QUE

182 N TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE » fondement commun dans une troisième cause €, où » que chacun des deux dépende enfin d’une cause iso- » lée ou indépendante. Dans les deux premiers cas, » ils devront reparaître toujours à la suite l'un de » l'autre; dans le troisième,.… leur rencontre sera l'effet » du hasard : ils pourront se trouver aussi bien séparés, » éloignés, que réunis... (*). » On voit déjà qu’en admettant l'influence de la répétition du jugement de possibilité sur notre esprit (5 et 6), il doit être porté à supposer une liaison , soit immédiate, soit médiate, entre À et B. « Donc, s’ils se reproduisent de nouveau, » si, en se reproduisant, ils paraissent constamment » réunis, il devient vraisemblable que cette réunion » a son principe dans l’une des deux premières hypo- ». thèses. Plus la répétition aura été fréquente, la ren- » contre des deux faits étant constante, plus cette vrai- » semblance augmentera; elle ira croissant ainsi jusqu’à » l'infini. » Voyons comment le calcul justifie cette dérnière assertion. d

104.On a observéun grand nombre de fois desuite l’apparition consécutive ou simultanée des faits 4 et B; la probabilité que cette apparition jouit d’une grande pôssibilité, s’obtiendra en cherchant la probabilité de l’hypothèse par laquelle Ie rapport des chances qui établissent le concours de l’un avec l’autre, diffère très peu de l'unité ; et pour rendre la chose plus sensible ; on peut, ce me semble, énoncer ainsi la question : On a tiré, d’une urne (avec lattention de les y remettre chaqué fois) un grand nombre de billets marqués AB ; s'il ny en avait que de cette sorte, l'apparition simultanée des | lettres À ét B serait nécessaire; mais c’est ce qu’on |

(*) Histoire comparée des systèmes de philosophie, px M. Degérando, ire édition , 2. LE, p. 555 et suiv.

DES PROPABILITÉS: L 183

ignorera tant que tous les billets ne seront pas tirés : on demande donc quelle est la probabilité que le rapport du nombre des billets de l'espèce de ceux qui sont sortis, au nombre total des Que , est compris entre des limites données ?

Soit m» le nombre des billets, a une fraction assez voisine de unité ; la probabilité que le rapport inconnu tombe entre a et 1, aura pour expression

" m (m go 21m un) CR PAR CL Li 1

et nommant P cette probabilité, il viendra P = 1— a"T1 (89).

a étant 1, la valeur de a+! pourra être rendue aussi petite qu’on voudra ; son décroissement, qui ne sera pas d’abord très rapide, si a diffère peu de l’unité , le deviendra dès que le nombre m2 sera très considérable. Soit, par exemple,

et qu’on l'élève de. 000 000° puissante, On trouvera facilement, par le moyen des logarithmes, que cette puissance est égale à l’unité divisée par un nombre de 44 chiffres; et comme c’est la probabilité contraire à celle qu’on cherche, on jugéra par là combien cette dernière approche de l’unité.

Si l’on se donne P et qu’on prenne a pour incon-

m1 nue, on obtiendra a = V/ 1 — P. En faisant seule-

ment P—;, m étant toujours 100 000000, on trouvera |

environ; fraction qui diffère bien peu de l'unité; et ce rapport du nombre des billets marqués 4B au nombre total, sera la limite qui sépare les rapports probables de ceux qui ne le sont pas (9); en sorte que celui qui est un peu moindre sera déjà probable (*).

Ces résultats peuvent donner une idée de ce que doit être, quand on l’étend à la suite des siècles connus et à toute la terre, expression numérique de la probabilité de la dépendance des phénomènes tels que la rencontre des corps et le déplacement qui en est la suite, si prodigieusement répétés dans un seul jour et dans un seul lieu.

La probabilité qu’il y a très peu de chances con- |

traires à la permanence du mouvement de la terre,

(*) Si l’on n’a pas de Tables de logarithmes assez étendues pour :

effectuer ce calcul, on peut employer la formule

x la x2 f'la “2 at ts pes à FO E L) + etc,

(Compl. des Élém. dAlgèb.)

dans laquelle le — 0,43429 : il faudra y changer a en 1— P

à en

ue . et quand le nombre m1 sera très grand, les

deux premiers termes suffiront. Dans l’exemple ci-dessus, où -

1 P — 3) On aura

D MI I 30 I 3 Éer-o D En pm I — Eee pd M1 43 100 000001 ‘4 j

eliViron,

DES PROPBABILITÉS. 185

estdéjà très considérable quand on la conclut dunombre de levers et de couchers du soleil, comptés depuis les temps les plus reculés ; mais elle devient bien plus forte encore quand on a égard aux lois connues des mouve-

‘mens de notre globe, parce qu’alors la conformité des positions observées , avec les positions caiculées , doit ètre regardée comme fournissant de! nouveaux faits, dont le nombre est presque infini.

IL s’en faut de beaucoup, sans doute , que les faits soient aussi multipliés, par rapport à d’autres liaisons regardées comme des lois de la nature ; ni que la plupart de nos inductions soient établies sur de tels fondemens ; mais il faut bien prendre garde à l'influence qu’exercent les faits les plus répétés, par rapport à ceux qui le sont moins. Dès que les premiers nous ont fait acquérir le sentiment de la cons tance des lois de la nature, nous l’étendons à tout ce qui se passe sous nos yeux; et pour tous les cas avec lesquels nous sommes familiarisés, notre conlance dans la liaison des effets aux causes, passant en habitude, peut encore croître, par cette raison, beaucoup plus rapidement que la probabilité indiquée par les calculs précédens (*).

RS paa CT AE, LE Dig iniqhte va tnt

(*) Dans la rigueur des termes, ce qui précède n’établit que la probabilité d’une succession constante éntre deux phénomènes, et c'est aussi à quoi le célèbre physicien Leslie pense qu’il faut éduire, comme le veut Hume, tont ce qu’im plique pour nous la relation de cause et d’effet. H en appelle même au langage ordinaire

oumis à une critique rigoureuse ({nquiry into the nature and

Propagation of heat, p. 52, note XVI, ou Edinburgh Review,

18 vol., 1865 à 1806, p. 113—192. Voy.aussi Lectures of Physiology, Zoology, and the Natural History of man by Lawrence, ecture III, p- 78). Il est d’ailleurs évident que lidée d’une telle sucession suffit pour la conduite dé la vie, (Poy. mes Essais sur l'En-

eignement, 3e édition, p. 355.)

De plus, le but essentiel de nos observations étant de prévoir ce qui-doit arriver, la probabilité de la production d’un nouvel évènement semblable à M.

ont déjà été observés, est celle qui nous intéresse le plus, parce qu’elle peut servir à régler notre conduite pour celle-ci, le calcul prend une marche beaucoup plus

rapide; car l’expression ddr (86) diffère bien peu de m +2 |

l'unité, lorsque m est un peu grand. Cette proposition,

le soleil se Levera demain, par exemple, en prenant

pour point de départ une époque reculée de 6000 ans,

a maintenant une probabilité égale à . Si 2 191 502

l’on embrasse un intervalle de plus d’un jour, la pro-

°1° ’ ’ +1 babilité, donnée alors par la formule , Va sans tes à 4% m+p+# 1 cesse en décroissant, et peut devenir très faible ; mais 2 LRQ 48h 1 . 0 0 cette conséquence n’a rien qui choque la raison , puis-

que l'avenir peut développer des lois qui nous sont en-

core inconnues (*).

(*) Bertrand, de Genève (Développemens nouveaux de la partie élémentaire des Mathématiques, t. [, p. 418), a traité anssi la question précédente, mais par la considération des probabilités à priori seulement ; et il a pris pour la probabilité simple de l’évènement?observé, celle qui donnait pour la probabilité de

la répétition de cet évènement 72 fois de suite, parce que l'hypothèse

de cette probabilité ne favorise nine défavorise la production de

la série d'évènemens observés. Suivant ce mode, ona

-, d'où x = ——; 2 m

et comme, par cette expression, plus # augmente, plus x approche

AM x

DES PROB ABILITÉS. 107

105.On ne manque donc pointde motifs suffisans pour appuyer la légitimité des conclusions du passé à Pavenir, et c’est en cela que consiste le pouvoir de l’analogie ; mais n’est-il po arrivé qu’en se livrant trop à ce pouvoir, les savans, aussi bien que le vulgaire, soient tom- “bés nn l'erreur, et aient hasardé des assertions. prématurées ? Cep dant ils ne pouvaient suivre d’autre voie pour découvrir la vérité. Que l’on examine avec attention, soit les règles de Descartes, soit celles de Newton, rapportées A la note de la page 2, y verra-ton autre chose que le soin de faire l’énumération la plus exacte possible des faces d’une idée ou des combinaisons de plusieurs faits? Lorsque l’énumération sera complète, que la dépendance, se trouvant la même dans tous les cas, sera nécessaire, il y aura certitude, soit physique, soit real né moins pour LL partie indivisible du raisonnemer it, ou chaque fait en particulier (1 et 2). Hors de Li , on ne peut plus que balancer les cas favorables à l’analogie avec les cas contraires ; et s’il ne s’en présente pas d’abord de cette dernière espèce, rien ne garantit qu'il n’en arrivera | point. L’ pyngthése qui explique complètement ungrand R nombre de faits n’est donc encore que probable, et le

de unité, plus aussi on doit s’attendre à l'apparition d’un évènement pareil à ceux qui ont déjà eu lieu.

La formule de la note de la page 184 donnerait, dans le cas de 7x un peu grand,

ee qui ne diffère pas beaucoup de ; mais Bertrand n’a consi- 1 2 ”

déré qu'une seule hypothèse, au lieu que Ia méthode directe les cm

brasse toutes.

180 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE calcul apprécie le degré de confiance qu’elle mérite ;

mais tant que les faits ne seront pas tous ébrenvé, tous mesurés avec la plus grande précision, aucune hypothèse ne se changera en véritable théorie : les plus : heureuses ne seront que des méthodes artificielles pour lier par une seule formule, ou comprendre dans une seule expression, la dépendance d’un nombre de faits

plus ou moins grand.

106, Tels étaient les principes d’après lesquels Condorcet, plaçant la certitude absolue seulement dans la conscience d’une. sensation actuelle, et dans la perception instantanée et avec pleine évidence de la convenance ou de la disconyenance de deux idées, donnait pour fondement au reste de nos connaissances notre tendance générale à croire au retour des faits que nous avons observés plusieurs fois sur nous-mêmes ou sur les autres objets (r et 2), et faisait deux classes de probabilités, la première comprenant celles dont la différence avec l’unité est inassignable , mais tellement : petite qu’il serait superflu de la calculer, et auxquelles nous acquiesçons par une habitude dont nous ne nous rendons pas compte, comme nous le faisons, ou du inoins comme nous devrions toujours Je faire pour les probabilités de la seconde classe (*). Ainsi s’établit une gradation non interrompue, depuis les propositions qui n’admettent aucun doute, jusqu'aux plus incertaines! |

(*) A la tête des probabilités de la première classe.se trouve celle qui fonde notre croyance à l’existence des corps, ou notre « perz |. » suasion que le système des sensations qui sont excilées en nous | » dans un instant, se représentera constamment de même dans*. » des circonstances semblables, ou avec de certaines différences M » liées constamment au changement des circonstances. » ( Æssai h sur l'application de l'Analyse à La Probabilité, etc., Discours préliminaire, page xij.)

DES PROPABILITÉS. ! 89

Cette manière d'envisager nos connaissances donne une base solide au scepticisme « qui, dans les écoles » grecques , avait dégénéré en un ridicule charlata- » nisme; mais qui, chez les modernes, dégagé de ces » subtilités pédantesques , est devenu la véritable phi- » losophie, et.qui consiste, non à douter de tout, mais » à peser toutes les preuves, en les soumettant à une ” rigoureuse analyse ; non à prouver que l’homme ne » peut rien connaître, mais à bien distinguer et à » choisir pour à de sa curiosité ce qu’il est possible

» de savoir (*). »

107. La théorie mathématique concourant, avec les simples aperçus du bon sens et avec les résultats de l'expérience, à prouver que les lois de la nature peuvent se reconnaître, au moins à la longue, dans la succession des faits qui en sont les conséquences nécessaires, il s’ensuit que dans les questions dont les élémens sont trop compliqués pour en épuiser les combinaisons, en parcourir tout l’enchaînement , il faut interroger la nature, compter et comparer les faits, enfin juger à posteriori de ce qu’il est impossible de prévoir. Telle est la base et le motif de l'application du calcul des probabilités aux sciences physiques, morales et politiques.

Cette application céfiduira toujours à des résultats utiles , ou maintiendra dans ce- doute salutaire qui Éretet les erreurs dangereuses, lorsqu'on la fera | avec circonspection, c’est-à-dire en distinguant avec soin les faits, d’après les diverses censés qu ils

présentent, ip d'éviter de rapporter à toutes ce qui ne convient qu’à quelques-unes, de confondre les points

es ee

(*) Éloge de Franklin, OEuvres de Condorcet, tome IV,

page 04.

de vue qui doivent être séparés, et de rendre. générales des conclusions qui ne sont vraies qu'entre cettaines limites. Ce sont là les reproches que l’on peut faire quelquefois âvec raison à des calculs très savans, mais dans les résultats desquels on ne trouve pas une grande évidence, ni une utilité bien prochaine, Mais que l’on y prenne garde ; c’est parce que, faute de données, on a été obligé d’appuyer ces calculs sur des suppositions souvent très détournées , que leur marche est devenue si compliquée et leur résultat si incertain. Un nombre suffisant d’observations dégagées de toutes les circonstances étrangères aux conséquences qu'on cherche, offrira toujours un moyen aussi simple que sûr de découvrir ces conséquences, ou d’en mesurer l’étendue et la valeur, et par conséquent d'apprécier les combinaisons qui les ont amenées.

De simples registres, fidèlement tenus, suffiraient :

pour reconnaître l'effet d’un impôt, par les variations qu'il produit dans les salaires et les consommations ; celui des rè èglemens cominerciaux,, par le ouvert des importations, des exportations, le progrès des mianufactures, Ja culture des terres.

On peut juger aussi d’un système d'instruction, par le recensement des sujets qu’il aura produits après un certain nombre d’années ; d’ungsystème de législation

civile, par le nombre de procès qu'il aura engendrés où

prévenus ; d’une législation criminelle, par le nombre

des coupables condamnés où absous et repris. Mais pour qu’on puisse tirer parti de,ces, observations, il :

faut que l'épreuve du système soit continuée, que les résultats en soient recueillis avec impartialité, pour être ES avec ‘exactitude. Je dis comptés; car lorsqu'on n’en vient pas là , on tombe presque toujours

dans des déclamations vagues. Il n’y a pas de mesure :

de gouvernement qui ne lèse un assez grand nombre d'intérèts particuliers ; et si Les hommes qu’elle attaque ont du crédit, savent parler ou faire parler pour eux, la mesure la plus utile à la masse générale de la nation ne peut pas subsister ; quelques inconvéniens relevés avec force ou avec adresse la font révoquer, tandis qu une énumération exacte de ses effets aurait rendu incontestable la supérigrité de ses avantages sur ses inconvéniens. En s’écartant de ce Droceile > On à pu même l’attaquer de bonne foi.

Pour donner un exemple de ces jugemens vagues qu’on porte par de simples aperçus, sur des objets susceptibles d’une évaluation précise, je rapporterai le beau résultat obtenu par M. Duvillard, dans son 4nalyse de l'influence de la petite vérole sur la mortalité (p. 10). Il a démontré, d’après les Tables de mortalité, à Genève, à La Haye et à Berlin, que passé l’âge de 130 ans, la petite vérole est d'autant moins dangereuse AQET ceux qui ne l’ont pas encore eue, qu ‘ils sont dans un âge plus avancé. L”’ opinion commune est contraire

à ce résultat, et ilest aisé de sentir comment elle a pu s s'établir avant qu’on ait fait l’observation exacte du nombre des morts causées par la petite vérole contractée à différens âges. On a été d’autant plus frappé de ces morts, qu’elles sont arrivées plus loin de l’époque DE de la maladie. L'importance, pour la société, des personnes qu "elle lui enlevait, et un danger qu’on était porté à regarder comme ds AE à Ja jeunesse, ont beaucoup agi sur l'imagination des spec- Lateurs : alors des impressions puremant morales sont venues se mêler à un jugement où ne devait entrer que le calcul. Ce qui estarrivé ici a encore bien plus de force dans toutesles circonstances où les intérêtset les passions sont violemment agités; aussi , pendant long-temps,

| mest-ce guère que dans ce qui regarde lamortalité des in+ dividuset leur multiplication, qu’on a recueilli les faits avec quelque suite : € est donc dans ces faits qu’un grand ‘ nombre des auteurs qu ont écrit sur l’économie poli-

tique, a cherché la mesure pour évaluer le mérite des | systèmes divers d” administration et de gouvernement; et par cette raison , je donnerai, avec quelque détail, la manière d’y appliquer le. Fehl des pr obabilités.

Détermination des probabilüés de la vie humaine.

108. La formation des Tables de mortalité sérait très. simple, si l’on pouvait trouver sur les registres des décès, ceux d’un grand nombre d'individus choisis sur: les esiitrés des naissances, et par ce moyen, dé | miner combien il en reste à la fin de chaque année) | Malheureusement un tel procédé, le seul rigoureuse= ment exact, est rarement praticable; car les résultats de ce senre ne pouvant mériter quelque con— fiance, qu’autant qu’ils sont déduits d’un grand nombre de faits , si l’on s’attache à un lieu d’une faible population , il faudra dépouiller les registres d’une lon gue suite d'années, pour suppléer à la quantité de naissances rarultees que peut fournir une ville considérable ; mais dans l’un et l’autre cas, qui est-ce qui oserait entreprendre de suivre chaque individu à travers les changemens de domicile, les émigrations) V imperfection même des fegistres ét Ke foule des sn répétés , qui seule pourrait occasioner très souvent beaucoup de confusion ? Et puis, comme on le verra

(”) Thébrie analytique des Probabilités, page 358. l

DES PROBABILITÉS. 105 bientôt, et comme il est facile de le prévoir, le temps influe sur les probabilités de la vie humaine, soit par Les changemens politiques, soit par le perfectionnement qu'apporte dans le régime et la police civile le progrès des lumières : les Tables formées sur des observations qui embrassent un trop grand intervalle de temps ne sauraient donc convenir nià l’époque où remontent . les premières, ni à l’époque présente. : Voilà bien des difficultés qui rendent-la méthode indiquée ci-dessus à peu près impossible à suivre, excepté dans quelques cas particuliers dont il séra fait mention plus loin; et aussi est-ce d’une tout autre manière que la chose s’est

faite. | | 8 #7

… La plus ancienne Table de mortalité que l’on con: maisse est celle que Halley à déduite des registres de la ville de Breslaw en Silésie, et qu’il a publiée dans les Transactions philosophiques, en 1603. I fit choix de cette ville, parce que le nombre des naissances et célui des morts y différant-très peu, il pensait que la population s’y maintenait à peu près dans un état stationnaire, et qu’en conséquence les pertes qu’elle faisait en individus dans les divers âges , étaient sensiblement proportionnelles à la mortalité, pour chacun de ces âges, ce qui faisait qu’on pouvait regarder les individus décédés chaque année, comme s’ils fussent ous nés la même année, et leurs âges respectifs comme indiquant la manière donts’éteindrait successivementun pareil nombre d'individus ayant commencé leur vie simultanément. Halley réunit donc le nombre des:morts iwrivées depuis 1687 jusqu’en 160r, à Breslaw, distribua se nombre suivant les âges ; alors retranchant du premMier nombre celui des enfans morts à r an, le reste indiqua le nombre des survivans, desquels il retrancha ensuite le nombre des enfans morts à 2 ans, pour 6b- 3° édition. 13

ns

tenir celui des survivans, et ainsi de suite ; et afin de faciliter les calculs, il réduisit ces divers nombres proportionnellement à 1000, par lequel il représenta celui des enfans de 1 an.

La commodité de ce procédé ‘supplée bien à ce anque du côté de l'exactitude, parce qu’on fréquemment l'application, et, com pensant par la variété des lieux et des époques, les erreurs auxquelles il est sujet, arriver à des valeurs moyennes suffisamment approchées pour présenter des résultats intéressans. Smart en a fait usage pour la ville de Londres, Dupré de Saint-Maur pour celle de Paris, et il a été appliqué à presque toutes les capitales et à beaucoup d’autres lieux. Mais dans plusieurs Tables, dans celle de Dupré de Saint-Maur, par exemple, il é d'assez grandes inexactitudes, parce que l’âge est très souvent fautif dans les actes de décès: les personnes qui l’indiquent, ou le savent mal, ou ne donnent que le nombre rond le plus appochant ; aussi on trouve souvent 6o ans où il aurait fallu 59 ou 58, et de la résultent dans le premier de ces âges plus de décès en apparence qu’il n’y en a eu réellement.

Cette inexactitude est aisée à remarquer, par la

marche trop inégale des nombres qui doivent se

succéder dans la Table; et il faut tâcher de les la manière la plus vraisemblable , en régularisant les différences : c’est ce qu’a fait Saints Cyran ; pour les Tables de Dupré de Saint-Maur (*): |

Le concours de circonstances nécessaire pour pouvoir suivre les individus un à un, n’a jusqu’à présent eu liéu que par rapport à quelques classes dont l’ordre de mor: talité et très différent de celui de l’universalité des ren Li Ma 22e autel tes Le M

(*) Voyez ses Recherches sur Les Rentes viagères, 2€ part. ; p. 23!

qui lui m en peut répéter

s’est gliss

corriger de

hommes : telle était la classe des rentiers viagers de

Hollande, dont Kerseboom a dressé la Table de‘mor-

talité, celle des rentiers viagers de France, connus sous

la dénomination de tontiniers, et celle des religieux de l’ordre des Bénédictins, dont les Tables sont l’ou-

vrage de Deparcieux, etc. L’intérêt du gouvernement , : l’ordre établi dans une congrégation d'hommes studieux, donnaient aux registres de ces classes une exactitude et une clarté qui en facilitaient beaucoup le dépouillement ; mais aussi les résultats devaient être fort éloignés de ceux de la vie ordinaire. Ce n’est que sur des enfans paraissant bien constitués et en général

sur des adultes bien portans, que l’on place en rente viagère. Ceux qui jouissent d’un pareil revenu tiennent : pour la plupart une conduite uniforme et modérée, qui doit prolonger leur existence : beaucoup sont célibataires : les religieux l’étaient tous, et n’entraient dans leur profession qu'après être échappés aux dangérs de Venfance et de l’adolescence. Des Tables calculées sur de pareils individus ne sauraient donc servir que | Pour ceux qui sont placés dans les mêmes circons- . tances; c’est ce qu’on verra lorsqne j'exposerai la théorie des rentes viagères. Les questions dont je vais | d’abord m'occuper sont seulement relatives à là vie | considérée en elle-même, et à la population, en supposant-que les évènemens futurs se succèdent comme | les évènemens passés, ce qui est permis, puisqu'on regarde le nombre de ceux-ci comme très grand par rapport à celui des autres. s

109. La plus simple de ces questions est la recherche des probabilités de la prolongation de la vie à chaque ‘âge. Par exemple, la probabilité de vivre encore 10 ans, ‘lorsqu'on est parvenu à l’âge de 40, s'obtient en di-

visant par le nombre des personnes de cet âge, le, nombre des personnes de 50: La Table de la Lor de la mortalité en France; insérée dans l’Annuaïre du Bureau : des Longitudes, donnant pour l’un de ces nombres, 369404, et pour l’autre, 297070, il en résulte 291 ,865 environ ; la Table dressée sur les registres

de Londres, par Price, donne 2 0,696; celle de

220 | | ps in hi es de Ber-

LE

Vienne , par Sussmilch,

J 224 | lin, par le même, =——0,747 ; enfin, celle des cam-

! ; 431 | pagnes , en Suisse, par Muret, ROC JE 0,852 ; proba-|

bilité plus forte ste les précédentes.

110. On clierche encore quelle est la durée de la vie probable, à un âge donné; on entend-par cette! durée le nombre d’années après lequel la probabili é d’exister et celle de ne pas exister sont les mêmes, @l par conséquent égales à :. Ilest évident que, cela a lié lorsque le nombre des personnes de l’âge. dont on part est réduit à la moitié de ce qu ’ikétait. Si l’on cherche ce terme, à compter de la naissance, on trouvera qu'à Paris, il tombe entre 8 et 9 ans co les Tables de Dupré de Saint-Maur); à Londres, un peu avant 3 ans; à Vienne, un peu avant 2; un peu après à Ber: lin; mais que ce terme est bien Un éloigné dans les campagnes. La Table de l’Annuaire, moyenne pour! toute la France, le place entre 20 et 21 ans; celle d’Angleterre , entre 27 et 28 ; celle de Hfandebourg sl entre 25 et 26; celle de Suisse, à 4r ans. Cette prodis gieuse dFécente entre les campagnes et la ville, ne

saurait être attribuée qu'aux suites de l’extrème misère,

à la malpropreté, au resserrement des demeures ét à linsalubrité qui en est la conséquence, dans les capi- | tales. À Montpellier, ville dont la population est d’en— | viron 32000. individus, et dont on regarde le séjour comme très sain, le terme dont il s’agit n’est cependant placé que vers 6 ans.

L'âge de {o ans étant assez ordinairement celui où Vétat d’un homme est fait, où il commence à jouir du fruit de ses premiers travaux ,» On peut être curieux de connaître la vie probable qui s’y rapporte. Les Tables citées précédemment donnent » à Paris, plus de 21 ans; en France, terme moyen, 23; à Londres, 18; à Vienne, plus de 19; à Berlin, de même ; en Suisse, près de 25. | |

La plupart de ces Tables ne s'étendent guère au-delà de 90 ans, que l’on doit regarder comme l'extrême Mieillesse, puisqu'il est très rare, non-seulement de passer cet âge, mais de l’atteindre, Le rapport du nombre d'individus de cet âge, à celui des naissances, sera la mesure de la longévité, dans le lieu pour lequ la Table a été construite. La Table de l’Annuarre

donne pour la France vite

- —0,0038; celle de Lon- 100C0 4 CET

Idres, === 0,0020 ; cellede Vienne, —0,0020 ; 1518 1495 |

celle de Berlin, x Too; et celle de Suisse, 0,0090 ;

cette dernière probabilité, plus forte que les autres, est encore surpassée par celle qu’offre la Table calculée var Gorsuch , sur les registres de quelques paroisses de campagnes, en Angleterre, et qui est de 0,0070.

’ On ne doit pas encore trop compter sur ces ré sultats, parce que le nombre des observations qui se

108 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE rapportent aux derniers âges est très petit, Les Tables de Kerseboom, dressées sur les décès des rentiers’ via-

gers de Hollande, et celles que Deparcieux a déduités |

des registres des at de France, quoique se rap portant à des classes d'individus chose, ne s'étendent

pas Je à 100 ans; la première donne , pour l’âge de |

90 dns, ni — 0,0971 ; la seconde, o,o110 pour par- |

venir, depuis l’âge de 3 ans, à celui de 90:

Price dit que la probabilité de parvenir à 60 ans est

= dans le Pays de Vaud, +75 en Brandebourg, à

à Vienne (æ).

re Breslaw, à Berlin ; Ve Londres, es 37 4o 41 |

111. Dans les Tables dont je viens de faire usage , les sexes sont confondus ; cependant l’ordre de mortalité n’est pas le mème pour tous deux ; il varie encore : suivant les professions et d’autres circonstances dont on | constaterait l’effet, en séparant les décès en classes relatives à chacune de ces circonstances. C’est ce que l’on, a commencé de faire, depuis qu’ on a reconnu l’ utilité de ce genre LR A Ron mais les données manquent très souvent sur les actes He décès; et quand on les y. trouve, le travail du classement HÉRAS trop considé- | rable net il faut le recommencer sous divers points de vue. On labrégerait beaucoup, si l’on faisait les relevés dans la forme imgénieuse imaginée par Condor= cet, pour enregistrer des faits ou désigner des objets par une combinaison de caractères qui en indiquent les principales propriétés (**). 7

(*) Tom, Ier des Mémoires présentés à l'Institut, etc., p. 7. (a Voyez ses Ælémens du Calcul des He) SEE p. 31. Si

eette forme, dans l'explication de laquelle 11 na peut-être pas mis

DES PROBABILITÉS. 19g

Quand on ne veut que saisir la marche des résultats, il est commode desubstituer aux Tables des figures où : les nombres soient représentés par des lignes ou des espaces ; ces signes naturels de la grandeur, la rendant sensible à l’œil, en peignent immédiatement les variations. Telle est la propriété des courbes de mortalité. C’est ainsi qu’on nomme celles qui se construisent en élevant, sur uneligne divisée en autant de parties égales qu’il y a d'années dans la plus longue vie, des pér- | pendiculaires proportionnelles aux nombres d'individus existans à chaque âge. La 1°° figure offre ainsi la comparaison de trois Tables de mortalité, et la figure 2, donnée par M. Duvillard, dans ses Recherches sur les emprunts, fait voir la différence que celle des sexes apporte dans la mortalité observée à Genève.

112. Comme toute courbe continue peut être re- ‘présentée par une équation, quelques géomètres ont cherché à obtenir celle des courbes de mortalité, en liant par une formule algébrique, tous les nombres insérés dans une Table de mortalité. Lambert a trouvé que l'équation |

Y = 10000 PE) 6156 {e 30 , fn} |

représenterait très bien la Table construite sur les registres de Londres ; et, par analogie, M. Duvillard a, proposé d'employer en général l’équation

assez de clarté, eût été bien saisie et appliquée par quelque naturaliste, je ne doute pas qu’elle n’eùt été bientôt adoptée, etqu’il n’en A , a .

fût résulté beaucoup d'avantages, sans compter celui de l'extrême p,a L 1 « LU . brièveté. C’est une espèce de Dictionnaire où lon peut trouver les mots par un assez grand nombre de clefs.

A laquelle ge ae À le nombre des individus de l’âge de x, N lenombre total des naissances, 4 l’âge le plus avancé de la Table , e la base des logarithmes né— périens , m, k et n des rarehs qu’on détermine pour chaque Table en particulier (À,

C’est dans les premières années que la marche des Tables paraît plus irrégulière ; mais bientôt le nombre annuel des morts devient constant, pendant un intervalle de temps plus ou moins et PA La Table de Breslaw » par exemple, donne 6 décès par an, depuis 12 ans jusqu’à 22, 7 de 22 à 30, ete. , et POIL ainsi se partager en progressions par différence. Moivre a trouvé que, sans trop s’écarter de la vérité, on pouvait n’établir qu’une seule progression depuis Pâge de 22 ans jusqu’à celui de 86, auquel il a placé le dernier terme de la vie; regardant les âges plus avancés comme des cas trop rares, pour qu’il soit nécessaire d’en tenir compte. Cette progression, ayant pour différence l’u= nité, et se réduisant à zér6 à 86 ans, donne pour les

GX pu

(*) Voyez M rcrage, ctc., de Lambert, t. III, p. 483, et les Recherches sur les emprunts, par M. Duvillard, p. 8, note; mais je dois faire PF que dans la première des expressions de y rapportées nn on ylit

Ar Ar

KT 4 x x 31,082 7 13,682

au lieu de e

Cette - faute a été reconnue par Lambert, dans une lettre que les PP. Roberto Gaeta et Gregorio Fontana ont insérée à la p. lv) du Discours préliminaire de l'ouvrage qu’ils ont publié en 1776, sous. le titre de La Dottrina degli azzardi, etc.

DES PROBABILITÉS.. 201 âges précédens un nombre d'individus égal à l'excès de 86. ans sur chacun de ces âges, excès que Moivre appelle complément de vie: À Vâge de 5o ans, par exemple , le nombre des. vivans est 36, la probabilité. de

vivre I an, et celle d’en vivre 10, Es De cette lé: résulte la formule très simple y — 86 tp (. |

113. Après avoir considéré les questions qui se résolvent presqu’à vue, au moyen des Tables de mortalité, je passe à celles qui demandent plus de calcul. La première dont je m’occuperai est la recherche de la vie moyenne. L'idée paraît en être venue d’abord à Nicolas Bernoulli, en appliquant à la durée de la vie, la formule de l'espérance mathématique , admise pour l’évaluation pécuniaire des hasards (65 et 70) (**). Puisque chaque individu pris en particulier peutseflatter de parvenir à l’âge le plus avancé, l’espérance qu’il a sur toutes les années qui doivent s’écouler jusqu’à cet âge, se mesurera en multipliant leur nombre par la probabilité d’y arriver.

Je prendrai un exemple dans la Table dressée par Deparcieux. On y trouve qu'aux âges

87, 88, 89, 90, 91, 92, 93; 94» 9 ; années , il reste 29, 22, 16,11, 7, 4, 2, 1, 0,

individus ; et à cause que les décès ont Téu: : à diverses époques à l’année, on prend le milieu de l'année

‘) Voyez le Treatise of annuities qui suit la Doctrine of chances. *

(**) Actorum eruditorum supplementa, t. IV, p. 159.

; ae h

pour leur époque commune, Dans cette hypothèse, la différence 7 entre les nombres d'individus existans à 87 et à 88 ans, indiquant ceux qui sont morts dans cette année, ne leur assigne que 6 mois ou une + année de vie; et en continuant sur ce pied, on trouvera qu'aux durées

années, répondent 76, 9» 4: a Da ptits

individus. Cela posé, l’un quelconque des 29 individus de l’âge de 87 ans pouvant se trouver dans l’un quelconque des groupes ci-dessus, aura pour atteindre les durées correspondantes , les drobabilités

ni pee sd A 1e oise ah.

multipliant donc ces fractions par les durées correspon-

’ ! hd I dantes, et ajoutant les produits. ‘on aura — 2 ans ; ] ,

8 mois, pour l’espérance de vie, à l’âge de 87 ans. La partie de l’opération ci-dessus, dans laquelle on multiplie d’abord les nombres 7, 6, etc. , par les frac-

" 172 tions correspondantes —, > etc. et l’on ajoute les pro-

duits, revient évidemment à calculer la durée collecüve de l'existence des individus de chaque groupe;

h. : 155 4 ll et en divisant le résultat par lé nombré 29 des

individus , on répartit également cette durée à chacun, Si l’on substitue aux nombres 7, 6,-etc., les ex-

DES PROBABILITÉS. 203 pressions équivalentes 29— 22, 22 — 16, etc., etqu'on ne fasse qu’indiquer les multiplications par les du-

Lou 713 WE ; rées —, —,etc., la somme des produits sera repré- 2° 2

sentée par 4 s 2 16 à 6 5 (29—22) +: (0 10) + sr HT D4+Î(1—4) +24 —0) + En +264 —0),

ce qui se réduit aisément à

2.29 +224 1641147 +448 +247, et il ne reste plus qu’à diviser par 29 la somme des ermes, à partir de 22, nombre d’individus correspondant à 88 ans, puis ajouter À au quotient.

Cette règle, indiquée par Deparcieux , est générale, en sorte que si a, a’, a”, a”, a”” désignent les nombres d'individus vivans à des âges consécutifs (a”” étant le dernier de la Table), 7 la vie moyenne, à partir de l’âge correspondant au premier nombre a, et 7”, à partir de l’âge 4’, on aura

/ ( " U47 (2 m LA dd et NN usgent)

ürant de la seconde expression la valeur de a"+a"+a"", pour la substituer dans la première, il viendra

Le Le ARE , re +5 (+5)

204 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE formule qui, faisant trouver aisément # par 7”, serait commode pour calculer les vies moyennes cor-

respondantes aux divers Âges, en commençant par le plus avancé (*).

114. C’est par la durée de la vie moyenne que lon compare, sous le rapport de la vitalité, les âges, les lieux et les époques. En France, on trouve pour cette durée, à partir de la naissance, 28 ans 9 mois (suivant. la Table de l'Annuaire); à Londres, 17 ans 11 mois; à Vienne, 15 anso mois; à Berlin, 17 ans 1 Mois; et en Suisse, 37 ans 1 mois.

Les sexes offrent aussi à cèt égard une différence assez considérable. M. Mourgue a trouvé, d’après 21 ans d'observations, qu’à Montpellier, la vie moyenne, à partir de la naissance, était de 26 ans 3 mois et 20 jours, en prenant collectivement les deux sexes; mais qu’en les distinguant, celle des hommes était de 24 ans 3 mois et 15 jours, et celle des femmes, de 28 ans 3 mois et 28 jours (**).

Ce n’est qu'après avoir passé les dangers de la première enfance, qu’on arrive à la plus longue espérance de vie. L’äge auquel correspond cette éspérance, ou à partir duquel la vie moyenne a la plus grande durée, varie suivant les lieux , et indique ainsi l’époque de la vie que le pays, ou les autres circonstances caractéris-

(*) La formule ci-dessus est tirée de la Théorie analytique des

Probabilités, p. 4rr.

(**) Mémoires présentés à la première Classe dette par des S'avans étrangers, t. Ier, p. 71—72.

Pour se procurer un grand nombre de tables de mortalité, il or compulser les ouvrages concernant les rentes viagères, les assurances sur la vie, etc. , et particulièrement The Doctrine of life annui-

ties A assurances, by Francis Baily, Traité qui a déjà eu plusieurs éditions.

tiques de la Table, favorisent le plus. En France, la Table de l'Annuaire donne, pour ce maximum, 43 ans 5 mois, et le place à 5 ans; celui de la vie probable y du de 4 ans 8 mois, ‘et se trouve 1 an plus tôt. , Les observations sur la mortalité ne remontent pas assez haut pour qu’on puisse comparer les temps un peu anciens avec Le temps présent. Il paraît cependant probable que les progrès des arts et des sciences, en “multipliant les commodités de la vie, en ont augmenté la durée moyenne; et la ville de Genève offre déjà quelques traits qui le pr ouvent. Au sérriètne siècle, la wie moyenne n’y était que de 18 ans! ; au dix-septième siècle, elle s'était élevée à 23 ; ; au M haitiome siècle, elle s’est accrue jusqu’à 32 ans :. Il en est de même pour la vie probable (110) : elle était seulement de 4 ans ? au seizième siècle ; de 11 au dix-septième , et surpassait 27 ans au dix-huitième siècle (*).

(*) Voyez dans la Bibliothèque britannique, t.IV, p. 328, un Mémoire de M. Hodier. Ces faits sont rapportés aussi par M. Malthus, dans son Essai sur Le principe de la populations) t. II, p. 3r de la traduction française.

Ils sont les seuls résultant d'observations connues ; Mais le Digeste, liv. XXXV, tit. II, (68, ad Lez gem falcidiam, nous offre un comméntaire dans lequel, pour évaluer le prix de la jouissance des “pensions (älimen$) qu’un testateur assigne À des légataires pendant la durée de leur vie, Ulpien indique les nombres ci-dessous :

Ages. 0, 20, 25, 30, 35, 4o, 41, 42, 43, 44, 45, Vie future. 30, 28, 25,.22, 20, 19, 18, 19, 16, 15, Ages. 45, 46, 47, 48, 49, 5o, 55, 60 et au-delà.

» Vie future. 14; 13; 14n$ r}% 10° 9727 6

| AI laisse ignorer d’ailleurs sur quoi sont fondées ces déterminations, qui ne paraissent pas très régulières. Cet exemple n’est pas le seul qu’on ait de l'utilité des résultats des

115. La Table de mortalité sert encore à déterminer la manière dont la population se compose par rapport aux âges. En supposant toujours que l’état de cette population soit stationnaire, c’est-à-dire que le nombre des naissances annuelles soit à très peu près égal à celui des décès , et constant, il suffit, pour trouver le nombre des individus existans dans un âge donné, de calculer par la Table de mortalité, combien , sur le nombre des individus qui naissent annuellement, il en doit rester à cet âge : ce sera le nombre demandé.. | | |

Si l’on prend le nombre de naissances marqué dans la Table, pour celui des naissances annuelles, et qu’on ajoute tous les nombres dé cette Table, on aura le montant de la population correspondante aux naissances et à l’ordre de mortalité qu’elle représente. Puis, si l’on retranche successivement de cette somme .le

nombre des naissances , celui des individus de 1 an, de 2 ans, etc. , le reste sa aq le nombre des individus compris depuis 1 an , 2 ans, etc., jusqu’au terme de. l’existence. C’est ainsi qu’a été formée la Table insérée dans l’ Annuaire, sous le titre de Lot de la population en France. Pour plus d’exactitude, d’après l’observation faite dans le n° 113, on prend; au lieu des nombres marqués pour UE année, | le milieu entre deux années consécutives ; afin de rapporter les décès à la demi-année, qui en est, l'époque moyenne.

probabilités dans la science du droit. La fixation du temps après le- 1 quel on doit présumer légalement la mort d’un absent qui a cessé de! donner de ses nouvelles, a été l’objet d’une thèse de Nicolas Bernoulli, insérée dans les Mbgorries eruditorum supplementa, t.IV,

p.159. Voyez aussi l’article ABsENT dans le Dictionnaire de ma-

thématiques de l'Encyclopédie méthodique.

Ce partage de la population, suivant les âges, est peut-être le résultat le plus important à considérer, dans l’estimation de la prospérité d’un état, si, comme M. Malthus paraît l’avoir prouvé, le nombre des naissances, augmentant beaucoup dès qu’il s’est fait un vide dans la population, même à la suite de fléaux destructéurs, n’est pas propre à faire juger des progrès de cette population et de sa force réelle. En effet, cette dernière tient au nombre d'individus dans la vigeueur de l’âge, et dont toutes les facultés sont développées autant que le permet l’état de la civilisation, secondé par'une bonne distribution des inoyens d’existence. Une nation parvenue à cet état doit l’emporter sur celle où il naîtrait plus d’enfans, dont la perte, très multipliée, se réparerait aussi très aisément; mais qui, par cette destruction prématurée, fournirait en norton moins de sujets pour l’âge adulte. Un ac-

| eroissement dans cette partie de la population n’est

qu'une charge pour l’état.

116. Les divers problèmes dont la solution est indiquée dans les n°° précédens, en supposant que la

population soit stationnaire, ont été traités par Euler,

en ayant égard aux chante qu’elle pourrait re-

cevoir, par la différence entre le nombre des naissances et celui des décès (*); je vais montrer comment on parvient à quelques-unes de ses formules, tant pour confirmer les principes posés dans lesn°* 108 et115, que

pour donner une idée de ce genre de recherches.

Soit P la population à une époque donnée , LV le nombre des naissances, 47 celui des morts, P”, N°, HW",

P", etc., les nombres analogues pour les années sui-

« (*) Mémoires de l’Académie de Berlin , année 1560, p.144.