II
346 TRAITÉ ÉLÉMEWTAIRE
Avant de discuter ce qui appartient aux racines imaginaires, il est à propos d’appliquer ces formules à des exemples où toutes les racines sont imaginaires; je me bornerai à donner les quasi-valeurs des deux premières racines en .
T"' | jr4-t-8.r-t~a3:r’-+-i8j:-4-ii = o J je, — || 1,7646.
| (jr-+-3)(j+4)(*+5)(JX-6) 1 -r— |[ 3,199a.
| -4-34i!r-*-3C<* J je, — || 4,ioi3.
f (*-*->)(*+») (*-*- «O) (-T4-IO) J JT, -U 0,9816.
j jr*-n3jr'4-i6ai’-4-34or4-aoo / jc, — 1| 1,3886.
.»* f (x+.i)(x-hg)(x+io)(x+\*) | je,— |j 1,476a.
* ( jc’-i-32jr'-t-349*’-n398j-+-io8o . . . . J JE > — |] 5,4114.
Bme f (jT4-i)’(xH-i)(ar4-3) 1 JC,— ||o,8Sn.
I **-t-7jr’^-i7JE'-(-i7af-4-6 .... T. .... . j x,— || i,343.
On peut remarquer dans ces exemples, que, i°. les deux quasi-valeurs x , et x, ne suivent pas toujours les deux directions opposées < et >, parce qu’elles naissent immédiatement de l’inéquation
x3 + A’ x* + etc. <0,
au lieu que, dans le troisième degré, elles naissent immédiatement d’une e’quation. Ainsi, dans ce cas, il y a des quasi-valeurs qui sont en-deçà, d’autres au-delà; mais néanmoins on voit qu’elles approchent toutes de la valeur de la racine, et la limite de x est celle qui s’en écarte moins; on voit que dans le quatrième exemple la deuxième quasi -valeur est assez
I>U CALCUL UES INEQUATIONS. 347
éloignée de sa racine, mais elle est néanmoins distincte de la première , qui est bien plus rapprochée.
Maintenant quand il y a des racines imaginaires, la première quasi-valeur, qui a toujours la forme qui lui convient , doit avoir une expression imaginaire, quand la première racine l’est. Mais une quasi-valeur quelconque peut avoir une expression imaginaire, à raison de ses trois radicaux Y~r , Y? et ; d’abord s’il n’y a que le grand radical Yr.' qui soit imaginaire, il est clair qu’il n’y a que les deux quasi-valeurs de la branche en «>' , ( V'oyez le tableau (i85)), qui puissent appartenir à la paire de racines imaginaires , parce qu’il n’y a que ces deux-là qui aient la même quantité réelle ; savoir :
En deuxième lieu, si YJ' est imginaire, alors le grand radical Y" R' est un radical double imaginaire , parce qu’il contient une fonction de YJ\ ou plutôt V — p' : dans ce cas il faudra décomposer Y] R/, comme ci-dessus, par la
formule Y fdczV — h (i36), on obtiendra un résultat de la forme Ymz±zV — n. Maintenant pour former la paire de racines imaginaires, il faudra prendre une quasi -valeur dans la
branche en , où l’on a — » et 1 autre dans lia branche en n' où l’on a + 1^7' (i 85). Si ŸR.' par sa décomposition a le coefficient de sa partie imaginaire négatif ; si elle donne y/ — n , on aura pour la paire d’imaginaires ,
on bien
jr, — f H^(A— — ?'+ V — n),
xt — { Il ï(A — V m) + K V — ? + ^ — n)‘
Si, au contraire, le coefficient de V — n est positif, la paire d’imaginaire? sera
|li(A+ v/^)-T(y-^+
Ce n’est que par ce moyen qu’on obtiendra une paire de racines dont! la partie réelle sera
DU CALCUL DES INEQUATIONS. , 2^9 égalé , et la partie imaginaire égale avee un. signe additionnel opposé danslesdeux racines.
Dans le premier de ces deux cas la paire d’imaginaires appartiendra aux deux premières racines , et s’il n’y a que deux racines imaginaires , les deux dernières seront réelles.
Dans le deuxième cas les deux racines moyennes de l’équation seront imaginaires , et les deux extrêmes seront réelles.
Enfin, si le radical originel est imaginaire , ou si l’on a (/ — r , alors il faudra que l’une des deux imaginaires appartienne à la branche réductible , et l’autre à la branche irréductible pour que toutes les quantités imaginaires puissent avoir dans les deux racines un signe additionnel contraire.
Je ne m’étendrai pas davantage dans le premier mode de solution, sur ce qui concerne les racines imaginaires. C’est dans le deuxième mode de solution qu’on apprendra à distinguer les cas , i°. où tôutes les Tacines sont réelles ; 2°. où il y en a deux de réelles et deux d’imaginaires ; 3°. où toutes les quatre sont imaginaires. Ce que l’on vient de dire sert de base pour apprendre à faire cette distinction.
Néanmoins la méthode de concentration • suffit avec ce qu’on vient de dire pour résou-
dre entièrement une équation du quatrième degré , et reconnaître la nature de ses racines. Si la petite racine est réelle : car on peut , par le moyen de la concentration , la connaître jusqu’au dernier terme d’approximation qu’on peut lui donner , puis la séparer de l’équation , et résoudre le reste par la méthode du troisième degré.
190. Il s’agit de faire voir, par des exemples, que lorsqu'il y a des racines imaginaires, la première quasi-valeur a toujours la forme qui lui convient.
exemple. ^ (*'+6x4..o)..=olx,-
(x'-t-gr -4-3ox’-4-4ax-*-ao. ..=ojx,—
,rnt f (x-t-a) (jr+3) (j: “ .4*+ 5o).=o I *
(x, + i9x'-n»6x,.+-334x.3oo=o}x, —
(x* — i4x!-*-5ix’ — i4x+5o. .=0/ x, —
jx,-4-8x,-t-a3x*-t-3ax-»-i6 . . .=1
ix*-4-3x’-f-3x’-t-3x-*-a.
tmf ( (x'+i4x+5o) (x’+i).
| x1-4-i4x'-f-5ix‘ -+-i 4x-K,io. .
o, ai 1+0.
Les trois premiers exemples de ce tableau ne souffrent aucune difficulté; on voit que les deux premières quasi - valeurs sont réelles,
nu CALCUL DES INÉQUATIONS. a5l
parce que les racines auxquelles elles correspondent, stmt aussi réelles.
Le quatrième et le cinquième, qui ne contiennent également que deux racines imaginaires, ont le radical V'p imaginaire, ce qui rend ^/R' un radical double imaginaire; alors l'inéquation abaissée
a?5 -J- A1 w* -J- Jt 4* C
a son radical originel imaginaire; il se résout par la formule ci-dessus (170). On a pour le premier exemple ,
SC = 8,6354 = >o;
la première racine est donc la réelle , et les deux autres imaginaires; ainsi, dans ce cas, la première et la dernière racine de la proposée sont réelles, et les deux moyennes imaginaires. Dans le cinquième exemple, on a
SC = — 27,75 = <o;
la petite racine est donc imaginaire, et par conséquent la paire de racines imaginaires appartient aux deux premières racines de l’équation. Ainsi, dans ce cinquième exemple, les deux premières quasi-valeurs ont encore la forme qui leur convient. On voit encore, dans ce dernier exemple, que le rang que j tiennent les racines d’une équation , est dé-
fl5a TRAITÉ iLÏMENTAIRE
terminé par leur partie réelle, quand elles sont imaginaires. Ici la partie réelle des deux racines du facteur
est nulle, voilà pourquoi elles appartiennent aux deux premières racines de l’équation.
Dans le sixième exemple, les quatre racines de la proposée sont imaginaires : les deux premières quasi-valeurs ont encore la forme qui leur convient. Les deux autres quasi-valeurs de la branche réductible ont la forme réelle, parce qu’elles sont les quasi-valeurs irréductibles propres à l’inéquation abaissée
x 1 -4- À' x% + etc.
On voit de cette manière qu’en décomposant une équation d’un degré quelconque en deux autres, dont l’une (x 4- p) est simple, et l’autre a un degré de moins que la proposée; cette dernière , par sa décomposition successive, contient une suite de valeurs irréductibles , telle qu’il ne reste que la première racine qui ait une quasi-valeur dont on doive s’occuper, et que j’appelle quasi- valeur de solution, j
, - Lorsque le radical originel de l’équation Vr est imaginaire, le cas irréductible n’a plus lieu : on l’a déjà vu dans le troisième degré; il en
est de même dans le quatrième , èt ainsi des autres. En voici la raison : Quand tous les radicaux sont réels, leurs valeurs, par les différentes opérations du calcul , produisent une convergence vers la petite racine d’où résulte une divergence vers la grande. Mais quand ils sont imaginaires leur valeur ne se mêle pas avec les quantités réelles comme dans le premier cas , il faut une opération particulière pour dégager les quantités réelles qui sont embarrassées dans les radicaux imaginaires. Cette opération est trop compliquée pour le premier mode de solution, je la réserve pour le deuxième.
Quoique ce cas paraisse exiger plus de calcul , il est réellement le plus simple : il suffit de concentrer immédiatement la quasi-valeur' 4 = j A. Si l’équation contient deux racines réelles , on tombera nécessairement dans une série de concentrations qui convergera vers la première ou la troisième racine , selon que les deux imaginaires appartiendront à la deuxième ouà lapremière paire des racines de l’équation. Soit par exemple l’équation
X4 + 3tf3 -f- 12** + 3ox + 2,0 = o,
dont les facteurs sont , « , ,
(*• + io) (*•+ i)(x + a).,
a54 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
et dont le radical originel est imaginaire
j’ai
en le concentrant, j’ai
Il est inutile de prolonger la série , on voit que ces termes sont convergens, parce que le deuxième pas de concentration est plus petit que le premier : dans ce cas- ci la convergence est vers la troisième racine x ~ — 1 , car les deux premières racines sont x — o pour la partie réelle.
xi + 8x3 + 29a;* + 6sjc+ 40 = 0, dont les facteurs sont
(x* + 3x+ io)(x + i)(* + 4)> ; en concentrant 4 , j’ai
Soit cet autre exemple
,71 11)0 tv MtMS
•VSe
On voit que dans ce cas la série converge , vers la première racine qui est réelle = 1 .
Soit encore l’équation
x* + 3 x3 + 5x* + 5x + a = o , dont les facteurs sont " *
DU CALCUL DES INEQUATIONS. a55
et qui contient par conse'quent deux racines égalés et deux imaginaires; comme on a \Z-—ry je concentre la quasi- valeur 4 = jA, et j’ai 4 5= 0,75.
Jt'4 = o,835.
Dans ce cas la première des deux racines égales est la troisième de l’équation , et comme la quasi-valeur 4 est plus petite , la concentration mène à sa valeur ; ainsi on rencontre encore dans ce cas une série de concentrations convergente.
Mais soit maintenant cet autre exemple :
dont les facteurs sont
(jr' + 4®+ *o)(ar+ 1 }*,
et qui contient, comme dans le premier cas , deux racines réelles et deux imaginaires ; en concentrant 4» j’ai
