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267, Après avoir exposé les différentes méthodes de décomposer les équations , il est à propos de terminer cette première partie par T'analyse dn principe qui constitue l’inégnlité 'des diffère» tes racines qui entrent dans keomptoirtkm d’une équation.- '»
On démontre que toute équation composée de la forme
x* + Ai*-’ + Bxm"1. + M* + ït,±s'df
e&t.déeomposable gp autant de facteurs
(* + a}(x + b)(x + cJ(jc + d)(x + eia.4*y,
-qu’il y a. de valeurs ou déracinés a, b , c , d, etc. qui peuvent satisfaire également à l’équation. Toute la théorie qu’on vient de développer ,pepose sur ce fait analytique.
Maintenant que signifient ces différentes valeurs , doit-on dire qu’elles appartiennent toutes également à l’inconnue x ? Il arrive quelquefois qu elles satisfont également à la question que l’on veut résoudre ; mais il arrive aussi souvent qu’une seule convient au pro-
blême qu’on a traduit en algèbre , et' que lès autres lui sOnt incompatibles.
On demande , par exemple , quel est le nombre qui , retranché treize ibis de sort cubé donne douze pour reste» La question traduite en algèbre , est
Je trouve les trois valeurs
* = 4, or — — r , *== — £,
qui satisfont également à la question ; elles sont donc dans ce cas toutes les trois vraies^.
Mais voici un autre exemple où le contraire a lieu. On propose de déterminer quelle serait la hauteur FD d'un segment sphérique ( fig. ire. ) , dont la solidité serait = 8,3376 , et qui appartiendrait à une sphère dont le rayon serait = 3.
Je fais la hauteur FD dë ce segmeùt ^= x, le rayon de la sphère = r , je prends la solidité du secteur
CABD x \
( c représente le rapport du diamètre à la circonférence), et je le retranche du cône CA B-, qui ayant pour rayon de sa base l’expression
V a rx — xx ,
3jï TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
a pour son volume
d’où j’ai
fer®*-— jc(arx — a?*) (r — x)=±8,3^y6; d’où j’ai l’e'quation
Il en résulte les trois valeurs
dont la première est la seule vraie , et les deux
autres sont évidemment fausses et contradic-
toires a la question proposée ; car en mettant
l’une ou l’autre de ces deux dernières valeurs
daDS l’expression du rayon de la base du cône
elle devient imaginaire.
a58. D’où vient donc la différence de ces deux espèces de problèmes, et de ces deux espèces de solutions ? Le Voici : Quand on propose ce problème général : Quel est le nombre qui , retranché treize fois de son cube , donne douze pour reste? et autres du même genre, ôn ne considère que l’inconnue toute seule sans aucune relation avec d’autres quantités
1)U CALCUL DES INÉQUATIONS.
connues ; mais seulement relativement au produit qu’elle peut donner étant combinée d’une certaine manière. C’est toujours cette inconnue dont les différentes puissances sont ajoutées ou retranchées un certain nombre de fois. Cette sorte de problème n’est autre chose que la traduction française et littérale d’une équation ramenée a la forme
xm + A xm~} + etc. — o.
Mais ce n’est pas là le but ultérieur auquéi tend l’analyse. Il s’agit toujours de trouver le rapport d’une quantité que l’on ne connaît pas à d’autres quantités que l’on connaît d’après les différentes conditions qui font la nature du problème , et qui déterminent la forme de l’équation qu’on a à résoudre.
Ainsi , dans le deuxième problème ci-dessus , je veux savoir quelle est la hauteur du segment dont le volume
c’est-à-dire que je veux savoir son rapport avec le rayon = 3 , je fais cette inconnue x , et je la lance dans le labyrinthe d’une équation ; voici la réponse que j’en obtiens : Ajoutez huit au cube de l’ inconnue et retranchezen neuf fois son carré , il ne vous restera rien-i
pu en parlant algèbre ,
x3 — gx* -j- 8 = o.
Voilà précisément la réponse d’un oracle. C’est la seule réponse que la méthode des équations peut faire , elle ne peut parler plus clairement.
Or , maintenant , il y a tde.ujc choses à débrouiller dans cette réponse , ï°. le sens littéral ; a0, le sens vrai. Le sens littéral qu’on appelle le sens général, consiste à chercher quel est le nombre qui satisfait simplement à l’équation. Sous ce point <Je vue il n’est plus question du rapport de l’inconnue au rayon de la sphère , il n’est question que de savoir quel est le nombre tel qu’en retranchant neuf fois son ,carré de son çube , on ait r — 8 pour reste. On trouve trois nombres qui ont cette propriété , et, en s’arrêtant à ce sens, l’équation a yraiment trois valeurs que j’appellerai valeurs d’équation.
Mais en remontant au vrai sens du problème , dont l’équation n’est que la traduction en langue algébrique , il est clair qu'il n’y a qu’une seule valeur vraie , et que les autres sont fausses. Cette valeur vraie peut être réelle pu imaginaire, selon la possibilité ou l’impossibilité de la question qu’on veut résoudre.' Ainsi , si j’avais établi le problème à
r>u CALCUL DES INÉQUATIONS. 3.^ 5,
résoudre de c-ette manière ; Trouver la hau- ' leur (T un segment d’ une sphère dont le rayon = 3 , et telle que la solidité de ce segment — ÏOOO ,
on voit tout de suite que le problème est impossible et absurde : l’équation qu’on obtiendrait serait
qui contiendrait alors deux racines imaginaires , et une réelle qui est à peu près
et qui est cependant évidemment fausse. En s’arrêtant au sens littçral de l’équation , on devrait conclure que celte valeur réelle est celle qui convient à la question ; tandis , qu’au contraire , ce sont les racines imaginaires qui lui appartiennent,
25g. 11 s’agit d’analyser le principe qui mêle et confond avec la valeur que l'on cherche ces valeurs vagues ou générales qui lui sont étrangères. Je considère d’abord l’équation en remontant à l’origine qui l’a formée ; c’est-à-dire comme une expression algébrique qui désigne la manière dont l’inconnue x est combinée avec les autres quantités connues du problème. Squs ce point de vue qui restreint l’équalion à n’exprimer que la valeur du problème, elle
ne contient de valeur vraie que celle qu’on y a mise. Il suit de-là que le produit des facteurs (x + a) (x+ b) (x c) etc.
dont se trouve formée l’équation par son résultat , ne contient qu’un seul facteur qui soit =0. Je suppose que ce soit le premier facteur
il s’ensuit que l’on aura pour les autres , x + b = <P, x + c = <?' , x + d = S'" etc^ ou
x + a — o, x + a + J'= S', x + a + <P'= <T' etc.
et que par conséquent l’équation doit être ramenée à ce mode de composition :
etc. J [ etc.
En égalant le produit des premiers membres à celui des deuxièmes , cette équation équivaut à
(tf + a)(a; + Æ)(x-i-c)(etc
nü CAtcor, des inéquations. 377 Dans cette dernière équation il y a autant de valeurs que de facteurs, parce que l’on attribue à chacun de ces facteurs indifféremment la valeur o qui est dans le deuxième membre , tandis 'qu’elle ne convient qu’à un seul , et que chacun des autres facteurs
x + d etc.
ou
, x + a + J'" etc.
répond dans le deuxième membre aux différentes quantités S' , «T' , etc. qui sont multiples de zéro , et qui , par les règles de l’ai- ' gèbre , ont disparu de l’équation.
Or , je dis que c’est de cette manière que se forme la multiplicité des valeurs que donne une équation composée , et que c’est là le principe de 1 amphibologie du langage algébrique : c’est ce qu’il s’agit de développer.
Pour le faire voir, je fais d’abord avec la seule valeur * = 1 les trois équations
578 TRAITÉ ÉtÉJCf NTAIRR
qui o expriment toujours que la même valeur ,
mais dune manière différente. Je forme uue
équation avec le produit des trois premiers
membres que j'égale à celui des seconds , et
j’ai
(* + i) (x + 2) (iX + 3) = 2 X 3X 4>
ou bien . -
Cette équation est divisible par le facteur
qui appartient à la valeur que j’ai introduite x = 1.
Il reste pour quotient
Dans ce cas aucune valeur supposée à x ne peut rendre son résultat = o ; ainsi , cette équation du troisième degré ne contient que la seule valeur introduite x= 1 , et les deux autres sont imaginaires. Mais ce cas dépend uniquement des valeurs de combinaison que j’ai employées pour former les trois équations composantes.
Si je forme de même une équation composée ayant pour base la même valeur x — 1 y exprimée des trois maniérés suivantes :
Dû CA.JLCTTI, DES INEQUATIONS. 379
j’aurai l’équation
qui dorme d’abord la valeur introduite x = 1 , puis les deux autres
qui ne se trouvent pas dans les e’quations composantes ; ces deux valeurs résultent donc de l’opération qui a été faite , on peut donc déjà ♦ conclure delà que ,
260. Toutes les fois que Von forme une équation composée entre le produit des premiers membres et celui des seconds d’un nombre quelconque d’équations simples ,
x + p = q, x + p — q , x + p"= q" , etc,
appartenant toutes à la même valeur, et dont le membre qui contient V inconnue forme dans chacune un binôme ; il en résultera une équation composée , qui , par le fait de celte multiplication , sera susceptible d’être satisfaite par autant de valeurs réelles au imaginaires qu’il y a d’équations simples composantes
et parmi lesquelles se trouvera toujours la valeur vraie qui a servi de base à l’équation composée. f
261. En analysant directement une équation composée , je retrouve le même principe de cojnposition ; soit, par exemple, l’équation générale du quatrième degré ,
x^ + Ax3.+ B*5 + C x + D = o ,
je suppose que la vraie valeur qui sert de base à cette équation soit
x = — a ou x + a = o ,
je la dispose ainsi :
( x 3 + Aa;a + B a; 4- C)a: = — D,
je divise le premier membre par x , le deuxième
par sa valeur = — a , j’ai
x + A ara + B x -f C = — ,
puis
(x“ + A.r + B)a? = — Ch ;
je divise encore le premier membre par x , le deuxièpie par — a , j’ai
DO CALCUL DES INÉQUATIONS. 38r
puis
je divise encore de même, j’ai
Bos + Ca + D
puis
