PROBLÈME

Quatre joueurs se sont mis au jeu ; le gain du premier et le ^ du gain de celui des trois autres — a5 ; le gain du deuxième et le j du gain des trois autres =i4 , gain du troisième et le -t du gain des trois autres = 8 ; le gain du quatrième et la moitié du gain des trois autres = 1 1 . On demande quel est le gain de chacun?

En appelant x,y, z , u , ces quatre inconnues , on trouvera par les règles connues de l’algèbre ,

* = a4 } Si je considère d’abord les deux y = 1 2 I dernières valeurs comme pronégaz = — 2 | tives, il sera nécessaire que je les ra- * u = — 6 ) mène à cette expression , z — v — a

THAITÉ ÉLÉMENT AIR*

et w=±i' — 3. La quantité ineffective v pourra être considérée exprimant la mise de chaque joueur. Il faudra que je traduise ainsi les résultats de l’équation : le premier a sa mise +24 ; ledeuxième a sa mise + 12 ; le troisième a sa mise — 2 ; le quatrième a sa mise — 6.

Si je prononce , au contraire , l’égalité entre x, y y ar, u et les nombres qui sont dans le deuxième membre de chaque équation , avant d’avoir égard à leur signe, je traduirai ainsi la solution : x =-34 unités de gain , y— 1 2 unités de gain , z— 2 unités de perte , u=6 unités de perte.

On peut voir que dans les équations pronégatives * = (— a), le signe — est une espèce de proposition algébrique qui indique une opération à faire ; au lieu que dans les équations métanégatives , comme dans ce derhièr point de vue, le signe — est une espèce d 'adjectif algébrique qui caractérise la quantité qu’il affecte. De sorte que la quantité négative n’est plus une quantité à soustraire , c’est une quantité qui a la qualité d’être prise dans un sens contraire de celle qui est positive.

C’est de cette dernière manière qu’on considère les quantités négatives ; mais cette con- * sidération est une véritable interprétation. C’est une opération que l’on passe en quelque

1)U CALCUL DF. S INÉQUATIONS. 5g

sorte sous silence , mais qu’on ne fait pas moins ; cette distinction serait inutile , et même futile, si l’on n’avait egard qu’aux équations : c’est le rapport d’inéquation qui la rend nécessaire.

ig. J’appelle cette opération effectuation , parce qu’on applique le signe d’égalité ou d’inéquation à une valeur effective. Alors il faut considérer qu’il n’y a ni le signe 4- ni le signe — , interposé entre le signe =s= et la quantité ; ce n’est que le rapport d’égalité entre x et cette quantité que l’on considère : de sorte que dans ce premier temps elle n’est ni positive ni négative , et ce n’est qu’après qu’on considère cette relation.

On va reconnaître la nécessité de la distinction des quanti tés pronégatives et métanéga tives dans son application aux rapports d’inécjuation. Jereprends l’inéquation — 3< — a , (16) : elle ne peut avoir pour origine que celle-ci n — 3 — 2 ; dans cette dernière , on compare la différence de n — 3 à celle de n — a ; le signe d’inéquation ne tombe directement ni sur le nombre 3 ni sur le nombre a , mais sur les deux quantités qui expriment chaque différence ; en supprimant n de part et d’autre , si je ne fais aucune effectuation , le signe — affectera les deux nombres 3 et 3 avant le signe

d’inéquation : je ne les comparerai encore qu’en, conséquence du signe qui les précède ; j’aurai donc l’inéquation pronégative ( — 3) <( — a), qui équivaut à r — 3 O — 2, et c’est sous ce point de vue seulement qu’elle est vraie. •••• ■ , ,

Maintenant si j'effectue cette inéquation , en faisant tomber son feigne directement sur les deux quantités , je vois immédiatement que j’aurai l’inéquation métanëgative — (3)> — (2), qui, étant traduite littéralement , signifie d’aboi d 3 est plus grand que 2 ; ensuite ces deux nombres doivent être pris dans un sens ou dans une direction négative. Comme la quantité est commune aux deux membres, on ne la considère plus dans l’inéquation, et l’on a tout simplement 3>2.

- 30. En général , si j’aboutis à l’inéquation — -tt< — b , j’ai d’abord — (a) > — (b), puis, en faisant disparaître le signe négatif de part et d’autre , j’ai 6 ; mais si le premier membre est une inconnue, ou si j’aboutis à l’inéquation» <C — b ; j’ai d’abord par l’effectuation »>■ — (£), que j’exprime ainsi :

x — — > b , ou simplement x — >■£.

C’est ainsi que j’exprimerai les quasi-valeurs négatives effectuées ou anétanégatites , pour

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 4l désigner que le signe — n’est plus intermédiaire entre le signe d’inéquation et la quantité qu’il gouverne. De ceci on peut conclure cette première règle :