AG
H etc.
Maintenant pour avoir l’expression générale de la double équation en *, j’ai d’aijiord, en ne prenant que pour ♦ ,
TRAITÉ - ÉLÉMENTAIRE l-**
. -Ai - 2 t -
As"-’
n — a.»— 3...i H Bar"-»
»3.»4....Car„3
» . — Mtr.
On voit manifestement la loi pour la formation des coéfficiens de cette équation , ainsi que celle en « ; mais , pour les former l’une et l’autre , il faudrait faire un double travail. Il est donc avantageux de prendre une formule de coéfficiens qui puisse éonvenir , à la fois , à cette double équation , et qui soit en fonction de SC, iÎD, «JE, etc., dont on connaît la formation, et qui expriment la nature des fonctions qui entrent dans la formule.
Pour prendre généralement cette formule , je commence par le dernier terme , ou la dernière colonne, et j’observe que les coèfficiens de tous ses termes sont égaux à l’unité. Ce dernier terme est donc le développement de ; " nm — + etc.
Pour former le terme précédent j’observe que la formule du binôme a tous ses termes à
DU CALCUL DES INEQUATIONS. 3og
égale distance des deux extrêmes parfaitement égaux, qu’il est indifférent de la prendre dans un sens direct ou de la prendre à rebours ; que dans le premier sens on a ( ar + a V" , et dans le deuxième (a + *)'" ; par conséquent les coéfficiens du terme précédent seront : nw"~ 1 — (« — i)A*"-,+n —sBva~3 — («— 3)C»"—3 etc. ceux de l’antépénultième seront :
— - — wn y 1 etc. ;
etainsi de suite. En développant donc ces suites on a les coéfficiens n , m, 1 , tels qu’on les voit exprimés sur le troisième tableau , page 3 14- Cette formule convient à la double équation en z, par le double signe =p, qui affecte alternativement les termes , le signe supérieur appartient à l’équation du complément de -s-, et le signe inférieurs à celle du complémen t de 9.
Mais il faut observer que la formule est faite d’après la supposition que le degré n est pair . Dans ce cas le dernier, terme de l’équation en z et en z' , exprimé en » et en 9 , savoir : zn + ntt 1 zn~‘ etc. et z'" — n/v\z,a~' etc., -A I +A J
sont de la même forme; on a, par exemple, pour le dernier terme du quatrième degré, <w4 — ■ A v3 4- B'»’-— etc.
#4 — A ?3 + B p* — etc. ; -
3îO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
Dans le développement de ces deux quantité» il n’y a que Vlr qui ait un signe différent, par conséquent tous les termes qui n’affectent pas Ÿ~r , doivent avoir le même signe dans l’une et dans l’autre; et ceux qui sont affectés de ce radical doivent être négatifs pour w% et positifs pour p : c’est ce qui a lieu dans la formule du tableau.
Au contraire, quand l’équation est d’un degré impair, les deux expressions en » en p ont tous leurs termes d’un signe contraire ; mais comme est d’un signe différent dans » et dans p , il s’ensuit que les termes qui sont affectés de ce radical doivent avoir le même signe dans les expressions de » et de p ; et qu’au contraire , les autres termes doivent avoir un signe différent ; il faut remarquer , enfin, que le premier terme de chacune de ces deux expressions , pour le cinquième degré, par exemple, est immédiatement + «ÎE pour tr, et — »SE pour p ; mais comme dans l’équation générale ,
z5 — a z4 + b z3 etc. ,
on a fait ressortir le signe négatif des coëfficiens alternatifs , on doit avoir pour ce premier terme E, et ainsi pour les autres degrés impairs. —
DU CàlCCTi DES INÉQUATIONS. 5lt
226. Il s’agit de faire voir encore comment il faut employer cette formule pour les différens degrés , je l’applique d’abord au troisième degré ; dans ce cas 3 , et comme C est alors le dernier coefficient , on a
et, d’après ce qu’on vient de dire, le premier terme «SN devient
le deuxième, ' *' 1 . > -
zçin.SnM. ( n — 1 qui devient
6^jBV/r = — 6rVr,
parce que
jÿjB = — (A* — 3B) = — r ; le troisième terme
Tl • TL " 1 ~ T # \
■ ~SnL(n— i)»r, -
qui devient ,
parce que la fonction dont il est composé , savoir :
— ( n — 3 ) A"-* + ~ A""4 B etc.
contient dans tous ses termes n — 3, qui est
3«a < •' TRAITÉ ÉLÉMENTÀIR*
= o ; mais ce n’est pas à dire pour cela qu’il faut s’arrêter là : le terme suivant,
Tl. Tl l.Tl 2
=’=— 7X5 'YrV-r,
qui devient
= 8. Si . r V'r ,
(car le premier coefficient de l’ëquation = r ) = 8 r^~r ,
parce que la fonction de Si ne consiste plus que dans le terme
en récapitulant on a
°j ~ ï7 (3 rVr-=f.SQ, ,
comme on l’a vu ci-dessus.
Pour avoir la valeur de b , j’ai , dans fa deuxième ligne de la formule, le premier terme
je le prends positivement tel qu’il est dans la formule , parce que les termes de cette ligne proviennent des fonctions de *• et de p élevé à une puissance paire ; le deuxième terme qui contient SA. est = o ; le troisième terme qui contient Si est = 1 x 4 r.
BU CALCUL DES I HliQUÀTlOH S. 3ï3
ou j ai ,
b = j(4r+«S11B)^f(4r-r)=r, comme ci-dessus.
Pour avoir a , qui appartient à up degré impair, je reprends les signes additionnels contraires à ceux de la formule. Le premier terme de la troisième ligne
Tl
il ne reste plus que le deuxième , qui , à cause de tS'i = i , donne a=2 pO*, comme ci-dessus.
227. En récapitulant donc les règles à observer dans l’application de cette formule : i°. Le double signe =p prend la place du signe + , et réciproquement pour tous les coëfficiens qui appartiennent à une puissance impaire de
. 20. SnB = — r ;
Si j’applique cette formule au quatrième degré avec l’observation de ces quatre règles, j’ai
d=-J-(SD =ç= 3 .4 SAC \Tr — 54r*=F° + 81 r*)- 4 4
=— («SD + 27 r* =p 3 .4<S*C
C =—(=j=SC — grV^rzrzo -j- 27 r^r.
=i(2*9rV^:=F‘SC-
b = - ( — r=r=o + gr)= ar.
Ces différentes valeurs sont conformes à celles qu’ on a obtenues ci-dessus.
En l’appliquant encore au cinquième degré on obtiendra également le même résultat que ci-dessus. Ainsi , à l’aide de cette formule , on peut immédiatement former la double équation en 2 , il suffit de calculer les relations SC , SD , SE , etc. , dont on connaît la loi.
On peut alors résoudre cette double équation par la formule générale exposée dans le tableau précédent, et l’on peut même, si l’on veut, se procurer une formule où tous les radicaux Ÿ rn » V rn, , etc. , et les valeurs A', A", etc. soient exprimés immédiatement en fonctions des relations SC, S D, »£E, etc.
SC CALCUL DIS I KÉQC ATIOIÎS. 5l5
