CHAPITRE II

Principes et règles du calcul des inéquations : du double point de vue sous lequel il faut considérer les quantités négatives relativement au rapport dJ inéquation.

l5. On a défini plus haut le calcul des inéquations , le mode de la décomposition algé-

brique ; mais cette définition, en n’indiquant que le résultat général de ce calcul , ne peut rien apprendre sur sa nature : ce n’est que par son application qu’on peut en acquérir une idée exacte.

Il suffit de dire ici que par le calcul des inéquations on aboutit à deux formules algébriques , en fonctions des coè'fficiens de la proposée de la forme x <.p , x > q , qui ne comprennent dans leur latitude qu’une seule racine de l’équation : par les principes de ce même calcul , on fait disparaître cette latitude, et l’on parvient à la valeur exacte de la racine si elle est commensurable , ou au degré d’approximation que l’on desire, si elle est incommensurable.

La théorie , sur laquelle s’appuient ces résultats, exige un certain développement. C’est en analysant le mode de solution des équations du troisième degré , que j’en développerai les principes et les règles. Il sera nécessaire d’entrer dans des détails inutiles à la résolution pratique des équations , ' mais, importantes pour l’exposition de la théorie. La résolution des équations du quatrième et du cinquième degré servira à faire connaître la généralité de la méthode, et à faire conclure

DO CALCÜt DES INÉQUATIONS. 33 la formule générale pour la résolution des équations d’un degré quelconque. ">

Dans le calcul des inéquations les signes > ou < tiennent la place du signe = : ce n’est que par le dernier résultat de l’opération qu’on aboutit à ce dernier signe. Il en résulte une difficulté relativement aux quantités négatives qu’il est nécessaire de résoudre. Que signifient ces expressions a? < — a, x> — b, auxquelles on aboutit souvent dans le calcul des inéquations ? cela veut-il dire que l’inconnue est plus petite que la quantité a , pour le premier cas, et plus grande que la quantité b y dans le deuxième? Cette question tient à celleci ; peut-on dire — 3 < — a , ou — 3> — 2?

16. Je considère l’inéquation 6 — 3<6 — 2: il est incontestable que si je retranche la même quantité dans les deux membres de cette inéquation , le premier devra continuer d’être plus grand que le deuxième , j’aurai donc — 3< — 2 : mais, d’un autre côté, si j’élève au quarré les deux membres de cette inéquation , > j 'aurai 9<4j ce <îui e8t absurde. On pourrait conclure de là que les opérations du calcul des inéquations doivent conduire à des résultats contradictoires ; cette difficulté, ainsi que d’âutres; qui se rencontrent dans les rapports d’inéqùation des quantités négatives, trouveront lent

solution dans le double point de vue sous lequel il faut les considérer ; on en conclura les règles du calcul des inéquations relativement à ces quantités.

Une quantité quelconque , considérée toute seule , n’est ni négative ni positive ; elle ne peut être appelée négative que par relation à une autre, qui , par rapport à cette dernière, s’appelle alors positive. La relation de négatif à positif naît de la soustraction. En algèbre on indique l’opération de la soustraction à faire par le signe — ainsi l’expression algébrique a — b se traduit en français par : la quantité b doit être retranchée de la quantité a -y jusques-là point de difficulté.

1 7 , Maisque signifie cette expression x— — ay que donne souvent le résultat d’une équation simple ? Il est nécessaire de considérer ici cette quantité négative sous deux points de vue différens. D’abord , si l’on veut considérer le signe — d’après le principe de sa création , il faudra conclure qu’il exprime une soustraction à faire ; il faudra donc nécessairement imaginer une quantité qui n’a pas été exprimée dans le problème , et de laquelle on retranche a , autrement cette soustraction serait absurde , en désignant cette quantité qu’on peut appeler ineffective par r j il faudra considérer que

l’équation x = — a est équivalente ^ qelle-pi x = v — a. v désigne une quantité quelconque , dont la nature est de n’ètre pas exprimée dans le calcul.

Pour faire mieux concevôir ceci', je considère l’équation x = (b — a), le signe = ne tombe ni sur b ni sur a , mais sur la différence de ces deux quantités. Cette expression annonce qu’il faut que je commence par soustraire a de b , de sorte que l’action du signe — précède celle du signe = ; et en général l’action d'un signe sur un polynôme quelconque, ne tombe que sur le dernier résultat de toutes les opérations indiquées dans ce polynôme , quelle que soit la valeur de chacune des quantités qu il renferme ; telle est la nature de l’algèbre.

Si 5=so, l’équation devient x=(o— -'a)-, en continuant toujours la même considération , le signe == gouverne encore le résultat des opérations k faire dans le pcriynome (o — a) ; il gouverne donc le reste d’une soustraction. La conséquence nécessaire qui en résulte , c’est que l’équation équivaut à x = (v — a). Cfette conséquence peut être regardée comme une première interprétation’.

Des quantités métanégatives et pronégatives.

l8. Ce n’est pas ainsi qu’on interprète les résultats négatifs, que donnent les équations, et je suis loin de prétendre qu’il faille se borner à les interpréter ainsi : car sous ce premier point de vue , la valeur de l’inconnue n’exprime qu’une quantité ineffective. Quand on obtient pour x une valeur négative, on en conclut tout simplement qu’il faut prendre cette quantité dans un sens opposé à celui qu’on lui attribuait dans les données du problème.

Voici en quoi cette deuxième manière d’interpréter la valeur négative diffère de la première : on fait tomber directement l’action

du signe = sur la quantité a ; et ce n’est qu’après qu’on considère et qu’on interprète le signe — qui l’affecte. De sorte que l’égalité entre x et a est prononcée antérieurement et indépendamment du signe — . Dans la première , au contraire , on suit l’ordre naturel dans l’action successive des signes algébriques , ce n’est que conséquemment à l’action du signe — qu’on prononce l égalité entre x et le deuxième nombre de l’équation ; sa valeur est prise dans le sens qu’on lui attribuait dans la question à résoudre ; mais cette valeur n’est

que le reste de la soustraction v — a ; c’està-dire , quelle est ineffective. J’exprimerai l’e'quation négative , considérée soüs ce dernier point de vue , de cette manière #=( — a), et j’appellerai pronégative la quantité ( — a)\ c’est-à-dire, négative avant. Sous l’autre point de vue je l’exprimerai par x= — (a) , et j’appellerai la quantité — (a) métanégative ; c’està-dire, négative après.

Pour rendre sensible cette distinction par un exemple, je l’applique au problème suivant :