De la résolution des équations du quatrième degré

Je décompose l’équation générale du quatrième degré,

x* H- A x * + B x% -J- C x + D = o , en deux facteurs

(x* + Px + Q)(a?* + px + q)x^o i en la recomposant, j’ai

*4 + p*3 + qx, }

+ p xs + Vpx‘ + Qp x > = o.

+ q f‘ + P qx + Q q j

J’obtiens de-là quatre équations auxiliaires,

a B=Pp + Q + ^;

3 C = Qp + P q ;

3x6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRF* n *-

J’ai de plus les deux inéquations pour le premier facteur ,

pour le deuxième ,

• q<hp'-

D’abord avec l’équation

Q = B — • Pp — <7 , et l’inéquation

Q<ipi,

j’obtiens

puis avec l’inéquation

je parviens, en mettant pour p sa valeur = A-P,

à cette inéquation du deuxième degré ,

qui donne

- p<i(A+ v/TÂ^BB),

Pour avoir la quasi-valeur dep, je mets A — p à la place de P , dans ces deux quasi- valeurs , et j’ai , pour la première,

p>ï(A — t/3Aa — 8 B ) ■,

pour la deuxième ,

p<KA+ V 3A*— 8B).

Ces deux dernières quasi - valeurs sont les mêmes que les deux premières ; mais dans un ordre renverse , d’où l’on voit que les deux quasi-valeurs de P sont les deux quasi-valeurs de l’équation P et p. . v

22g. J’aurai donc

v.. P<UA+ V/3A*— 8B) = <n,

et >• p>£(A — V 3 A‘ — 8B)= >t.

On peut conclure d’après le raisonnement qui a été fait ci-dessus (61 ) que n est la quasi-valeur de combinaison de la somme des deux plus grandes racines de la proposée, et que v est la quasi- valeur de la somme des deux plus petites racines.

On peut voir que la relation des deux premiers coëfficiens

est la même que celle qu’on a trouvée dans les deux premiers modes de solution.

Quand on a

les deux expressions de ri et n sont imaginaires. Il semble que, dans ce cas, il doit en résulter la même difficulté de calcul que dans les deux

3l8 TRAfTÉ ÉLÉMEKTAinK

modes pfécédens ; mais on verra que ce cas ne souffre aucune difficulté , et qu’on peut parvenir dans tous les cas à décomposer l’équation en facteurs réels, lors même que toutes les racines sont imaginaires.

a3o. Pour obtenir les quasi-valeurs de Q et y, je procède également de la première équation auxiliaire vers la quatrième, et, pour éviter toute discussion inutile sur la.direction du signe d’inéquation , j’employerai dorénavant le signe || , à l’exception des quasi-valeurs originelles n et t 7 dont je déterminerai la direction. J’ai donc de ï et 2 ,

Q || B — n V — q, et de 1 , a, 3,

? Il

Cette quasi-valeur est incomplète, parce qu’elle ne renferme pas la relation du dernier coefficient , elle servira à trouver la quasi -valeur deQ, par la quatrième équation auxiliaire, et j’ai

(n — *-)D C — - ( B — n tr ) v

En commençant par prendre

j’ai d’abord

Qll (B — B«r)n — C; d’où j’ai de même

Lapremière de ces deux quasi-valeurs appartient ou correspond à P, et la deuxième à p. Si l’on change dans cette dernière ri en t, et en n ; c’est-à-dire, si l’on change le signe du radical originel , on obtiendra la quasi-valeur de Q, et réciproquement.

Si l’on exprime n et m en valeurs de coëfficiens de la proposée , on a

o|[ 4Dl/3A»-8B

4Dy/~ 3 A* — 5 B

q (A1 — aB)(A + y/ 3A‘ — 8B) — 4C On peut encore donner aux deux quasi- valeurs de q et Q les deux formes suivantes :

( A — *• ) ( B — Ajr-f *■*} — O

255. Maintenant, pour compléter les quasivaleurs originelles » et n , je remonte en par-

tant de la quatrième équation auxiliaire vers la première ; je complète d’abord p en fonctions de sa quasi-valeur correspondante v , et j’ai immédiatement des deux équations 4 et 3 ,

Cv— kv'

j’aurais eu également ,