POSITION

DIFFÉRENC^.S

du centre de la bulle.

entre

les lectures du cercle.

On aura donc

et les équations normales seront

d'où Ton déduit

Par conséquent, pour n'î-mporle quelle position du cercle, l'inclinaison du niveau sera fournie par la simple lecture n des divisions, moyennant la formule

32. Exemple IL — Détermination de la différence de longitude entre deux lieux.

A cet effet, on emploie quelquefois des chronomètres (jue Ton transporte d'un lieu à l'autre en les échangeant. Il est évident que la différence de marche des chronomètres bien constatée indiquera la différence cherchée de longitude. Sans entrer à cet égard dans des détails minutieux, nous donnerons les équations de condition auxquelles a conduit la détermination de la distance en longitude des Observatoires de Pulkowa et de Dorpat, à savoir:

-f- o, 5o8 j: — j — o, 096Z =: 4- o", 096, 4- 0,544^ -+- J — o,3i2z = — 0^,386, + o,54oJ7 — j + o, 2945 = — 0,049,* + 0,522a: -h j — o, 193Z r^ — 0,386, -h 0,6210: — y — o, 1962 = — 0,078, -h o,5iox +/ 4- o, 1142 = + o, 179, -h 0,67 IX — X -\- o,o32z =z — 0,343, 4-0,579x4-7 — 0,0792=:— 0,006.

4- o,5i I .r — X — o,356z = — 0,348, 4- o,535.c 4-jr 4- 0,3452 = 4- o,5o8,

d'où, avec la méthode des moindres carrés et en se servant des Tables jointes à l'Ouvrage, on déduira facilement les équations normales

4-2,860x4- o,o38j — 0,22923= — o,444> 4- o,o38x 4- io,oooj H- o, 1962 = 4- o,63o, — 0,229x4- o, igôjr 4- 0,5342 =î 4- 0,496,

par lesquelles on trouvera

33. Il nous reste à voir maintenant comment on calculera Terreur moyenne dont peuvent être affectées les valeurs de x^y^ z^ ainsi déterminées par la méthode des moindres carrés. Sans reproduire ici la démonstration donnée par Gauss (*), ce qui nous entraînerait trop loin de notre but, nous poserons avec lui la formule

qui donnera l'erreur moyenne commise sur les p équations, en appelant les écarts de o des équations (1) après y avoir substitué les valeurs de x, j^, z fournies par les équations résolvantes (5).

(*) On peut se rendre compte, à notre avis très-facilement, de cette formule sans passer par la démonstration de Gauss, en remarquant en déiinitiTe que les équations résolvantes (4)) (5) ne sont que les équations (1) multipliées successivement par les systèmes des coefficients

a, a', a"; b, //, fc"; c, c'y c" ^ . . .

et sommées ensemble. Donc, dans le cas général, ces i équations résolvantes remplacent i des équations données p, et on pourrait considérer le système donné des équations (i) comm^ composé des i équations résolvantes et de p — i équations prises, comme on voudra, parmi les p équations. Si Ton prend donc, comme nous avons dit au n^ 27, les valeurs de ^, ^i z» • . . dans les i équations résolvantes pour les substituer dans les autres, les écarts ne se trouveront que dans les ;» — i équations. Ces écarts étant donc au nombre de ;; — i, il est évident que c'est bien par;? — i qu'il faut diviser les sommes des carrés des erreurs. D'ailleurs, 'même en opérant de la sorte, la somme Sd* ne peut pas varier, car autrement elle ne serait pas un minimum. C'est par un semblable raisonnement qu'on pourrait, par intuition, justifier la formule (10), § 111; car l'équalion /x = — peut remplacer une des équations données, et alors les vrais écarts se réduisent an — ,1 .

Cela posé, en nous bornant au cas de / = 3, les erreurs à craindre sur les valeurs des inconnues :r, j*, z, que nous appellerons m^, m^, m,,. . ., seronl

en appelant A, B, C les valeurs qu'acquièrent x^y^ z lorsqu'on remplace successivement le système (5) par les suivants

labx-h I b^X -^ lbcz=:o, lacJc-\- ibcy 4- lc^2 =z o,

2fl'a:4- labx -+ 2flcz=o, labx-A- ib^x -{-lbcz = ï, lac.T-\-lbcx -\-lc^z =o,

la'^x -+- laby -+- l.acz =:o, l.abx-\- ib^x -h lbczz=o, lacx -h ibcr -h Ic^z =z i.

En d'autres termes, pour ceux qui sont au courant de la théorie des déterminants, les valeurs de A, B, C seront fournies par les équations

A.A=:-- , A.B=:--— 7T» A.Czir- -,

dla^ dlb' (llc^

A étant le déterminant (6),

Le cas général n'offrira plus de difficulté.