PR

qu’ils amènent, et justifie complètement l’assertion qui termine le n° 40 (*).

rs (*) Condorcet ajoute encore les considérations suivantes , qui ne sont pas moins curieuses. |

Dans le développement de (mn)"(##") la somme des termes qui

WA

Jo. Je n’ai encore considéré que deux évènemens possibles à chaque épreuve ; mais on applique l’esnérance mathématique à Vévaluation de tous les genres de hasard. Soit, par exemple, un dé à 6 faces, marquées depuis 1 jusqu’à 6, pour l'apparition de cha: cune desquelles un joueur s'engage à donner à celui qui jette le dé, autant de francs qu'elle conitent de

‘points; on demande la somme que ce dernier doit

mettre au jeu? L’espérance mathématique de celui-ci se forme en ajoutant celles que donnent tous lés évènemens possibles , et qui sont égales au produit du nombre de points marqués sur les diverses faces, par. la probabilité # d’en amener une quelconque : le ré-! sultat est

AG+2H8+4HEH =",

Eu

et par conséquent la mise cherchée (66). Aucun Évè=

- nement ne rapportera précisément cette somme ; mais,

elle est la moyenne (ou elle tient le milieu) entré, celles que le second joueur retire par les gains, et celles.

précèdent le plus grand, celui qui est affecté de mrrnrr, comparée à la valeur totale du développement, tend sans cesse vers le rapport L: il en est de même de la somme des termes qui suivent ce plus grand. Les premiers répondent aux évènemens qui font gagner le joueur pariant pour À, les autres aux évènemens qui font gagner son adversaire, lorsque leurs espérances mathématiques sont égales, et seulement dans ce cas : il s’ensuit donc que dans ce cas seule: ment, les probabilités de gain tendent à devenir égales pour chaque: joueur, à mesure que les épreuves se multiplient. ( Essai sur La probabilité des décisions, etc., p. 145.) Les bornes dans lesquelles je me suis proposé de resserrer cet Ouvrage, ne me permettent pas de rapporter la démonstration de la proposition ci-dessus ; mais! on en trouvera du moins des exemples numériques dans la note de la page 248. .

que lui laissent.les pertes; c’est-à-dire que les unes sont autant au-dessus que les autres sont au-dessous. En effet, il éprouvera, sur les points

. JT 1 1 le 1, 2, 3,-les pertes 2fr: —. pfre 2 © » ? ’ PE 2 ? 2° 2 ,

et sur les points

| ; fr. I I 4, 5, 6, les gains 2 ) 1fr: 2? afr. 3

iles unes compensent les autres. Pour le premier joueur, ice serait la même chose, mais dans l’ordre inverse.

: De plus, cette valeur moyenne est celle qui ne produit ni perte ni gain, pour l'évènement composé le

plus probable dans les épreuves répétées, puisque cet

l'évènement répond au terme dont les exposans sont

proportionnels aux probabilités des ‘évènemens sim-

ples (54).

71. Cette compensation ne peut être considérée que comme un état fictif résultant de l'impossibilité d’assigner de quel côté sera le gain, lorsque le jeu est égal ; car il faut bien remarquer que si le calcul montre que, dans ce cas, les rapports des pertes aux mises totales ‘les joueurs, sont renfermés dans des limites de plus én plus resserrées (68) ; il ne s’ensuit pas la diminution de la valeur absolue de ces pertes, mais, au contraire, son augmentation, puisque la somme r(a4-b) croît sans cesse avecr. Aussi, en ne considérant que le résultat général du ‘eu, sans s'arrêter au sort de l’un des joueurs en particu- ‘ier, on trouve sans peine qu’il y aune probabilité tou jours croissante, que la perte Surpassera une somnte donnée, quelque considérable que soit cette somme.

* Pour y parvenir, supposons d’abord que les pro-

r18 TRAIÏTÉ ÉLÉMENTAIRE

babilités des évènemens simples soient égales; prenons en conséquence le développement de (e + f)?, repré sentons par we?fP le terme qui en occupe le milieu ; enfin, joignons à ce terme un nombre g de ceux qui le précèdent, et autant de ceux qui le suivent. Nous aurons une expression de la forme

neP+If PI... mePfr...+ N'ePrif Pt,

et indiquant les évènemens où la différence entre le nombre des parties gagnées et celui des parties perdues ne s’élevera pas à plus de 24 Or, cette probabilité comprenant 2g + 1 termes, ira sans cesse en décroïs= | sant, si le nombre g reste le même, tandis que le nombre p augmente (32) , et par conséquent ; la pros babilité contraire, qui est formée du reste des termes du à elqiparh out de (e +.f)*?, s’approchera de plus | en plus de l'unité. :

Il suit évidemment de là, que si l’on désigne «la. mise de chaque joueur par a, et que’sa fortune ne sur, passe point 2a, il existe un nombre p, donnant une probabilité aussi grande que l’on voudra, que la perte résultante du jeu s’élevera à plus de 2ga, et qu'ainsi l’un des joueurs finira par être ruiné, quoique le} jeu soit égal; seulement la probabilité de cette ruine sera la même pour un joueur que pour l’autre , parce que les termes qui les expriment dans le dévelèppi ment de (ef)? sont identiques.

Quand les probabilités des évènemens simples sont. inégales, il faut employer l'expression

AMAR... pen"... À mignon +4 D (m Fe ne) En) "4

dont les termes extrèmes répondent à une perte

e DES :PROBABILITÉS.: 110) marquée par ltres ee

(rm + q)b — (rn — ga = q(a + d),

à cause que rmb — rna = 0 (67).

Prenant alors ga + b) pour l'expression de la fortune de chaque joueur, on pourra trouver encore, comme ci-dessus, à cause de l’invariabilité du nombre q,. une probabilité de plus en plus grande, que le jeu suftisamméent prolongé occasionera à l’un des joueurs une perte égale à g(a +0), et le ruinera par conséquent (*).

Lorsque le jeu est inégal, alors la répétition des

épreuves tend sans cesse, à l’accumulation des plus

Le, avantages, dont, comme on l’a vu dans le 1° Co Ê la probabilité at sans cesse, et peut être hiorte aussi près de l’unité qu’on le voudra. Aussi

Fexpérience prouve-t-elle chaque jour que les ban-

quiers qui se chargent de tenir un jeu de pur hasard,

moyennant certains avantages sur les chances, se

procurent un bénéfice assuré, dès qu’ils ont des fonds

suflfisans pour faire face à quelques évènemens trop

défavorables qui peuvent arriver de-temps à autre.

72. Le succès des loteries est de ce genre : il est fondé sur ce qu’elles ne rendent pas à ceux qui y mettent (ou aux ponites), le gain correspondant aux risques qu'ils courent ; la disproportion est Le plus souvent considérable, et augmente à mesure que les probabilités de

succès diminuent, ainsi y’ on va le voir dans la loterie de France. . |

(*) Ici les probabilités ne sont pas exactement les mêmes pour chaque joueur ; mais, suivant l'indication donnée dans la note de la page 115, elles tendront sans cesse à devenir égales, em s’approchant de :.

L’extrait simple, ou la sortie d’un seul numéro, ne rend que 15 fois la mise, quoique sa probabilité n’étant

que ee (47) , il devrait produire un gain égal à 17 fois

la mise, et rendre par conséquent 18 fois cette mise: l’espérance mathématique du banquier excède done ici de # ER ä celle des pontes. |

L’extrait déterminé, ou la sortie d’un seul numéro, à uneplace marquée du tirage, la première, par exemple, ne rend que 70 fois la mise, pour une probabilité égale

Ne l'avantage du banquier, sur ce hasard, est

L’ambe , ou la sortie, dans le même tirage, de deux. numéros désignés, ne rend que 270 fois la mise; mais

90 numéros, combinés 2 à 2, produisant ie 90:29 —/605

ambes, et les 5 numéros d’un tirage à = 10, la pro-"

babilité de la sortie d’un ambe est

; la probabilité

Fe c5 ai: 0 . 108 contraire, mn : le gain Gu ponte devrait donc être

2 — 399,5 fois la mise ; l'avantage du banquier est

par conséquent M

10 1305 = (op 200) 4005 7 4005

L’ambe dtrnisné ; ou la sortie 1" deux numéros désignés, dans une place donnée du tirage, ne-rend

que 5100 fois la mise. Comme il s’agit ici des arrangemens 2 à 2, et non pas des combinaisons, les 90 numéros produisent 8o1o ambes déterminés ; de plus, la place étant fixée dans le tirage, la probabilité d’un ambe déterminé sera par conséquent

| ilité contraire - : le gai | , la probabili go19 : le Gain du ponte

| 8o10 devrait donc être 8009 fois la mise ; l'avantage du banquier est par conséquent

5099 99) 8010 Sol Le terne, ou la sortie, dans le même tirage, de | trois numéros désignés, ne rend que 5500 fois la mise ; | mais go numéros, combinés 3 à 3, produisant

90.89.88 Ÿ ST 17480 ternes, et les 5 numéros du tirage . . LE 04.3 ail sue ——;— 10, la probabilité de la sortie d’un terne est 1 . 2 o 3 %

1 LV, . 11747 — = —,, la pr re, —{5# :

F4 1748” a probabilité contraire, 11748 le gain du ponte devrait donc être 11747 fois la mise ; l’avantage du banquier est par conséquent