TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE P

=n, ——=m ; il viendra

vantes, et faisons À M

N “P=Nn, P—=Mm, NET pp d’où sf 142 m — T2 M— LAN Da P'=PHN M=P + P (© =)

= P ( - pe } mn Si l’on suppose constans les rapports z ét m, on, aura de même

Pp'= ji (x 1e. TETE 2) = P (x LG ) , etc. ,

et la population sera croissante ou décroissante, selon | que mn OouUmMm< n.

. LA © m jar = TL. |

Si, pour abréger, on fait 1 + 4; eu que) | dans les équations | |

P'nN',, P'=nN ST ete,

on mette pour P”, P”, etc., leurs valeurs P9, Pg”, etc., puis pour Psa VERT nN, toutes les équations formées | ainsi seront divisibles par x et donneront

N— Ng, AA 4 te TRE on obtiendrait de même Mi Ma, M'= Mg, ete.

Ces formules font voir que, dans l'hypothèse établie, la population, le nombre annuel des naissances et, celui des décès, suivent tous des progressions par | quotient, dont la raison est la même. Il suflit donc de

connaître par l’observation, deux termes consécutifs de l’une de ces progressions, pour en déterminer la raison ; et rien ne sera plus aisé ensuite que de trouver en bon d’années la population s’est accrue dans un rapport donné.

Soit s ce rapport et r le nombre d’ années écoulées depuis l’époque de P ; on aura l’équation

Pq' — SP, O0 Y—s;

et prenant les loÿarithmes, on obtiendra

La rapidité de l’accroissement de la population dépeñd, en grande partie, de l'espace libre et productif sur lequel aie peut s'étendre, et de l’augmentation des subsistances. Les États - Unis d’ PRE , réunissant ces deux avantages, paraissent doubler de population en 25 ans. On à lieu de croire que cet accroissement

(pourrait s’opérer en 19, dans le cas le plus favorable (*).

| TRY if (*) Essai sur le principe de la population, par M. Malthus, t. [, p. 6—7 de la traduction francaise, et t. IL, p. 240 et sniv. Dans l’Æssai politique sur le royaume G.- la Nouvelle-Espagne, par M. de Humboldt (p. 63 de l'édition in-d°), on trouve que 11e nombre annuel des morts étant réprésenté par 100, celui des nais= sances était 110 en France, 120'en Angleterre, 130 en Suède, 160 en Finlande, 166 en Russie, 180 dans la Prusse occidentale, 210 dans le gouvernement de Tobolsk (d’après M. Hermann), 230 dans plusieurs parties du haut plateau du Mexique , 300 dans l’état de New- Jersey (États-Unis ).

Cependant il faut observer que l’excédant des naïssances sur les. morts pourrait n'être qu "apparent dans plusieurs contrées dont beaucoup d'individus sortent pour n’y jamais rentrer; par exemple, les ( r. its enrôlés pour toutc leur vie.

3° édition. 14 +

117. Au moyen des relations obtenues dans l’article précédent, on déterminé facilement la Loi de mortalité, lorsqu'on connaît IV, g, "M, et comment ce Abeuiec nombre se décompose Avant les âges , c'est-à-dire si l’on a le nombre des morts de chaque à âge à T'époque donnée. En désignant par

Vis Var V3, elc.,

le rapport entre le nombre des individus de 1, 2, 3, etc., ans et le nombre des naissances, et par

IL, , W, , M, , W; ; etc,

le nombre des décès avant l’âge de 1, 2, 3, ete., ans, on aura d’abord

Le

Vi =, d’où M, = NE) |

Si l’on remonteiA l’année: qui ‘a à prétédé V époque des

nombres P, N, M (116), on trouvera = pour le

nombre des naissances d’où proviennent lés enfans âgés de 2 ans; suivant la loi de mortalité, ce nombre

A 2 , S VA N \ A an : # A a du sé réduire à à ’,, dès la première année, et.à

la 2° devenir F ’, * On aura donc pour la mortalité,

entre la première et la 2° année,

Rémontant ensuite à 2 ans avant l’époque donnée, pour arriver à la naissance des enfans de 3 ans, Je

nombre correspondant des naissances est al il se ré-

UD Niblur snitian S F duit à — , à la 2° année, puis à F v3 à da 3°+ donc la mortalité entré la 2° et la 3° année ;. sera. ....

N ; F (va — 3), et par conséquent

74 aa Parle

En continuant ainsi, on trouvera toujours des équations de même forme, desquelles on tirera successivement

= I — N ? | Ld Mg =, M+Mg == b, TNT — N ES Less W,q° __ M+M,q+MW,g* on PARC: A DRE PTT PT VAE EE Li) M0 M:+M,g+1,q +M:q° PR LP

;, Je N etc. 1

Lorsque g=1, on a M—N,.et les expressions cidessus se réduisent à

Ww,—=M—-M,,.

Nas =M—M, —M,,

Nos = ME M, — M, — M.,

Nov, = M — M, — M, — M, — M3,

c’est-à-dire que la Table de mortalité se déduit du nombre de décès partagé suivant les âges, ainsi qu’on l'a indiqué dans le n° 108.

Fe

118. Quand la loi de la mortalité est connue, celle de la population se détermine de même, enreé | montant aux naissances antérieures à l’époque Le P et réduisant chacun de cés nombres suivant les Années écoulées. Si l’on prend'roo pour le terme de la vie; on » | aura pour les âges |

pra. |

"4 3 LU LAP OURS 7 ERP CE Le A

les nombres d’individus N NN. N À N N YA KE TO 3 Le »s pce Ÿ 2? 19 2 2? ) 00 ” 100?

7 VAE y |

et par conséquent

N N N. | P=NL—- 4, + — v,..... —© Vios 5 Fan ee d’où Vy Va "3 Di = y mime: mIburs 5 0e je ET 100° Not tate En

Lorsque la population est stationnaire, g étant 1, ôn a, comme das le n° 115,

P=N{iHo ton. Vice }e

En substituant aux quantités 1, v,,#,, v3, etc., la moyenne prise entre les deux qui se suivent EEE ARE tement, savoir,

EN AN LAURE | "= 7 Pie Va sem — ? Vi00 7 *100) 2 > ? 2 2 39 = Vo += ?

la formule ci-dessus se EU en

Ca PEN Huit. Pros

ba Het,

- qui est la règle indiquée dans le n° 115 (*).

| Il faut encore remarquer que le polynome qui mul-. üplie N dans l'équation ci-dessus, exprime la durée de la vie moyenne, à partit de la naissance (213), et que par conséquent cette durée s'obtient aussi en divisant la population par le nombre des naissances (**).

119. Halley paraît être le premier qui ait fait voir comment on pourrait conclure d’une Table de mortalité, les probabilités de la durée de la coexistence de plusieurs individus , de la durée des mariages, pat

exemple, connaissant l’âge de chacun dés membres de l'association. Son procédé n’est autre que celui de là formation des probabilités composées (16). Pour en montrer l'application au sujet proposé, cherchons les diverses probabilités relatives à 10 années d’association d’un individu de 25 ans avec un de 20.

(*) Si la loi de mortalité était exprimée par une formule comme celle de Lambert (112), on pourrait cesser de s’astreindre à placer tous |* les décès annuels à la même époque, et supposer que l’extinction des individus se fait d’une manière continue pendant toute la durée de l’année; mais il faudrait substituer des différentielles et des inté- | grales, aux quantités et aux suites rapportées dans le texte, ainsi | qu’on peut le voir dans la note LIL et dans louvrage publié par M. Duavillard , sous le titre d'Analyse et tableaux de l'influence de la petite BR sur La mortalité. C’est de la première, Table de cet ouvrage qu'ont été extraites celles de l Annuaire que j’ai citées. (**) Dans tout ce qui précède, on'a supposé qu’il n’arrivait aucun changement à la population, par le déplacement des individus ; ou que ceux qui venaient habiter le pays compensaient exactement cé qui le quittaient. Pour voir comment on tiendrait compte du mouvement extérieur de la bopulatior, on. peut consulter l’introduction que M. Fourier a mise à la tête des Recherches statistiques sur La ville de Paris et le département de la Seine, 1821.

Il pourra arriver, ou qu'ils existent encore tous deux au bout des 10 années, ou qu’un seul vive, ou que tous deux soient morts. La Table de mortalité de l’ Annuaire, réduite sur le pied de 1000 naissances, donne pour vivre 10 aus, à partir de 25 ans,

fol au D Ones PEUR

,) Sa CON(TAIrE 1 — — == ———

&7i an Ag gr?

à partir de 20 ans,

la probabilité

la PE CS a sa contraire 1 me ph 2és De ces probabilités simples résultent les probabilités composées | :

Fe + . qu’ils existeront tous deux à Le ; ai que le plus âgé sera mort k

= . que le plus jeune sera mort, Om 64 que Das deux seront morts 471 *5o2 | du

En général, si e et e” désignent les probabilités de l’existence de chaque individu au terme de J’association , f et f” les probabilités contraires, le 8 2EveRobs pement de

HN CHI = + El + + = donnera cé, “4h ef, JF

pour les quatre probabilités énoncées ci-dessus. Quand

on cherche seulement la probabilité que l’un quelconque des deux individus existera encore, on a

ee Léf+f 1 ff € |

ce qui est plus simple lorsque les nombres fet f’ sont les plus petits.

120, Avec ces probabilités, on peut dresser la Table de mortalité particulière à chaque association ; si l’on en suppose, par exemple, 1000 formées à la fois, et que les probabilités snnples e, e’, f, f', se rapportent à la première année écoulée depuis, il y aura à la fin de cette année

1000 ee” associations qui subsisteront encore,

1000 ef -où le plus jeune survivra, ® 1000 ef” où le plus âgé survivra,.

1000 ff" K où tous deux seront morts.

Calculant les mêmes nombres pour chaque année, on formera une Table pareille à celle que M. Duviilard æ construite pour les mariages, sur les registres de la ville de Genève (*), et à l’aide. de laquelle on déterminera la durée probable et la durée moyenne de l’association, comme la vie probable et la vie moyenne, par la Table de mortalité des individus (110 et 113). Pour donner plus d’exactitude à sa Table des mariages, M. Duvillard a pris e et f suivant la loi de mortalité particulière aux hommes, e et f’ suivant celle des femmes ; mais ce soin, auquel j s’est borné, faute de pouvoir faire mieux, laissait encore quelque incerti-

(*) Recherches sur les Emprunts, p. Go. Voy. aussi dans les Novi Commentarit Acad. Petrop » t XII, p.099, un Mémoire de Daniel Bernoulh, sur le même sujet,

tude ; car dans les Tables ordinaires de mortalité, les décès des individus mariés sont confondus avec ceux des célibataires , et il y avait lieu de présumer que l’ordre de mortalité n’est pas le même pour cés deux classes.

Le dépouillement des registres de la paroisse de Saint Sulpice , l’une des plus populeuses de Paris, avait présenté à cet égard un fait remarquable, Dans le résultat de 29 années, le nombre des hommes célibataires et celui des hommes mariés ou veufs de tout âge, étaient dans le rapport de 7 à 2 ; mais à Pâge de 90 ans, ce rapportm’était plus que de 9 à 43, presque de 1 à 5. Le nombre des filles et celui des femmes ou veuves de tout âge, étaient dans le rapport de 1 à 4; mais à l’âge de 00 ans, ce rapport n’était plus que de 14 à 109, presque de 1 à 8 (*).

Les mêmes différences ont été remarquées en Angleterre et en Suède ; ainsi il n’y a pas de doute que des Tables construites avec des observations faites immédiatement d’après les mariages, mériteraient la préfé— rence sur les nombres conclus par le procédé indiqué

ci-dessus , et dispenseraïent en outre de toüt le calcü} |

nécessaire pour obtenir ces derniers (**).

Voilà un exemple très frappant et très simple de ce que j'ai annoncé dans le n° 107 SûT l'avantage des observations directes. Tant qu’on n’a connu dans chaque lieu qu’une loi générale de la mortalité, il a fallu supposer quelle convenait à peu près aux deux sexes ; a-t-on fait la distinction des sexes, il à fallu süpposer encore que la mortalité A personnes ma-

riées différait peu de celle des célibataires ; mais

(*) Page xxxij du Discours préliminaire de La Dottrina degli azzardi, déjà citée en note, p. 200.

(7*) Voy.le 1er chap. de l’ouvrage de M. Baily, cité on note p.204.

l'observation particulière de la durée des mariages et de leur dissolution, dispense de toute hypothèse, en donnant immédiatement les probabilités dont on a besoin.

121. Les recherches sur les probabilités de la vie humaine ont trouve une application bien importante, dans les disputes qui se sont élevées sur l’inoculation de la petite vérole, Il y avait à résoudre deux questions décisives : premièrement, il fallait montrer combien l’inoculation conservait d’individus, afin de faire connaître de quelle utilité elle pouvait être à la société ; et considérant ensuite le sujet sous le rapport de l’intérêt personnel , il fallait balancer le danger que cette opération faisait courir à l’individu, suivant son âge, sa constitution, avec le danger de mourir de la petite vérole naturelle, plutôt que de toute autre maladie. Le premier de ces dangers étant actuel, devait frapper beaucoup plus l’imagination que le second , réparti sur toute la durée de l'existence, et ne paraissant que dans l’éloignement. A cette distinction , d’Alembert voulait qu’on ajoutàt la différence de prix que doivent avoir les années de la jeunesse, comparativement à celles d’un âge avancé; mais ici on retombe dans ces estimations vagues qui ne peuvent être l’objet d’aucun calcul exact. FE

On arriverait facilement à des déterminations précises sur l’une et l’autre des questions énoncées plus haut, si l’on connaissait le nombre des individus que la petite vérole attaque dans chaque année, avec leur âge, le nombre de ceux qui en meurent, et quelle serait la probabilité de mourir chaque année, si la petite vérole était éteinte. Ce dernier élément a été conclu des données précédentes et des Tables ordinaires de mortalité, en retranchant du nombre total des morts de chaque

âge, celui des morts causées par la maladie, et divi- ‘sant le reste par le nombre total des individus existans à cet âge; mais cela suppose que les individus éteints par la petite vérole, n’auraient succombé à aucune autre maladie , s’ils eussent été préservés de celle-là, supposition qu'on-pourrait bien ne pas admettre. I] paraît plus'exact de comparer le nombre de décès occasionés par d’autres maladies que la petite vérole, non pas à la totalité des individus de l’âve dontil s’agit, mais au nombre de ces individus, diminué de ceux qui sont morts de laïpetite vérole, quoique ce ne soit pas encore tenir compte de la manière dont se seraient éteints ces derniers individus, s’ils eussent été préservés de là petite vérole. Pour éviter ces objections, il faudrait déterminer immédiatementcette mortalité sur des individus soustraits à l’influence de la maladie. En choisissant ceux qui ont déjà eu la petite vérole, on pourrait néanmoins encore craindre que l’effet de cette maladie n’eût opéré dans leur constitution un changement d’après lequel leur ordre de mortalité ne fût pas le même que pour des individus préservés de toute autre manière ; mais quoi qu’il en soit de ces difficultés, les résultats n’en conservent pas moins la même marche, et je ne les ai exposées que pour montrer co le sujet est épineux. Je reviens aux données indiquées ci-dessus.

IN étant toujours le nombre annuel des naissances, je désignerai par 9", v”, #”, etc., le nombre des individus existans à 1, 2, 3, etc., ans, para, &’,«', «”,etc., ceux qui sont attaqués de la petite vérole avant 1, 2, 3,etc., ans, et par &, w', pp”, elc.; ceux qui en meurent. Le nombre dé morts causées par d autres

maladies sera,

de o à 1 an, N—v —%,

1 à 2 M — pu, 2259 D pt — pu”, etc.

Les probabilités de mourir de ces maladies seront, dans la première hypothèse,

Mises D — pe gp — pu à pp — ue"

N » v' 2 v" b) etc 9

et dans la seconde,

NET. ? Lg + detre ah ALES ne N ? v' —w ? v" — pe" 2 etc.

En général, qu’elles soient déduites, soit de ces ex-

| pressions , soit des précédentes, ou de toute autre ma-

nière, désignons-les par m, m', m", m", etc. ; après Vextinction de la petite vérole, un n6nibre N de naissances donnera IV{1 — m) leiihe âgés de 1 an; N(1— 7m) (1— mn) enfans âgés de 2 ans, etc. , nombres qui formeront la Table de mortalité correspondante à cet état de choses ; et en la comparant à la suite des nombres Æ ; v”, ”, v"”, etc., on en déduira le nombre

des individus qui sont conservés dans chaque âge, l’aug-

mentation de vie moyenne gagnée par eux en parti culier, et celle qui en résulte pour tous les individus. Connaissant d’ailleurs le rapport du nombre annuel des mariages à celui des individus nubiles, et le rapport du nombre des mariages aux naissances , on obtiendrait l'accroissement produit dans les naissances, par les individus conservés’: ce serait le gain de la population ; mais pour qu'il ait réellement lieu , il faut que la facilité de subsister croisse aûssi dans le même rapport. |

122. Dans l’état présent, « individus prenant la petite vérole de o à ran, et # y succombant, il ré-

sulte pour cette première année, les probabilités FN de :

x É = d'en mourir (x6), 7. |

prendre la petite vérole, Ni

.N ne jura é È TAC e nen être pas atteint.

Des N — « individus qui ne l’ont point la première année , la mortalité causée par les autres maladies n’en laissera que (N—x) (1—mn) ; sur cenombre, «’ prendront la petite vérole dans la seconde année, 'et#' y succomberont; ainsi on aura, pour cette 2° année, les pro-

’ babilités