Ba‘ + Ca + D

en divisant encore de même , j’ai

i = ^Aq3 + Bq1 + Ca + Dj

équation identique , car elle donne immédiatement

a4 + Aa3+ Ba‘ + Cfl + D = o.

J’ai successivement décomposé l’équation en la divisant par

quatre fois , et je n’ai pas trouvé d’autres valeurs ; en voici la raison : c’est qu’à chaque division j’ai transposé dans le deuxième membre successivement D, C, B, A ; c’est-à-dire qu’à chaque fois j’ai ôté le principe qui constitue des valeurs différentes dans l’équation ; car, avant chaque transposition , le premier membre

puis

TRAITÉ iLÉjrESfAIR*

puis etc. , formait un binôme , et , après la transposition , il ne restait plus que x affect*? du coefficient X.

On en sentira encore mieux la raison, si on recompose l’équation à partir de la dernière division

en transposant A dans le premier membre et multipliant d’un côté par x , et d’un autre par — a, j’ai l’équation

dont lepremier membre contrent un binôme, qui, par cette raison , est susceptible de donner deux valeurs différentes. En transposant C de même dans le premier membre , j’y introduirai un nouveau1 binôme , et ainsi de suite.

Soit pour exemple l’équation numérique du troisième degré,

ar3 + 6x” + ii* + 6 = 0,

qui peut être satisfaite par trois valeurs différentes ,

DU CAtCüt DES INÉQUATIONS. 383 X = — I j X = — 3 ,

Si je le divise par son facteur x -f- 1=0, il me restera pour quotient x% •+■ 5 x -f- 6 ,

qui contient les deux autres facteurs (x + 2 ) (x + 3) ;

mais en disposant cette équation de cette manière :

( x 3 +6*’ + 1 1 ) x ~ — 6, pour la diviser par l’équation

chaque membre par son correspondant comme ci-dessus , j’ai

Si je m’arrête là , j’ai une équation du deuxième degré qui me donne les deux valeurs x = — i ,

différentes de celles contenues dams l’équation

x3' -f 6x*etc. = o ,

«t ces deux valeurs différentes proviennent

encore de ce que le premier membre

contient le binôme x ■+• 6. En divisant encore par

et transposant , il reste

262. Ce premier apperçu feit voir par la synthèse et par l’analyse , que le principe de l’inégalité dès racines des équations composées provient de ce qu’elles ont été formées par le produit de plusieurs équations simples , exprimant la même valeur, multipliée membre par membre ; mais dans lesquelles l’inconnue fait dans un des membres un binôme avec une quantité additionnelle. Cette formation se voit manifestement dans l’opération de l’élimination quand les inconnues sont multipliées l’une par l’autre. Soient , par exemple , les deux équations

a x + b y = c , gxy + h y =p ;

si je substitue dans la deuxième la valeur de y , prise dans la première , j’aurai

Le premier membre est le produit de deux

DU CALCUL DKS INÉQUATIONS. 385

binômes , ce qui donnera deux valeurs differentes.

Ainsi c’est la combinaison du système multiple, avec le système additionnel, qui produit les amphibologies du langage algébrique.

263. Outre ce principe de variété dans les racines, il en est un autre qui appartient au système multiple. ,

Si , par exemple , avec l’équation

j’ai les deux autres

j’aurai en substituant

x3 — (m + n) x1 + mnx — p = o;

d’où il résultera trois valeurs différentes, parce que les valeurs de y et de z , qu’on a substituées , formaient un binôme.

Mais si avec la même équation

xyz—p,

j’ai

x = my , x = n z ,

j’aurai par la substitution

x3 = mnp ,

qui ne me donne réellement qu’une valeur

qui puisse satisfaire à l’équation : on en aurait deux si le nombre des inconnues était pair ; ces deux auraient la même valeur , mais auraient un signe différent ; cette duplicité de signes naît de l’équivoque de toute puissance paire qui peut toujours avoir sa racine négative ou positive.

Ainsi , toutes les fois que les différentes inconnues d’un problème ne différeront que par le système multiple, ou seront en raison multiple les unes par rapport aux autres , l’élimination aboutira à une équation qu’on appelle à deux termes, de la forme

xm = p ou xm = am ,

qu’on peut considérer formées par la multiplication des équations simples

x — a , x = a , etc. ,

membre par membre ; elles n’ont d’autre principe de multiplicité de racines que l’équivoque du quarré, et ne peuvent par conséquent avoir qu’une racine de plus que la vraie qui lui est égale en nombre, et avec un signe contraire. Sa solution appartient immédiatement à la méthode d’extractiou.

t>tt Calcul »es inéquations. 38?

En divisant x “ — a* par a; — a, on a pour quotient

xmr~l + ax ",-a + o**’"-* + a”~' ,

qui ne peut pas former une équation quand m est impair. En le faisant =o, on commet une erreur , parce qu’aucune valeur ne peut ■être supposée à x qui puisse donner ce résultat^ aussi, en résolvant ces espèces d’équations , on n’obtient que des racines imaginaires qui apprennent l’erreur qu’on a commise.

Le résultat de l’équation déterminant a: à ne valoir que a , ce quotient

-t- fl/'' , etc. ,

qu’on obtient , ne peut valoir que mQm~l , et lequatipn / == am, équivaut à

m am~l ( x — a ) = o, si m est impair ; et à

si m est pair.

264. En général , toutes }es combinaisons et toutes les opérations dont peut être susceptible un problème quelconque , se rapportent au système additionnel et au système multiple j c’est-à-dire aboutissent à des additions et des soustractions , à des multiplicjations et des divisions.

388 fRAITÉ ÉLÉMENÎAIRË

i°. Si les inconnues n’éprouvent entr’elles aucune opération multiple, l’équation finale qui en résulte est du premier degré ; on n’a qu’une valeur pour chaque inconnue, c’est la vraie et elle a toujours le signe qui lui convient d’après la nature du problème;

, 20. Si elles n’éprouvent entr’elles que des opérations multiples , le résultat de l’équation finale ne présente que deux valeurs égales ; mais de signe différent , seulement quand la puissance est paire, et celte amphibologie naît de l’équivoque du quarré ;

3°. Si les inconnues sont combinées avec des quantités additionnelles et qu’elles soient multiples les unes des autres avec cette combinaison, il en résulte une équation finale qui contient différentes valeurs inégales , parmi lesquelles est confondue celle qui appartient à la résolution du problème que l’on cherche. Ainsi la cause de la multiplicité des racines dans les équations composées se ramène à deux principes , le principe additionnel et le principe multiple.

265. Pour éclaircir et rendre manifeste cette théorie, il est nécessaire d’analyser la manière dont les principes d’inégalité des racines agissent dans la composition et la décomposition des équations.

DU CALCUL DES 1HÉQUATIQNS. 38g

Je commence par l’équation du deuxième degré que je compose avec les quantités addi- • tionnelles de la manière suivante :

En multipliant les premiers membres entr’eux et en les égalant au produit des seconds , j’ai par la transposition de tous les termes dans le premier membre et par la réduction après la la multiplication faite,

. x* + 2 ax + a*

+ p x + pa -p g x -h ça

Cette équation est divisible par x + a, et équivaut à

En considérant cette équation comme un résultat d’analyse , et indépendamment de son origine que l’on connaît, il n’y aura pas plus de raison de dire que c’est le facteur x + a , qui rend l’équation = o plutôt que l’autre, alors on a l’une ou l’autre de ces deux valeurs

mais comme on connaît ici l’origine de cette équation , on sait que c’est le facteur x &

39O TRAITÉ ÉLÉMENT A ï lt E

qui la rend = o , et que , par conséquent l’autre facteur

se réduit à p + g , précisément parce que x 4- a = o ;

de sorte que l’équation se réduit à

+ <0 = °> =OX (o + p-f $r).

On voit alors que l’équation doit être décomposée comme on l’a avancé ci-dessus (A) (259) ,

X ( * + a + p + $r)j~| Xp+g.

De sorte que le deuxième facteur x + a + p + g,

n’exprime toujours que la même valeur x — — a,

ayant égard au facteur p + q du deuxième membre qui lui correspond ; car l’on a

d’où

Si je divise l’équation B membre par membre , le premier par x , le deuxième par sa valeur — a en la disposant ainsi ;

DP CALCUL DBS INÉQUATiONS. 3gt

j’aurai

Dans ce cas je ne trouve pour quotient que * x— — a ,

parce que les quantités p -p q qui étaient combinées avec

s’en trouvent dégagées, et qu’elles disparaissent par la réduction algébrique.

Si je divisais la même équation par l’autre valeur

x — — a — p —9, et de la même manière , j’aurais . x -h 2 a + p -f q 3= a ,

d’où

et je ne trouverais que cette valeur ; dans ce casj’aurais attribué zéro du deuxième membre

au facteur

plutôt qu’à x + a; alors la seule valeur serait x = — a — p — q ,

et le facteur x -f a correspondrait dans le

Sg3 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

deuxième membre à p -f- q , et l’on aurait "ï x + a —p + q,

d’où

Ainsi , si Ton ignorait lequel des deux facteurs correspond à ?éro dans le deuxième membre, on verrait évidemment que c’est toujours l’un ou l’autre des deux facteurs qui est =o , et non pas l’un et l’autre.

.266. Maintenant si je résous l’équation (B) selon la méthode ordinaire du deuxième degré, et si je la compare avec la résolution de l’équation générale

x* + A a? + B = o , j’aurai les deux solutions suivantes :

* = — a — '-(p + q)d=±Vrp* + zpq + q *, * = ~iA±/ iA*- B,

d’où

On voit ici par la comparaison que la partie rationnelle ^ A de la solution générale contient outre la valeur de la racine introduite — a , une fonction de quantités additionnelles, et I on voit en même temps que le radical

BU CALCUL DES inéquations. 3g3

contient cette même fonction ; de sorte qu’un des deux signes du radical fait disparaître la fonction de quantités additionnelles contenues dans A , et ne laisse plus que la vraie valeur de

L’autre signe du radical forme , au contraire , avec une quantité qui, outre la vraie valeur = — a , renferme la somme des quantités additionnelles introduites dans l’équation.

267. Je forme maintenant une équation du troisième degré de la même manière que celle du deuxième, avec

os '

Px *

2apx

uaqx

zcirx

pqx

apq\

ap r '

aq r

En divisant cette équation par x + a , j’ai pour quotient

3g4 THÀITÈ ÉLÉMENTAIRE

âs + 3ai+ a‘. >

+ px + ap.

+ qx + aq.

+ rx + ar.

Pour .voir si ce quotient a des valeurs qui peuvent le rendre = o , je le fais = o , et en résolvant cette équation factice, j’ai

x—— a— -Hp + q + r)^^ ( p—q—r)'—t\qr •

Le résultat de ces deux dernières valeurs dépend de la relation des quantités qui sont sous le radical ; elles seront réelles si l’on a

(p — q — ry>4qr;, dans le cas contraire elles seront imaginaires.

On voit que quand les équations composées sont supérieures au deuxième degré, la relation des quantités additionnelles peut donner pour les valeurs d’équation, ou pour les valeurs étrangères au problème r des racines réelles ou imaginaires.

Si la valeur introduite est incompatible avec les données du problème , on aura également des valeurs imaginaires qui appartiendront à la question ; mais la résolution de l’équation

«TJ CALCUL DES IlfÉQU ATION S. 3g5

composée n’apprendra pas si les racines imaginaires qu’elle donne appartiennent à la question , ou si elles dépendent de la relation des quantités additionnelles entr’elles.