Mer 43 949 268 quines, et les 5 nu

méros du tirage, 1, 8 probabilité de la sortie d’un quine était donc -—;

43949267. É ri 43940268 : le gain du ponte aurait donc dü être

Ex PER GE la probabilité. contraire,

43 949 267 fois la mise; avantage du banquier était par conséquent

et surpassait ES

On a supprimé cette manière de jouer, dans laquelle la difficulté de gagner était si grande, qu’elle . devait rebuter presque tout le monde. Pour s’en faire bientôt une idée, il suflit de considérer qu’en faisant 2 tirages par mois dans { villes différentes, ce qui donnerait 06 tirages dans un an, il faudrait plus de

DES PROBAPILITÉS. 123 457804 ans pour que tous les quines fussent sortis, en supposant encore qu'aucun ne se fût répété pendant cet immense intervalle. La sortie de tous les quaternes exigerait, dans la même hypothèse, plus de 5323 ans : on trouverait bien autre chose encore si, par la formule du n° 57, on cherchait le nombre de tirages qu’il faudrait embrasser pour obtenir la probabilité 1 de gagner un quineé où un quaterne,

738. I ne faut pas croire pourtant que le gain du banquier, a loterie, soit aussi démesuréque le montrent les calculs précédens. Pour que la grande disproportion établie entre la mise et le gain produisit infailliblement son plein effet, il faudrait que toutes les combinaisons des numéros fussent jouées avec des miseségales; mais c’est ce qui est bien loin d'arriver. Les mises par extrait, qui sont les plus nombreuses, se distribuent très inégalement entre les 90 numéros, selon la date de leur dernière sortie , ou d’après des rèveries superstitieuses : aussi l'administration de la loterie, qui cratgnait la sortie d’un numéro trop chargé de mises, s’était réservé le droit de le fermer, c’est-à-dire dé ne pas recevoir les-mises qui seraient faites sur ce numéro ; mais une longue expérience l'ayant bien rassurée sur cétte crainte , elle ne met plus à présent de restriction à la volonté des pontes; seulement, comme autrefois, elle fait vendre des billets arrangés d’avance , afin de répandre autant qu’il est possible les mises sur toutes les combinaisons. Cependant il n’est pas nécessaire que le partage des mises approche beaucoup de’ lépalité, pour mettre le banquier hors de’perte : c’est ce dont on peut se convaincre, en considérant ses avantages sous le rapport des recettes aux dépenses dans cliaque tirage.

St toutes les mises par extrait étaient les mêmes,

124 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE un tirage lui coûterait 5 X 15 mises, ou 75 mises ; s’il en avait reçu 00 ;, il aurait un bénéfice assuré de 15 mises , et il serait au pair s’il y avait eu seulement 75 numéros placés, Faisant le même calcul sur les autres manières de ; jouer les numéros, on verra l’excédant de la recette sur la dépense augmenter d’une manière.si rapide, que le pair est atteint bien avant que toutes les combinaisons ou les arrangemens soient remplis.

Au reste, les profits bien constatés de la loterie, pendant une longue suite d’années, les pertes et les désordres, malheureusement aussi bien constatés, dont elle a été la cause, pour une multitude de gens de toute profession, enivrés par ses espérances trompeuses, parlent encore plus haut que les calculs précédens, contre la faiblesse qui fait hasarder dans un jeu aussi inégal, un argent dont on pourrait faire un usage pro— fitable autant à l’amélioration des mœurs qu’aux avantages physiques des hommes, en le plaçant à des caisses d'épargnes solidement établies, sagement administrées, où recueillant les petites économies de l’ouvrier laborieux et du domestiqne fidèle, on leur prépare des ressources assurées pour le temps de la vieillesse et des infirmités.

Ceux qui veulent absolument se bercer d’espérances frivoles, ont retourné de toutes les manières les combinaisons que présentent la constitution de la loterie et les tableaux des numéros sortis depuis son établissement, afin d’y chercher un moyen de trouver son côté faible, Ce qu’ils ont pu faire de moins déraisonnable revient à déterminer des progressions deymises croissant de manière qu’un évènement heureux dont : la probabilité serait assez considérable , pût couvrir la perte passée ; inmais par ce moyen ôn né saurait

arriver à une probabilité nn peu grande d’obtenir un gain même très faible, qu’en exposant ne somme assez forte, pour que sa perte entraînât de bien plus graves inconvéniens que le gain ne pourrait donner d'avantages. Les pontes qui ont peu de fortune ne sauraient suivre de semblables jeux, ce qu’on appelle faire la martingale, sans se gèner ou s’obérer, ét sont souvent forcés de les abandonner en perdant tout ce qu'ils y ont exposé. Quant aux gens riches, ils peuvent faire de leurs capitaux un emploi bien plus avantageux, en se livrant aux améliorations de l'agriculture, au perfectionnement des arts, au développement du commerce. Dans cette espèce de jeu, dont on peut dire que la nature est le banquier, parce que sa force reproductive en fait le fonds, les pontes sages et éclairés augmentent leur fortune, en procurant à la société un accroissement de bien-être (*).

De l'espérance morale.

14. Ce n’est passeulement à un jeu inégal qu’un homme sensé ne voudra point exposer une somme un peu forte, dans l’espérance d’un petit gain très probable : il penserait encore ainsi, quand même les conditions du jeu seraient égales; mais il se déterminerait au contraire aisément à risquer une faible somme, pour obtenir un gain considérable et d’une probabilité fort petite.

(*) Les jeux publics sont aussi une autre source de ruine, parce qu’ils sont tenus pat des banquiers qui ont un avantage constant sur toutes les mises : tel est celui du trente-et-un ou trente-et-quarante. M. Poisson, dans le Mémoire déjà cité (p. 103), a donné, pour la première fois, l’expression exacte de l’avantage du banquier. Les principaux résultats de ce Mémoire se trouvent dans le tomne XII des Annales de Chimieet de Physique, p. 173.

L'un et l’autre de ces cas peuvent néanmoins répondre à la même espérance inathématique, puisque l’équation ve af.(66)subsistera toujours, si ,dans chacun de ses membres l’un des fâcteurs diminue dans le même rapport que, l’autre augmente. Par exemple, le pari dans lequel a = 10000, 00 ,e — 22

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