Pour plus de simplicité, considérons un système

d'équations à trois inconnues seulement^ le raisonnement

ne perdra nullement de sa généralité.

Soient

ax -\- by -{' cz -f- ^ = o ,

a'x-{- b'y -f- c'z -4- r/' nr o,

(i) [ a"x'\-by-\-c"z-^d"=io,

les équations de condition. Soient e, e', e'\ t'",.., les résultats de la substitution des valeurs des inconnues, que nous nous proposons de déterminer, dans les premiers membres des équations susdites. Si ces valeurs étaient vraies, les e seraient nuls; mais comme elles ne sont qu'approchées, ces e seront les erreurs commises, et elles exprimeront de combien les premiers membres diffèrent de o. Or, afin que ces valeurs, par les raisons ci-dessus exposées, puissent être pour nous les plus plausibles, il faudra que, en vertu des principes exposés, la somme

[i) e=^ -f 6'2 -f- e"' -f- g"" -f- . . . =r minimum.

En supposant, pour un instant, que les x^ y^ -s,. . . représentent les valeurs les plus plausibles, Téquation [i) deviendra

j («.r 4- i>X -^ cz-\- dy 4- (a'x -f- b'y -h cz' -f- d)^ ^ ■ \ -f-(«"xH-6'>+c"3-f-^)^-f-...= min.

Mais, par des théories bien connues, pour que les valeurs X, r» ^>« • • rendent le premier membre un minimum, il faut que les dérivées relatives à chaque inconnue s'annulent. On aura donc successivement pour D^., D^, D,,. . .

I [ax -{- bf -^ cz -h d) a -f- [a! x -f- b'y -f- c'z + d')o!

[ax -\- bx-{-cz-\-d)b-h [a!x-\- b'y + cz -h d') b'

(ax -\- by -\- cz -\- d) c -{- (a'x + b'f -f- c'z H- r/') c'

-h a''x-{-by-hc''z -h ^")^"-+-- • -=0.

{ la^x -+- laby-^- lacz -\- lad=iOy (5) } labx-^lb^y -\-lbcz-\-lbd=o,

( lacx -f Ibcf H- 2c'z H- Icd = o,

qui seront les équations normales que l'on cherchait. En

résolvant ces trois équations à trois inconnues, on obtiendra les valeurs cherchées de x^ y^ z. On voit, en général, qu'ayant autant d^ équations de la forme (4) qu'il y a de données et partant d'inconnues, ce procédé conduira toujours à un nombre d'équations égal à celui des inconnues, d'où elles pourront toujours être éliminées.

Observons en passant que les coefficients des inconnues dans les équations (5) forment un déterminant symétrique par rapport à la diagonale, savoir :

/ 2fl% 2/i6, 2rtC, (6) I Zfl*, 2^% ^bc,

( 2flc, 2/^r, 2c2;

et que, par suite, il suffira d'en calculer une partie. D'ailleurs, comme on a

lab =: -[2(û -\- by— la""— ib""], ^ac— [2(rt H-c)^— 2^2 — 2ff=],

' on voit qu'on pourra déterminer tous les coefficients (5) au moyen des sommes des carrés Sa', et des sommes des carrés 2 (a -i-fc)' des coefficients sommés deux à deux. Puis, an moyen d'une Table des carrés, on trouvera facilement les coefficients avec de simples additions ou soustractions. A cet effet, nous avons donné, à la fin de l'Ouvrage, une Table qui fournit les cairés des nombres depuis OyOoi jusqu'à 1 1 ,999, tirée d'un travail de Schweiger, et que nous avons étendue de lo à 12, laquelle, dans les limites des observations communes et en préparant convenablement les équations, suffira dans la plupart des cas.

31. Exemple I. — Détermination de la valeur en secondes d\tne division d^un nii^eau à bulle d^air.

Plaçons sur une lunette d'un cercle méridien ou d'un

théodolite un niveau, et donnons à la lunette diverses inclinaisons, qu^on lira sur le cercle. A ces inclinaisons correspondront autant de courses de la bulle d^air, et par suite autant de lectures de divisions relatives à la position de son centre.

On peut représenter chaque inclinaison (X) de la lunette, lue sur le cercle, par une inclinaison initiale x du niveau et par le nombre des divisions (/i) parcourues par le centre de la bulle réduite en secondes, en supposant connue la valeur angulaire (p de chaque division.

En faisant diverses expériences, on pourra obtenir les valeurs de x et dej>^ Voici par exemple un tableau :