CHAPITRE II

De la résolution des équations dans lesquelles une des deux variables ne se trouve qu’au premier et au deuxième degré , et l’autre à un degré quelconque.

292. Ce chapitre commence aux équations qui sont du second- second degré ; c’est-à-dire celles où x et y sont à la première et à la deuxième puissance. Celles qui ne contiennent que * à la première puissance se trouvent comprises dans le chapitre précédent.

PREMIÈRE SECTION

De la résolution des équations du second-seconddegré. .

Cette première section appartient aux sections coniques , parce que , quelle que soit forme de l’équation , on peut toujours la ramener à une de celles qui expriment les loix de création de ces courbes géométriques. Comme mon but , dans cet ouvrage , n’est que de traduire les équations en écriture graphique, je ne les considérerai que sous ce point de vue;

436 XBAITi ÉLÉMEKTAfHl? 1

Soit donc l'équation générale du second second degré ,

y% 4- A xy + B x% 4- C y + Ear + F = o ;

en. regardant x comme une quantité connue , j’ai les deux valeurs suivantes :

y = -H C + Aar)

j V (A’ — 4B)x* + a(AC — aEJx +C* — 4F,

atiui Je:

3 2Q3. ^e coefficient (A* — 4®) est remarquable -, il exprime la relation des deux premiers coëfficiens qui conviennent au degré de l’équation. Le dernier terme C*— 4F exprime la même relation. On remarquera la même loi dans lés degrés plus élevés. J’appelle p le coefficient A3 — 4 F » et , pour donner à l’équation la forme convenable au point de vue sous lequel je la considère , j’exprime les valeurs de ^ de la manière suivante : ' ' *

Hc + A*)±iv/

Je construis la partie rationnelle du deuxième membre en prenant du point A ( fig. 23 origine des valeurs, la ligne AC = jA ; puis en tirant du point C la ligne FD , faisant avec

1)0 CALCUL DES IWÉQU ATIONS. 4Î7

l’axe des x un angle dont la tangente f=-j A, cette ligne est la trace numérique de&> équations du premier degré , elle sert d’axe à la trace numérique qui résulte de la fonction comprise sous le radical.

2g4. Quant à cette fonction , il faut distinquer différens cas , i°. si les deux racines sont du même signe ; si elles sont , par exemple , toutes deux négatives , j’aurai d’abord un produit positif en substituant , à la place de ar,des valeurs négatives; depuis zéro jusqu’à la rencontre de la plu»petite racine en nombre — — a, mon produit sera nul ; puis en faisant croître x négativement, le produit changera de signe, et j’aurai une expression imaginaire jusqu’à la rencontre de l’autre racine b , qui me donnera encore un produit =0 , après quoi j’aurai, de nouveau, 'un produit positif et qui ne cessera pas de l’être, parce que j’ai franchi toutes les racines ; d’un autre côté, si je donne à x des valeurs positives , je ne cesserai pas d’avoir un produit positif toujours croissant, j’âurai donc deux branches opposées , dont la première commencera en H au point correspondant à x = — a, et l’autre en H' au point où x= — b; la partie B G de l’abscisse —b — a comprise entre H et II' correspondra à une traee imaginaire. Chacune des deux branches

aura à -chaque point de l’axe FD deux ordonnées opposées égales à cause du doublesigne du radical. Cette courbe est ce qu’on appelle hyperbole.

Maintenant si j’ai égard à la trace imaginaire comprise entre H et H' , cette trace est une courbe fermée qui est également coupée en deux parties égales ; elle appartient à X ellipse : on l’a représentée ponctuée sur .la figure.

2g5. 20. J’ai supposé que le coefficient p ou A* — 4 B était positif ; s’il était négatif , alors X ellipse serait la courbe réelle «de l’équation, et les deux branches hyperboliques en deviens draient la partie imaginaire.

On peut remarquer maintenant que l’ensemble des parties réelles et imaginaires de la courbe forme un entrelacement des deux courbes qui résulteraient de la fonction

et de la fonction

296. 3°. Si le coefficient A* — 4® était =0, il ne resterait que

\/ 2(AC — 3F)æ + C* — 4F.

La trace qui en résulterait n’aurait plus qu’une seule intersection avec l’axe, il en résulterait la parabole (fig. 26).

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 43g

4°. Si les deux racines du radical étaient de signe différent,. si l’on avait, par exemple,

la courbe serait egalement une hyperbole avec p positif, et une ellipse avec p négatif ; mais le centre des valeurs A se trouverait placé entre les deux branches hyperboliques (fig, 24) ; car en supposant des valeurs positives à x , depuis o jusqu’à la rencontre de la racine b , on aurait un produit négatif; après ce terme, les produits seront toujours positifs , il en résultera donc une première branche qui aura son origine en IF , à une distance correspondante AG —b , et qui s'étendra infiniment vers les x positifs ; d’un autre côté , en supposant à x des valeurs négatives, depuis o jusqu’à la rencontre de la racine

on aura encore un produit négatif, après quoi ce produit sera positif et ne cessera pas de l’ëtre ; on aura donc encore une autre branche vers les x négatifs, qui aura son origine en H; à une distance correspondante AB = u ; de sorte que la portion de l’abscisse B G , ou de l’axe HH' correspondante aux abscisses imaginaires , sera égale à la somme des deux racines a et b , tandis que dans le premier cas

44o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

elle n e'tait égale qu’à leur différence : c’est en

quoi seulement différent ces deux courbes.

397 • 5°'. Enfin , si la fonction de x sous le radical n est pas décomposable en deux facteurs simples, elle se ramènera à la forme

V'fLC* + «)• + ?];

alors les ordonnées seront toujours positives, leur minimum correspondra k x = — a ; il en résultera deux branches qui s’étendront à l’infini, lune vers les^ positifs, l’autre vers les y négatifs, comme on le voit(fig. 25).' Cette courbe est encore une autre hyperbole.

DEUXIÈME SECTION

De la résolution des équations du deuxièmetroisième de gré y du deuxième- quatrième, etc.

298. J e suppose d’abord que toutes choses égales d’ailleurs , comme dans la section précédente , le radical soit composé de trois racines , on aura

y=—!;(C+Ax)z±zï\/p{x+a)(x+b)(x+c).

Si elles sont toutes trois réelles et négatives , on aura vers les x négatifs une trace hyperbo-

DD CALCUL DES inéquations. 44 ï

lique réelle jusqu’à la rencontre de x’== — a ; c'est - à - dire au point fl ( fig. 27 ) , puis une trace imaginaire qui se fermera en H', au point correspondant à x~ — b , enfin une trace réelle qui se fermera en H", au point correspondant à x — — c , parce que dans cet intervalle le produit sous le radical sera positif, au point * H" commencera une courbe ou trace imaginaire qui s’étendra infiniment ; s’il y avait quatre racines sous le radical , on aurait alors une trace numérique, représentée par la fig. 28; et ainsi de suite.

Toutes les parties de ces traces , tant réelles qu’imaginaires , sont coupées en deux parties égales par l’axe FD ; ainsi on peut considérer celles qui sont fermées comme appartenant à la clase des ellipses , et celles qui s’étendent à l’infini , à la classe des hyperboles.

Si les racines de la fonction de x sous le radical étaient ou toutes imaginaires ou en partie réelles et en partie imaginaires , il en résulterait les différentes formes qu’on a développées dans la première partie ; en général , toutes ces espèces de traces ne sont que l’entrelacement de deux fonctions de x de la forme

p(x + a ) ( x + b) (x + c ) etc.

et — p(x -j- a) (x -j- b) ( x + c) etc.

TRAITJÉ ÉLÉMÏ NT AI RK

299. Supposons maintenant que l’équation proposée soit de cette forme :

r = -r(C + Ar)

p(x+a)( x 4- ç )(x + e) (x + ff)(x + h)

dans laquelle les racines ont leur rang alternativement au numérateur et au dénominateur , excepté les deux dernières , on aura une trace numérique , représentée par la Hg. 29 » qui aura trois paires d’asymptotes pour les trois racines du dénominateur, et cinq intersections de l’axe pour les cinq racines du numérateur ; les lignes ponctuées appartiennent aux traces imaginaires , si p était négatif, elles formeraient la partie réelle de là trace , et la trace qui est réelle sur la figure serait la partie imaginaire, et l’ensemble de ces deux parties réelles et imaginaires est encore l'entrelacement des deux traces formées par la même fonction , avec p positif et p négatif.

300'. Supposons encore que l’on ait l’équation

alors l’axe FD , au lieu d’être une ligne droite , est une courbe sur laquelle on place les coordonnées du radical, et l’on obtient une trace

nu ca lc ij h ni;s inéquations. 443 numérique telle qu’on la voit ( fig. 3o ). Les Jettresa, b, c, d,e indiquent lerang numérique <les racines ; ainsi l'axe FD , avec ses deux racines a et d , coupe l’axe des x aux points a et d, et forme une trace numérique qui n’est qu’accessoire à celle de l’équation et qui n’en est que l’axe ; la fonction du radical qui forme la trace de l’équation coupe cet axe courbe aux points b , c , e d’après l’ordre de ses racines ; cette trace , comme les précédentes, est composée alternativement de parties réelles et de parties imaginaires.

5oi. On peut remarquer qu’en considérant l’ensemble de ces deux parties , la trace numérique , d’une équation quelconque , se termine toujours par des branches qui s’étendent à l’infini dont la première a son origine à la première racine et la deuxième à la dernière, ce qui doit être, parce qu’alors la trace n’a plus de principe qui fasse varier son inclinaison. Si le nombre des racines est pair , les deux branches infinies sont réelles , s’il est impair , la dernière est imaginaire.

J’ai supposé, pour plus de simplicité , toutes les racines du même signe et toutes négatives ; mais quand elles sont indifféremment positives et négatives, l’origine des valeurs A n’est plus à droite de toutes les .variations de la '

courbe , il est entre les racines positives et les racines négatives ; mais l’ordre des racines est toujours de droite à gauche ; la plus grande des racines positives est la première , puis en remontant vers la gauche , parce que la résolution de toutes les équations s’établit sur la forme générale

xm — A Æm~' -J- etc.

Si on l’établissait d’après la forme

xm — A*m"' + Bin'" — etc., ,

alors l’ordre des racines serait de gauche à droite.

Maintenant si la résolution d’un problème quelconque conduisait à deux équations à deux variables, je formerais une trace numérique pour chacune de ces deux équations, et en les superposant l’une sur l’autre , ou plutôt en les traçant sur les mêmes axes avec la même origine des valeurs , leurs points d’intersection détermineraient les valeurs de x et de y communes aux deux équations , et par conséquent appartenant à la solution du problème que l'on traite.

Si les courbes étaient des fonctions coniques , on pourrait, en les construisant géométriquement , avoir des valeurs à peu près assez exactes des x et des y ; mais les équa-

DU CALCUL DES INEQUATIONS. 445 lions qui peuvent se rapporter aux sections coniques ne sont qu’un cas très- particulier dans la résolution générale des équations , on ne peut obtenir , pour toutes les équations qui passent le second -second degré que des traces numériques ou des courbes décrites par points qui ne peuvent donner que des valeurs approchées ou des quasi- valeurs. Il faut encore , pour les rendre exactes , l’opération de la concentration dont je m’occuperai ci-après.