CHAPITRE III
De la résolution des équations à deux variables , dans lesquelles l'une des deux variables ne se trouve qu'au premier , au second et au troisième degré , et l autre à un degré quelconque.
5o2. C’est à ce. chapitre que commence l’application du calcul des inéquations. C’est par le moyen des formules de solution qu’il donne qu’on obtient les traces numériques des équations qu’on a à résoudre.
La résolution des équations du troisièmesecond et du troisième-premier degré est comprise dans les chapitres précédens.
Ce chapitre commence donc à la résolution des équations du troisième-troisième degré.
PREMIÈRE SECTION
De la résolution des équations du troisièmetroisième degré.
Soit donc l’équation générale du troisièmetroisième degré ,
y3 4- A xy* + B x‘y + C x3 + D y* 1
je la traite comme si x était une quantité connue , j’ai donc
y3 4- (Aar + D )y“ -f ( B** + Fa? 4- G*)y j
+ Cx%+ Fr* + Hi + L j~°’
ou bien
j’ai d’abord \/ A'* — 3 B' ou V~? ,
- j/ (Att — 3 B ) [x* + ( -- AD ~3£Vq- -J ~3G]
V y II A»3B J ‘ (AV- 3B)J
==V/r{x + a)(* + éj.
En comparant ce radical originel avec le radical du chapitre précédent, on voit que la
r>ü CALCUL DUS INEQUATIONS. 44 >J relation des coëfficiens y suit la même loi. Le coefficient de ** exprime la relation des deux premiers coëfficiens qui conviennent au troisième degré , et le dernier terme D* — 3 G exprime la même relation pour les y, que A* — 3B pour les x ; j’ai exprimé Aa — 3B par la même lettre r , employée pour désigner la même relation dans la première partie.
Pour trouver ensuite iJC' ou la relation des trois coëfficiens , 9 A' B' — 2 A'3 — 27 G' , j’ai
-4- ( 9 AE 4- 9B D — . 6 A” D — 27 F ) x% + (9 A G + 9 E D — 6 AD* — vj II ) x + 9 D G — 3 D3 — 27 L.
On peut remarquer ici que le coefficient de *3 exprime la relation des trois premiers coëfficiens A , B , C qui affectent y* , y' , y° , et que le dernier terme exprime également la même relation des trois coëfficiens D , G, L qui affectent de même y* , y' ,y° . Je donne à SC la forme suivante, en appelant SC, la relation 9 AB, etc.
f 3 -4- 9BD — BAT)- — 27F
SC
SC = tfC X , /9ag+9ed — 6 AD* — 27 H>
\ . Sc -+-9DG — 2D3 — 27 L
Je
OÜ
SC' sa SC [( x -h c) (x + d) (x + e)].
En prenant maintenant la formule générale
de solution du troisième degré , de la première partie , qui est
cette formule devient , en mettant pour A' , r , SC , leur valeur :
y.HIr
uv
S-C(x+c)(x+cl)(x+e) 1/ r(x+aj(x+à)
rD-f-A x
^C(*+g)(*+^)(*+g) V rC+o)(*+i)
■sc(*4-cX*+<*)(*-4-«)
ar(*+a)(»-f-6)-
■sc(g+cX*-MX*+g)
DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 4^9 On peut remarquer d’abord qu’en considérant séparément les coëfficiens des diverses fonctions de x qui sont sous les radicaux, on a précisément la même formule que celle qui appartient aux équations du troisième degré à une seule inconnue.
Maintenant on peut voir que dans les quasivaleurs de y, et y-^ la partie rationnelle avec le premier radical appartiennent à une courbe du second-second degré, et peuvent se construire par une section conique ; elle servira d’axe aux deux branches appartenant auxjy, et j- ? qu’on obtiendra par le moyen des deux grands radicaux,-
que j’appelle V R' et ^R',.
Quant à la branche qui appartient auxjy4 , comme elle ne contient pas le premier radical
elle se construira sur l’axe donné par la partie rationnelle D + Aj, qui est une ligne droite.
5o3. Pour faire voir comment, à l’aide de cette formule, on peut construire une trace numérique quelconque du troisième ordre , je l’applique auxdeux équations suivantes , que je
45b TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
présente d’abord dans cet ordre:
re J / — 2 xy' — 5 x3 —
+ 4 xy + 3a7* — 6^ + 63; + a) °* Elles ont été formées d’avance avec la supposition de fc— i et y — 3. Il faut voir comment on retrouvera ces deux valeurs. Je ne chercherai pas à éliminer une des inconnues, mais je résoudrai immédiatement et séparément chacune de ces deux , et je commence par la première, qui , par la disposition de ses termes, a pour coëlficiens immédiats,
d’où I on tire
«yc = i5i.
Je la traite comme une équation du troisième degré à une seule inconnue, en lui donnant cette forme :
yz — (ax-f-i)y*-f-'3x — 3 )y — (5*3-{- 4** — 6* — 3)=o; ses coèfficiens complexes sont alors A' = — (aafi),
C' = — ( 5 xz + 4 x% — 6 x — 3),
ys—
»U CALCUL DES INÉQUATIONS. ^5l
d’où l'on tire
SC' = i5i x3 + 78 at* — ra3x — 52 ;
de-là j’ ai , pour les trois valeurs de y ,
\/ 1,25jc+2.5) J
, î/ , , r , » 5 1 jc3-f-78jca — 1 0.3a: — 5of ll/r,
1 + 7 y i,a5*-f-2,5j --JJ- — — t^R(-
(. 1/ 4(r4 — i,25ar+2,5) ]
Pour construire celte trace numérique du troisième ordre, je commence à tracer l’axe rectilinéaire LL' ( fig. 3x ) , donné par la partie rationnelle j( 1 + a a?) de la formule. Sur cet axe , je construis la section conique donnée par le radical
\/ 4 ( x* — i,25 x + 2,5); comme la fonction , contenue dans ce radical , ne peut jamais devenir =0, ni encore moins
Iby
45a traité élémentaire
négative , elle appartient à une hyperbole convexe par rapport à cet axe. Ses deux branches HH H'H- au-dessus et au-desous forment 1 axe du deuxième ordre pour la trace numérique du troisième ordre qu’il s’agit de construire.
C’est la suite des valeurs de
et de
YF
ou de et de Ÿ%',, qui détermineront le cours de cette trace numérique ; mais je remarque que les deux parties dont ils sont composés renferment des fonctions de racines ou de facteurs simples
(x — a)(x — b) etc.
qui rendent a r' et SC successivement nuis à chaque fois que la valeur de x , dans son cours d’accroissement , rencontre une de ces racines réelles : que ces fonctions 2 r et SC deviennent alternativement négatives et positives à chaque racine que x franchit ; qu elles acquièrent par conséquent des valeurs qui croissent et décroissent alternativement. C’est de-la que résultent les différentes variations de la trace numérique.
Pour déterminer son cours , il faut, i°. chercher les limites de ses branches ; 20. quels sont les points de l’axe de x où ces branches le
coupent; 3°. quels sont ceux où les différentes branches commencent à s’en rapprocher après s'en être éloignées; points qu’on appelle maximum ; 4°. quels sont ceux où elles commencent à s'en éloigner après s’en être approchées ; points qu’on appelle minimum ; 5°. quels sont ceux où les ordonnées des différentes branches après avoir eu des accroissemens en progression décroissante, commencent à recevoir des accroissemens en progression croissante , ou réciproquement ; d’où résulte une inversion dans la direction de la courbe, et qu’on appelle points d’inflexion ; 6°. quels sont les points où les branches cessent d’être réelles , et commencent d’avoir un cours imaginaire; etc.
Tous ces points , qu’ou appelle singuliers par une dénomination assez singulière , doivent être appelés points radicaux ; parce que toutes ces variations de la trace numérique sont produites par les racines des fonctions composées qui entrent dans leur expression.
Quand la valeur de x a franchi celles de toutes les racines qui entrent dans ces exprès* sions , les branches n’ont plus de variation dé courbure que celle qui détermine leurs limites qui sont données par l’expression » . .
454 ■' TRAITÉ ÉtÉMENTAIRE
Les branches qui , après avoir franchi toutes les racines , s’étendent au lieu de ce terme , n’ont plus aucune variation de courbure , elles se redressent en se prolongeant pour former une ligne droite, étant prolongées à l’infini, soit vers les x positifs , soit vers les x négatifs.
Je détermine d’abord le maximum ou le minimum et les racines de la fonction de , on a
Ÿ~rf — \/ 4(x — o,6a5)’ + 2,109376 , son minimum répond à
Maintenant, pour trouver les maximum et les points d’inflexion des fonctions de V^R' et y**, , si l’on suivait la méthode connue, il faudrait prendre la différentielle de
et la faire = o , ce qui conduirait à une fonction surcomposée de racines dont la seule décomposition exigerait un travail incomparablement plus long que la résolution toute entière de la double équation du troisième-troisième degré par la méthode qu’on expose ici. Je prends séparément le minimum de 3/, qu’on vient de déterminer, puis les maximum
DU CALCUL DES TNiQUATIOIîS.4 455
et les minimum de iÇC' et son point d’inflexion ; on verra comment cette opération suffit.
Comme «ÎC' est du troisième degré, on a par la formule
x = — ^ ( A ± \/ A *• — 3 B , des maximum et minimum du troisième degré (280) ( A et B étant les coëlficiens de SC' ) , pour le minimum ,
x = 0,376603 ; pour le maximum ,
pour le point d’inflexion , :
Je décompose ensuite i’C' en ses facteurs simples, et j’ai la nouvelle formule,
,| , J — V 4(*— 0,ê25j1+2, 1 og^TT .=— V'T'.
Xr-Ilr
or' L
i5i(jf 0,871375 ( x ro,4)(*+°.987B
•zr T
\Tr'
Avec cette formule on va trouver tous les points radicaux de la courbe comme on va le voir.
Je prends d'abord la valeur métanégative la plus grande de x, qui appartient à une des racines de SC' , et qui est
je fais simplement x => — 1 , j’ai
Quasi-valeurs de la formule, f Valeurs exactes.
ry, || 2,i4o5 ) = 2, 0267.
Ijî II — 2,8072 [ = — 2,706.
Ces trois valeurs réelles dejy annoncent qu’à cette valeur de x correspondent trois branches réelles de la courbe. Comme il n’y a plus de variations que celle qui appartient à la limite des branches , je suppose x = {, j’ai
= y/ 16 x1 — 1 5 1 o;a et
les deux branches supérieures qui contiennent sont alors imaginaires ; elles ont donc une limite au-delà de
où l’on a ou bien
En faisant successivement
x = — 2 , x = — 3 , etc.
je suis sur d’arriver à cette limite sans aucune variation de courbe , parce que je ne rencontrerai aucune racine.
En faisant x — — a, V^ït' devient imaginaire , il ne reste plus que la troisième branche , pour laquelle on a
Ji =— 5,3oS;
c’est donc entre *= — 1 et 3:= — 2 que les deux premières branches commencent. En faisant x = — 1,5 , V'R' est encore réelle ; c’est donc entre — a et — i,5. En faisant x = — 1,7, Kr'
est imaginaire; c’est donc entre — i,5 et — 1,7 que commence sa valeur. En concentrant une deuxième fois de même, 011 a, avec deux décimales exactes,
pour le point où les deux premières branches commencent à être réelles , et l’on a
I Y\ Il — -4,366.
On peut remarquer d'abord qu’à ce point les deu x premières valeurs dey doivent être égales, car la première valeur est
à cause de
VÜ' = o ;
mais il s’ensuit de-là que
d’où :
2 r \fr — SC
d’où l’on a , . , ; , :
y.- llî(A + i>/R'->'/i',),
• Il i( A— Kr>.
D’ailleurs le grand radical V^B.' étant = o., il faut que les deux premières branches coupent à ce point l ax,e du deuxième ordre , et que par conséquent les coordonnées de la trace numérique du troisième ordre et de l’axe du deuxième ordre soient les mêmes. Ce point est en B ( fig. 3i ).
Pour continuer le cours de la trace nunje'-
DU CADCUD DES INÉQUATIONS.' 459
rique , je prends après x = — 1 la valeur métanègative
qui la suit immédiatement , et qui répond au maximum de «SC' ; j’ai donc , pour le maximum de tfC' ,
f y, Il 2,1837.
x = — °j720973 ) J» il — 0,01 54.
* y\ II — 2,3i5.
En continuant , je prends la valeur x = — o,4 ,
qui est la deuxième racine de S C', qui donne pour la deuxième racine de SC ,
f J. Il 2,0898.
* >3 II — ï>9564i- Vient ensuite la valeur
qui correspond au point d’inflexion de la fonction SC j et j’ai
Je fais ensuite x = o , quoique cette valeur ne réponde à aucun point radical , et j’ai
x = o j yt — 1 .
La première valeur positive de x qui suit immédiatement répond au minimum de «SC', où l’on a
je fais
x = o ,4 , j’ai yj = — 1 ,4872.
Les deux premières valeurs de y sont imaginaires ; c’est donc entre x = o , et x = o,4 que VÏÏ = o, j 'arrive par la concentration à la valeur x=o, 072 , pour le point où '^R^o , et où par conséquent les valeurs de la trace numérique cessent d’être réelles , c’est au point C ( fig, 3i ).
La valeur de x qui suit immédiatement est celle qui correspond au minimum de V9 = o,6a5.
Les deux valeurs dej', et y% qui correspondent sont encore imaginaires, et l’on a pour x = 0,625 yi = — 1,2473;
en continuant de faire croître x, j’arrive à la dernière racine de »SC , qui donne
Puisque les deux premières valeurs dey redeviennent réelles, il faut conclure que les deux premières branches recommencent eutre
x = 0,6a5 et x = 0,8713».
Je trouve par la concentration que le point où elles recommencent répond au point #=o,6g5, et l’on a
Il ne reste plus qu’à chercher les limites des branches de la trace numérique vers les x positifs, comme on l’a cherché d’abord vers les x négatifs. Si je fais* = £, j’ai
d’où je conclus que les deux dernières branches se terminent et forment une courbe fermée au point où = o : ce point étant au-
delà de x= 0,871 3, je fais les suppositions successives x = i , x = 2 , x = 3 , etc. , j’ai d’abord
Les deux valeurs corrélatives x = 1 , y = 3, sont celles d’après lesquelles l’équation a été formée. Les deux dernières valeurs par leur
4 62 TftAITé ÉL^MENtAinB
égalité annoncent déjà que c’est à ce point qüô les deux branches coïncident. Aussi quelquô valeur que l’on suppose à x au-delà, les ordonnées des deux dernières branches seront imaginaires.
En réunissant ces différentes valeurs , on aura le tableau numérique des valeurs corrélatives des x et desjp pour les points qu’on a voulu considérer , et si l’on fait passer une trace à l’extrémité des différentes valeurs des ordonnées , on aura une trace numérique , telle que la présente la fig. 3i, qui exprimera la même chose que le tableau numérique , mais qui l’exprimera en caractères graphiques.
Il faut remarquer maintenant qu’en prenant séparément les points radicaux des fonctions
3 r et
dans le radical
on a bien pour chacune de ces deux fonctions séparées une portion curviligne sans variations ; mais comme on prend leur somme pour ✓ÏL', et leur différence pour V^R', , il doit résulter une inflexion dans l’intervalle des deux valeurs que l’on prend , toutes les fois que la
DU CALCUL DES INÏ QÜATiONS. 463
fonction 2 r va en croissant dans cet intervalle,
tandis que va en décroissant, ou réciproquement; mais comme il ne s’agit pas ici d’une courbe géométrique et seulement d’une trace numérique approximative ; cette erreur entre dans la latitude des quasi - valeurs qu’on obtient.
Il serait facile au reste de déterminer le lieu de ces inflexions , et l’on a le moyen de reconnaître le cas où elles ont lieu ; mais ce travail est toujours inutile, et la concentration comme on le verra en réduisaut ces latitudes à une quantité aussi petite que l’on veut, fait disparaître ces erreurs.
V (3o4) Je viens maintenant à la deuxième équation
j’ai d'abord
y/ T* Tb' — Vr' = V 5 ( 5,4 - X- ) ,
en décomposant cette fonction en facteurs simples , on trouve qu elle a deux racines imaginaires , et l’on a
SC'= — i46f(*+o,899432)4+o,8oo8ii](*— 0,689271) ; on a donc pour les trois valeurs dey en supprimant les dernières décimales ,
464 ' TRAITÉ ÉtÉMEKTAIRB
+ —\y/ a.5(5,4— *•) i4SO^)MÆfc2«5Sî2 J^a.3K k ’’ ’ y 51,5, ,-!')
l+J-l / ,.5(5, 4-»-)+ ■46C(?+o.9)M-°jl^±
[+a.3K ,nr V^C^U-O
La partie rationnelle y(2x-}- 3) de cette formule est construite par l’axe FD ( fig. 3a ), sur lequel je construis le radical originel
par l’axe du deuxième ordre , ou par l’ellipse HGH'G'. Pour construire ensuite la trace numérique de l’équation , j observe d abord qu’elle a deux de ses branches limitées par l’axe de l’ellipse GG' qui est déterminé par l’équation
BD CALCUL DES INÉQUATIONS. 465 J’observe, en second lieu, que tant que x sera négatif, la fonction de SC' formera un résultat positif , et par conséquent ne contiendra que des quantités réelles depuis la valeur
mais dans l’expression deV^R', , comme la fonction de SC' est prise avec un signe contraire, ce grand radical ne commencera à être réel, que lorsqu’on aura
On a deux limites pour déterminer ce point, la première est
ou
x = — 2,32594 ; la deuxième a lieu lorsque S C' = o,
ce qu’on obtient en prenant la valeur de sa racine réelle
C’est donc entre ces deux limites qu’on peut par les substitutions successives trouver le point où les deux branches inférieures coupent l’axe elliptique ; c’est-à-dire où elles commen-
sent à être réelles. En faisant x = ■ — 2 , on a
Vr' t imaginaire , et pour la branche re'elle y = 3 ; en faisant x — — i , est réel , et l’on a pour les trois valeurs de y ,
[ yf = — 1,4494.
C'est donc entre — 2 et — 1 que les deux branches inférieures commencent à être réelles en coupant l’axe elliptique; si l’on concentre, on trouve, pour valeur approximative,
on a alors les deux branches inférieures égales,
( y, Il 3,4324.
( y 5 II — 1,2362.
Et comme avant cette valeur l’équation a toujours une racine réelle, il s’ensuit que la première branche sera toujours réelle en remontant vers les x négatifs ; alors SC sera toujours positif et ne cessera plus de l’être ; ainsi toutes les fois que SC ne pourra plus cesser d’être positif, la première branche ne cessera plus d’être réelle , quoique Vlr acquière une valeur imaginaire dans V'r'.
Maintenant , en faisant croître x dans la direction positive , quand on aura franchi la
DD CA. LCD L DES INÉQUATIONS. 467
valeur de la racine x = 0,68927 , qui rend SC' = 0, sa fonction
ne cessera plus d’être positive , et par conséquent SC' , à cause de son coefficient — 146, sera toujours négatif ; alors le radical Vr cessera à son tour d’être réel quand on aura
la première limite commence à
S C = o , ou
et l’autre = Vr qui est l’autre limite des
trois branches réelles ; eu faisant les substi-
tutions successives x = i , x = 2 , j’ai d’abord pour x — 1 ,
f JK. = 3,4493.
Comme les deux premières valeurs de y diffèrent peu l’une de l’autre , on peut conclure que c’est aux environs de cette valeur de & que les deux branches supérieures se joignent en coupant l’axe elliptique ; en effet , si l’on
fait x — 1,01 ’, V^R' devient imaginaire, et c’est à peu près à
■ ■') a- * =3* t,Oo5.
Quant à la troisième branche, elle sera tou^jpurs-xéelle , et SC dans V^U', sera toujours négatif., Ainsi quand SÇ' nç pourra plus cesser d'être négatif, la branche inférieure sera toujours réelle , quoique le radical originel V^r' , contenu dans V^R'^, devienne imaginaire.
Ainsi la latitude de la triple branche s’étend depuis
jusqu’à
x — i,oo5 ,
par approximation. SC n’ayant qu’une racine réelle , il ne peut pas y avoir de solution de continuité dans cet intervalle comme dans le premier exemple.
Pour achever de construire la courbe , je fais x = o , et j’ai exactement
!y, = 4,ii44.
jK5 = — 1,4087.
Je différentie SC',} et j’ai pour le maximum ,
CD CALCUL DES INÉQUATIONS. 46g
pour le minimum y s ' . . , ,
Je détermine les triples ordonnées qui correspondent à ces valeurs.
Maintenant , si je prends la double valeur qui correspond aux deux extrémités de l’axe du deuxième ordre , où V? = o , et où l’on a
X = dh 2,32593 ,
y r' et V R'7 seront infinis; mais il faut observer alors que l’équation ne diffère d’un binôme au cube que par le dernier terme , on résout alors l’équation comme celle du deuxième degré ; c’est-à-dire qu’on complète le cube dans le premier membre. Ainsi l’équation générale
quand
devient
y3 + A' y* + } A'* y •+• C' = o, on fait alors
y3 + A V + $ A'* -4- Jy A'3 = Jj A" - c ; d'où l’on a
470 TRAITÉ ÉL^MEHTAIRE
en la résolvant de cette manière , on a pour
pour
en traduisant graphiquement ces différentes valeurs , on a la trace numérique telle qu’on la voit ( fig. 32 ).
Maintenant , si l’on superpose les deux traces numériques des deux équations, ou si on les construit avec les mêmes axes, elles se couperont d’abord en un point M ( fig. 33 ) dont les deux valeurs corrélatives sont x~i ,.y=3 ; ce sont les deux valeurs qui ont servi à former les deux équations.
Elles ont encore deux autres points communs qui résultent de la combinaison des quantités additionnelles avec les quantités multiples; et l’on n’a que trois valeurs corrélatives au lieu de neuf que l’on pourrait avoir par la méthode connue d’élimination.
On voit que par les méthodes qu’on a développées , on ne se sert que des formules du troisième degré pour résoudre les équations du troisième degré à deux variables.
Je ne déterminerai pas les différentes formes dont peut être susceptible la trace numérique du troisième ordre , elles dépendent de la re-
1) ü CALCUL DES INÉQUATIONS. ^7* lation des coëfficiens de la proposée; mais quels que soient ces coëfficiens, la méthode de solution , par sa généralité , atteint également toute espèce d’équation , quelle que soit sa forme. Ainsi il est inutile de faire ici l’énumération des lignes du troisième ordre , on a toujours celle qui doit avoir lieu par le résultat de la formule.
Cette même formule servira également pour les équations dans lesquelles x serait élevé à un degré quelconque ; si SC' contenait un# fonction en x supérieure au troisième degré , il en résulterait seulement une augmentation de points radicaux , qu’on déterminerait comme ci-dessus ; si Ÿ~r' renfermait une fonction de x du troisième ou du quatrième degré, etc., l’axe immédiat de la trace numérique, au lieu d’être une ellipse, serait une trace du deuxième-troisième ou du deuxièmequatrième degré , etc. , sur laquelle se construirait le dernier radical de la trace numérique.
Si la formule contenait dans quelques-uns de ses termes des dénominateurs en fonctions de x qui appartinssent à l’équation ; c’est-àdire si le coefficient de y3 était de la forme
A *m -f + etc.
cette fonction.formerait un dénominateur dans les différens termes de la formule ; alors il y aurait autant d’asymptotes que cette fonction aurait de facteurs simples réels , comme on l’a vu ci-dessus.
Pour résoudre les équations du quatrièmequatrième degré , on suivra la même marche que celle qui a été suivie pour celles du troisième-troisième degré ; on employera alors la formule (198), première partie. Quoiqu’elle ne donne que les quasi-valeurs des deux racines extrêmes de l'équation , il sera trèsfacile de suppléer aux deux racines intermédiaires.
D’après la nature de cette formule, on voit que la trace numérique aura , pour son axe immédiat , une courbe du troisième ordre , qu’on construira comme les précédentes , et c’est sur cet axe que l’on construira les valeurs du dernier radical qui constitueront la trace numérique. Ainsi la marche que l’on a suivie indique celle qu’il faut suivre pour construire les traces numériques des différens ordres.
De la concentration.
5o5. Par les méthodes qu’on vient de développer on n’obtient que des quasi-valeurs qui ri e donnent pas par conséquent des traces nu mc-
1)U CALCUL DUS INEQUATIONS. 4y3
riques rigoureuses, mais seulement approximatives. Il reste à développer le moyen de concentration qui puisse conduire à des valeurs exactes.
Il faut d’abord remarquer qu’on ne se propose pas ici de construire des traces numériques exactes dans tout leur cours; ces traces ne sont que des moyens préparatoires pour parvenir aux valeurs corrélatives que l’on cherche , et qui sont les seules qu’on a besoin de déterminer. Ainsi dans les deux équations cidessus du troisième-troisième degré qu’on vient de résoudre , on n’a besoin de déterminer exactement que les valeurs corrélatives qui 'répondent aux trois points d’intersection des deux traces numériques.
Pour y parvenir , je suppose que l’ordonnée BC(fig. 34 et 35 ) , soit celle qui correspond au vrai point d’intersection ; à une première valeur approximative AP de x, je prends exactement ou seulement avec deux décimales exactes la valeur dey qui lui correspond dans les deux équations , j’aurai deux ordonnées PM et P N , la première plus grande que la deuxième ; je prends ensuite une autre valeur de x qui croit dans la direction AC, et je cherche également dans les deux équations les valeurs de y qui lui correspondent. Si la pre-
4y4 TKÀITi iLÉMENTAlJRK
mière P'M' surpasse encore la deuxième P' N' avec une différence moindre que la première fois , je conclus que je suis dans la direction qui conduit au point d’intersection ; si la différence était plus grande, je conclurais que je m’en éloigne , et pour y parvenir , je prendrais pour x des valeurs qui croîtraient dans une direction contraire.
Enfin , si j’obtenais pour l’ordonnée de la deuxième équation une valeur P" N", qui fût à son tour plus grande que celle de la première P"M", je conclurais de- là que j’ai dépassé le point d’intersection , comme on le voit par l’inspection des fig. 34 et 35. Alors je prendrai pour x une valeur intermédiaire entre» ces valeurs de y qui sont immédiatement endeçà et au-delà du point d’intersection , et je la prendrai plus près des valeurs PM et P N qui différeron t moins ; j’arriverai par ce moyen à un premier degré d’approximation : je traiterai cette valeur approchée de x comme la première fois ; j’en obtiendrai une seconde plus rapprochée , et ainsi de suite. Si les valeurs corrélatives du point d’intersection sont incommensurables , j’arriverai au degré d’approximation que je voudrai , et si ces valeurs sont commensurables , je ne tarderai pas à le reconnaître.
1)U C.ALCDL DES INEQUATIONS. 4y5
Si l’on n’a qu’une équation à deux variables , il suffira de concentrer l’équation en y pour les valeurs de x qu’on voudra prendre par les méthodes de concentration exposées dans la première partie.
Si l’on veut avoir les points exacts des maximum de la trace numérique , comme on les a déjà par approximation, il suffira de prendre , par une méthode semblable à celle qu’on vient d’indiquer , deux ordonnées entre lesquelles ou parviendra à déterminer la plus grande.
L’usage que l’on fait Tdu calcul différentiel pour déterminer les points radicaux des courbes, présente une marche plus rigoureuse , plus générale et plus simple en apparence que les nouvelles méthodes qui viennent d’être exposées. Sans doute les opérations du calcul sont rigoureuses , parce qu’on y prononce toujours l’égalité ; mais elles ne s’appliquent qu’à des symboles algébriques x,y , etc. et leur résultat laisse tout le calcul à faire ; il faut ensuite avoir recours à l’élimination , et Ton aboutit à des équations surcomposées que les méthodes connues ne peuvent plus résoudre.
Dans le calcul des inéquations on ne procède rigoureusement que relativement aux li-
476 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE, etC.
mites, les opérations du calcul s’étendent dans une latitude que l’on rétrécit et que l’on fait évanouir, et ce n’est qu’à la fin qu’on prononce l’égalité , lorsque l’on est parvenu aux valeurs que l’on cherche. Quelles que soient les méthodes que l’on employé dans les équations composées , ce n’est que par le calcul des inéquations qu’on peut parvenir à ce dernier but. Ce calcul restait donc à trouver pour compléter les opérations de l’analyse.
