AT

TRAITÉ ÉLÉJÏENTAIRH

Dans cette suite de termes on voit d’aboTd'' que les trois premiers forment une série régulière de concentration , mais qui est divergente ; cela vient de ce que la quasi-valeur 4 , étant plus grande que chacune des deux racines égales, a dépassé leur valeur et converge vers la troisième racine, comme on l’a déjà vu.

La série de concentration , dans le terme-, suivant X-"4 , fait en quelque sorte un saut occasionné par la rencontre des deux racines ; imaginaires , qui la fait diverger en rétrogradant au-delà de toutes les valeurs de l’équation. Elle revient ensuite, dans les termes suivans , former une série régulière et convergente de concentration vers la petite racine ; de sorte que l’on a

Pour faire converger la concentration de la limite i,5 , je m’y prends de cette manière : Le terme suivant étant

je le fais d’abord = 1,8 , puis j’observe que le pas de concentration en divergeant = o,3, je le rends convergent en retranchant ce nombre de la limite i,ô ; j’ai donc

d’où j’obtiens, en concentrant à l’ordinaire,

je n’ai donc pas franchi la valeur puisque je m’éloigne ; je retranche de 1,2 pas de-îcppTf, centration qui est o,o34* et j’ai

’ , ' • >vi :■ »' rn

je concentre encore , j’ai ;

r 4= 1,187 ; en rétrogradant ■ ■ - 1 - ; r

k"4=iMs\

le pas de concentration étant o,oai. Je concentre à présent l’autre limite o,83 , et j’obtiens

* > - p, > 0,845, .ÏMi.’l le pas convergent

1 1 * - !i uo h v 1 .

• j • • ■ • ? 1 a ; u,- ••• 1. -i*> .- •! ■ :,*> • m -'«ru '*»

je joins ces. deux limites opposées

.. iiJ >•>" • .. i ■ j C > 0,845 y; i!;;'î -:::i -r/ij

ét j’èn prends la moitié qui me donne'’1 ' i::iL

• - rr ; i • ,<• •üi‘)!i;r

P , Il o>99 i

en concentrant de nouveau , je verrai si je suis en^deçà ou au-delà de la riiOine. Par ce moyen

. ». . . ...... '.CjCnO . ■ ,*> . » -X

onjpeut concentrer les racines égales en nom bre pair comme les .autres.

i.'Jl r.-i.

a58 TRAITÉ ÉLÉMEMTAIRB

Soit enfin l’équation qui ne contient que des racines imaginaires, ^

jr< + 3i;3 + 9** + 9*+ i°=.o, -

dont lés facteurs sont

(Æm + tf+2)(** + 2x + 5);

en concentrant s-, ] ^

k' 4 == IO’9‘

*it 4 == 7»^*

On voit que cette série de concentration est alternative et divergente : on ne rencontre aucune trace de série régulière ; d’où il faut conclure que les quatre racines de 1 équation sont imaginaires. Sa propriété d’être alternative me fait conclure que la partie réelle d une des racines est enbqei4 .et *4; je les concentre

par compensjvtipq; j’ai d’abord pour la qn*sir,

valeur moyenne

du calcul ï»es inéquatioks. ‘a5g par ce moyço j’obtiens une série de concentration convergente jusqu'à y-"1 — o,585, parce que 1,89 surpasse le premier terme i,&; c’est donc à #/' que la série de concentration finit sa convergence. Je ne puis donc avoir pour la partie rationnelle de cette racinte , que la quasi-valeur x = — - 0,585 , tandis que la vraie valeur est x = — o,5. Aiusi ce mode de concentration ne peut pas conduire aux valeurs exactes de la partie réelle des racines imaginaires. ’

Au reste, les racines imaginaires qui se ttouvent dans une équation , formant toujours des facteurs doubles dont tous les termes sont réels, on voit que pour les résoudre il faut décomposer l’équation en facteurs du deuxième degré. C’est à quoi l’on parvient eneoée par le calcul des inéquations; comme tyii le verra ci-après; Auparavant, il est nécessaire de continuer le développement des méthodes qui appartiennent à la décomposition des équations en facteurs simples.

260 TRAITÉ ÉLÉMENTA IRE

DEUXIÈME SECTION

Deuxième mode de solution , ou mode de solution double.

191. Dans le mode précédent j’ai considéré toutes les racines du même signe , et je les ai supposées toutes négatives : dans ce mode-ci les racines de l’équation peuvent avoir des signes différehs , les unes positifs , et les autres négatifs ; car le principe de ce mode est de transformer la proposée en deux autres équations, dont les racines sont toutes positives , comme on l'a déjà vu dans la résolution des équations du troisième degré.

Je reprends donc les deux quasi - valeurs originelles qui conviennent à

toute espèce d’équation du quatrième degré , quel que soit le signe de leur racine , et je fais comme ci-dessus :

x = — ( «• H - z) et x = — ( P — z);

en substituant ces valeurs dans la proposée, j’ai

ÜU CALCUL DES INÉQUATIONS. a6l *'*— 4<p 1 z'34-6<fa ]*'+ç>4 )

+ AJ -—3 A <p • -{-3A0M —A <p3i

-f* B . — sB<p j -f-B<p* > = o.

Comme ces deux équations doivent avoir toutes leurs racines positives , je fais immédiatement la première pour «• ,

-s4 — a zs + b z* — c z + d = o ; la deuxième pour <p ,

z'* — a z'3 + bz’* — yt' -f 1= o.

J exprime les deux premiers coëfficiens par les deux mêmes lettres , parce qu’ils sont les mêmes dans les deux équations , comme on l’a déjà vu et comme on va le voir ; car en substituant les valeurs des coëfficiens en valeurs de coëfficiens de la proposée , j’ai

192;{a=‘3 V A* — {B. =3V7 [ pour »

(b— ^ (A* — * B ) = 3 r J et

a» jc=T7Ca-9r^(-3A3-4-8AB-i6C)]=^(2.9^7l54C). ’ (y=T7[a;^V^-(-2A3+8AB— i6C)]=4-îT<a.grV/r+54C). J’appelle »ÿ4C la relation rationnelle des trois premiers coëfficiens jusqu’à C , savoir :

— aA3 + 8AB— i6C, et je me sers de la notation pour exprimer que c’est la relation des trois premiers qui appartiennent au quatrième degré.

2Ôa TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

En décomposant cette relation , on a — aA‘-f 8AB — i6C = — 3A(A*— |B)-f (A5 — 16C);

or A3 — 16C est la relation de A à C qui est telle que cette expression est = o , quand toutes les racines sont égales , comme l’autre relation A’-—} P». Ainsi «S^C exprime la différence des deux relations de A a B et de A à C.

o„ — 3A* + 4»A*B— 43AC + 44n+3V,

— 3.4( — 2A3+ 8 AB — iôC)^,

je l’exprime ainsi : --

d » (.JD + 3V — 3.4 SfiV^r) ,

puis

. «r = -iï(tS,D + 3V+ 3.4^cv7).

J’appelle iSD la relation rationnelle de tons les coëffioiens de la proposée : elle est l’expression du dernier terme -

-o-3 — A •»* , etc. et p3 — A <p* , etc, ,

lorsqu’on fait ^r = o. Il eu est de même de SA C pour le terme précédent.

En décomposant (SD en ses élémens , on a

S D =— C, A*( A *B) -+• 4A( A» - 1 6C)— (A*— 4<D) ; c’est-à-dire que <5D exprime les relations de A à B, de A à C, de A à D, qui sont encore telles que toutes sont =s= o , quand toutes les racines sont égales. Cette* loi est remarquable.

DU CALCUL DES 1KÉQUATIOHS. û63

En réunissant les différentes expressions des coëfficiens, on a l’équation générale de complément.

ig3. z4.

— z X -±r(*,C)r]/~r q= iS^C ).

+ 1 x TîCi’D + 3V=f3.4*S4C^7).

On peut exprimer généralement cette équation par celle-ci toute seule :

*4 — a#3 + b«* — car-t-d = o,, .

Toutes les fois que je la considérerai ainsi généralement , les lettres c et d auront une valeur double.

Je résous cette équation indépendamment des signe négatifs , comme j’ai fait pour le troisième degré (124) > j’aurai par conséquent les mêmes formules, et le même ordre de racines que pour la résolution des équations aux racines négatives ; j’ai donc d’abord