations, on aura
et enfin,
il) ^'==1^'
K étant une constante quelconcjue.
21. Si Ton remplace R et E par leurs valeurs (§ III), Téqualion (7) devient
^~" (0,6745/ ïë'^ '
et, en observant que Ton a
0,6745 := pv'2, p m 0,4769, comme on verra au § X, il vient
pour n suffisamment grand, on a sensiblement
(9) ^=^éF'''
L étant une constante.
On déduit aussi des principes exposés que le poids de la moyenne de n observ^ations est n fois le poids d'une observation simple. En efïet, soit P le poids de la moyenne, et ^ celui d'une observation simple, on aura
E, e étant toujours les erreurs de la moyenne et d'une observation. Mais on a
donc
Notons encore que, pour des observations inégalement bonnes, on aura
et, en général, quelles que soient les observations, («0 ^^Ë^ = R2' « = EV/?, ri=Rv^,
(,2) ;,'=^=:^^, e' = E'vy, r' = R'V^'.
22. Exemple I. — On a fait pour la mesure d\m angle cinq séries (Inobservations^ dont les erreurs probables sont respectivement
Quels seront les poids correspondants des observations P
D'après la formule (2) ils seront
et par conséquent (en prenant K = ioo) ils seront à peu près proportionnels à
Cela nous apprend qu'on peut réduire les 5 séries d'observations, quelles qu'elles soient, à 5 autres, toutes également bonnes, mais au nombre de 7 pour la première, de i5 pour la deuxième, de 4 pour la troisième, de 40 pour la quatrième, de 8 pour la cinquième. INous pourrons ainsi comparer une observation à une autre, et dire, parexemple,
que les observations de la première série valent ou pèsent lo fois plus que celles de la troisième, et ainsi de suite.
23. Exemple II. — Supposons que V inexpérience d\in ohseivateur soit telle, quoti ait à craindre de lui une erreur deux fois plus grande que d^un autre obsen^ateur. Quel sera le poids de ses observations?
R. — Le poids sera = ^^ c'est-à-dire son observation vaudra j de celle de l'autre observateur, et pour rendre comparables les deux résultats, il fapdra que le premier fasse un nombre quadruple d'observations.
24. Exemple III. — On a déterminé la latitude 1 d*un lieu donné par deux séries d* obsen^ations , Vune faite avec un sextant^ Vautre avec un théodolite. On a trouvé pour la première et pour la seconde série respectivement les valeurs
>, = 49® i6' i3", avec une erreur probable R, de db 5", X2=:49<'i6'io% M « R^deihS".
On demande quelle est la valeur la plus probable de la latitude et quelle est l'erreur à craindre sur le résultat.
Appelons pitPt les poids des deux séries d'observations, on aura
er, en prenant K= i5*, ils deviendront
Pi = 9» P'= ^^•
Ces nombres signifient que la première valeur de X est équivalente à la moyenne de g et, la seconde, à la moyenne de aS observations d'égale précision. Par conséquent, la somme p^i -r aSij est équivalente à celle que fourniraient 34 observations, toutes de même poids ^ en la divisant donc
par 34» c'est-à-dire par le nombre des observations, on aura naturellement la valeur moyenne de ces observations. Appelons-la L, il viendra
9>,-f-25)., r ^ ai 9.i3"+25.io" r r, n, no
L = ^—y^ = 49" ï6' -+- ^ ^ = 49»i6'io",8.
25. Cherchons maintenant Terreur probable yî correspondante à l'unité de poids.
D'après les équations (ii) et (la) Terreur probable r^, correspondante à Tunité de poids, sera
ou encore et par suite
Appelons maintenant Pie poids du résultat final L5 nous aurons évidemment
et pareillement
>3=:Rv/P,
R désignant Terreur probable de la moyenne L. En comparant les équations, nous aurons
et, eu égard à la relation (6),
ou encore
Dans le cas actuel Rj = 5, Rj = 3, et, par consé(iuent,
La valeur de la latitude L = 49*'i6'io",8 serait donc exacte entre les limites ± 3'', 5.
Notons que l'expression de R peut encore se mettre sous la forme
R = pv>;R:+/^îR
En eflet, on a
d'après les relations (6), ou enfin
(i6) r=p^/':r;+/'îhî.
26. En général, étant données diverses valeurs de x par le moyen de n séries d'observations,
x=: a^ avec le poids /^i et l'erreur probable r,, (17) <^ = ^a • p^ » Tj,
xz=:a^ » pn • r«,
la valeur la plus plausible de x sera
(i8) ^ /?! g| -4- p^Oj -\- p^a^ 4- > . . -\-pnan
et le poids sera
On aura encore, en suivant la même marche qu'auparavant,
(21) R = p v//'f/-| -H /'Jr? +/'M + .. .+/>>„'.
