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un nombre n d'observations étant assimilé au jet de n dés semblables, les erreurs dont peut être affectée la somme de ces observations seront exprimées par la somme des points que peuvent présenter les dés. Il suit de là et du n° 56, que cette somme pourra recevoir toutes les valeurs marquées par les exposans de x dans le développement du polynome

{ LH DT RTE DT LT JE + x + + +rtLr }

@— ne —

à me

(*) Mélanges de la Société de Turin ,t. V, p. 167. Vove Acta Acad. Petropolitanæ , t IIT, p. 280.

3° édition. 19

290 | YRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Le terime-aflecté de l’exposant zéro répondant au cas où toutes les erreurs se sont compensées dans la somme des, observations, son coefficient divisé par {11}, exprimera. la probabilité que cette somme est exacte, et qu’en la divisant par le nombre nr des ob= servations, On aura la vraie valeur de la quantité cher-

chée.

Si, awilieu de se borner au terme: dont l’exposant est 0,-on embrasse plusieurs autres termes, on en dé:

duira alors la probabilité que l'erreur de la sémme des observations est renfermée entre certaines limites. Ainsi, en réunissant les termes dont les exposans sont —2, —1, 0, +1,+2, on aura la probabilité que l'erreur de la somme des observations ne surpassera pas 2 sécondes, soit en plus, soit en moins; erreur qui, dans le résultat, étant divisée par n, sera com-

24 4% La prise entre les limites — — a À +5 1e:

Le développement du polynome M oue s’abrége beaucoup par le procédé du n° 56, Dans l'exemple ci-dessus, on a

art a) (ar ar

PO A rc 0 5 ne AT LT ES ne me À MÈUS n 12! ns —} ( == "are,

et il ne sera pas difficile de former le coefficient du

terre affecté de tel exposant qu’on voudra.

. Quand on assigne aux erreurs des probabilités FC. revient à supposer que chacune de ces erreurs est marquée sur un nombre de faces proportionnel à sa probabilité; en sorte que si l’on, suppose toutes ces probabilités réduites au même dénomina-

teur, et représentées par la lettre e, numérotée d’après.

DES PROBABILITÉS. 2U1 l'erreur à laquelle elle se rapporte, les chances d’erreur dans la somme des observations , seront données par les coefhiciens des puissances de x dans lé développement du polynome

(e 5x He x 4. . ex. …+erl+esx)" :

si le nombre des erreurs possibles est encore limité à 5.

On voit que par cette manière d’envisager la queston, la difhculté est tout entière dans la longueur des calculs , qui devient excessive dès que le nombre des erreurs possibles et l’exposant 7 sont considérables ; et c’est à diminuer cette difficulté que s’est attaché Lagrange dans le Mémoire cité.

Il a fait aussi plusieurs hypothèses sur les probabiz lités des'erreurs. En supposant, par exemple, les errêurs d'autant moins probables qu’elles sont plus grandes, et se. bornant toujours aux nombres dé l'exemple précédent, on pourrait prendre pour la lettre e la progression |

" “dy 2 AND, 4; GE 6, Je 4, 3 3 23 I;

en sorte que le polynome à développer serait

‘ (x TS 2 2ù T4 Æ Ba Lx 4 br + 6x° + 5x! Hart Bx + 22t + ny.

Quant au dénominateur commun des probabilités des erreurs, c’est évidemment la somme des nombres substitués aux €. |

Si ces probabilités ne formaient pas une progression symétrique comme la précédente, tant par rapport aux erreurs positives qu'aux négatives, il pourait arriver que le plus grand terme du développement ne serait pas affecté de x°, mais d’une autre puissance de x, dont l’exposant indiquerait alors l’erreur la

plus probabie dans la somme des observations, I faudrait donc: corriger cette erreur avant de diviser la somme donnée, ét le quotient obtenu ensuite serait: le résultat le plus probable.

162. Voilà à peu près toutes les notions élémentaires qu’on peut donner-sur ce sujet. Pour s'élever. au-delà il faudrait l’étendre heaucoup, et d’abord remarquer qu’une observation pouvant différer du vrai, par des intervalles aussi petits qu’on voudra , le nombre des erreurs à considérer, quoique assujetti à des limites finies, doit néanmoins être regardé comme infini, ce qui fait entrer cette recherche dans le ARS du Calcul intéoral. (7/07. la note III.) |

Ensuite, le plus souvent, les quantités à déterminer ne sont pas données mnédiatement par les oh— servations: elles doivent seulement êt , Que par certaines combinaisons avec des non de ntérieure— ment connus , elles représentent ces OPERA lions ; et si elles ne le font pas exactement, c’est qu’il y a erreur, soit dans Ces quantités, soit dans 1 °. obsérvations mêmes. Cette dernière circonstance fait que dans-le problème, ily a bien plus d'équations que-d’ineonnues; et la manière de les combiner, pour en obtenir le résultat qui a la plus grande probabilité, ainsi que de déterminer cette probabilité, dépendant de la forme de ceséquations, sort entièrement des limites de ce traité. Je dirai seulement que la règle la meilleure, celle de rendre un minimum la somme des quarrés des erreurs, où elles entrent dans leur entier, quel que soit leur signe, a été établie d’une manière très simple, par Legendre. Quant à l'évaluation de la probabilité du résultat auquel elle conduit, on la trouve dans la Théorie analytique des Probabilités, et dans un

DES PROBABILITÉS. 20 Mémoire où M. Plana a traité de nouveau ce sujet

avec beaucoup d’étendue et de clarté : M; Poisson s’en est aussi occupé depuis (*).

De l'évaluation morale des Probabilités.

163. Lorsque le calcul des probabilités est appliqué à des sujets qui intéressent notre fortune ou notre vie, des nombres abstraits paraissent peu propres à nous faire connaître l'importance que nous devons attacher à ses résultats. Mais si l’objet de ce calcul est de ramener, autant que faire se peut, nos impressions à une mesure exacte, 1l doit nous offrir aussi le moyen de trouver une impression équivalente à une mesure donnée. En effet, placés au milieu d’une foule de dangers que nous sommes obligés de braver soit pour notre intérêt ou pour notre plaisir, et sur lesquels l'habitude et l'opinion générale paraissent assez constantes, les probabilités oi ces dangers peuvent servir de termes de comparaison avec ceux qui ont été calculés et non encore éprouvés.

(*) Voyez d’abord Vouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, par Legendre, p. 72. Depuis la publication de ce Mémoire, M. Gauss, dans sa T'heoria motus corporum cœlestium, a déclaré qu’il était parvenu, de son côté, à cette règle. Voyez ensuite le chap. LV de la seconde partie de la Théorie anadytique des Probabilités, par Laplace; puis, dans les Heémaires

» «le l’Académie de Turin, ann. 1811—1812, celui de M. Plana, et dans la Connaissance des Tems pour 1827, celui de M. Pois- Von M. Gauss a publié sur cesujet un ouvrage spécial ayant

our titre : Z'heoria Pbmbinationis observationum minimis

“erroribus obnoxiæ; M. Fourier a aussi donné quelques règles ,

mais sans démonstration {voyez le Bulletin des Sciences, publié par M. de Ferussac, part. math., t. I[, p. 88), et M. Puissant a fait, aux résultats des opérations géodésiques, l’application dun calcul des probabilités. (Acad. des Sciences , t. X et XI.)

204 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE Pour uw intérêt assez modique, un homme prudent entreprend une traversée plus ou moins longue, sux mer, un passage difficile, par exemple celui du pont Saint-Esprit lorsqu’on ARArnA le Rhône en bateau, et une foule d’autres actions'assujetties à des risques divers. Si donc on avait des relevés exacts qui fissent connaître la proportion des accidens aux, succès, on en déduirait une échelle de probabilités, dont 1 valeur morale serait mesurée par l'importance ‘attachée aux, résolutions qu "exigent les entreprises dont ils’agit. On | pourrait aussi comprendre dans cette classe les risques pécuniaires auxquels se soumettent, dans: J’espoir d’un gain plus ou moins considérable, des hommes connus pour leur expérience et leur sagesse dans la conduite de leurs affaires; mais ces données manquant, on a tâché d’y suppléer par les Tables de … mortalité E). : * Buffon s’en est servi pour déterminer une limite au. dessous de laquelle toute probabilité devait être. FR %

gardée comme nulle (82) ; 4l fixa cette limite à == parce qu'aucun homme dans son bon sens, n’est frappé de la crainte de mourir dans lé jour, et que sur 10000 personnes il en meurt une dans cet intervalle. Daniel Bernoullr observa d’abord que Roux former cette valeur avec exactitude, il fallait n’y pas comprende les individus qui avaient une maladie ou des motifsconnus.

de nn. une > mort ter et Condorcet pere

dé terme de “A OHEE lorsqu'il s’agit d’une . nation Volontaire que d’ aiMeure ôn ne pouvais

(*) Essai sur La probabilité des Décisions. P- 225, et Dis-

: r | cours préliminaire, p. evij. de, £. VE à

DES PROBABILITÉS. 205 un très grand nombre, afin qu’il.y en eut pour les diverses spéculationsqu’on pouvait seproposer. Cette der-nière objection me paraît au fond la plus solide; car si nous nous habituons pour nous-mêmes au danger de mourir dans un intervalle de temps très court, nous, l’apprécions mieux’ à l’égard des autres, et nous faisons reposer des intérêts plus ou moins grands sur l’existence des personnes , d’après leur âge et l’état de leur santé.

En caleulant donc le risque de mourir dans l’intervalle d’un an, d’un mois, d’une semaine ,. d’un jour, d’une heure même, poûr des personnes bien portantes de différens âges, on formera sans peine l'échelle : dont nous avons parlé.

La Tabie dressée, par Deparcieux sur les indi-

vidus choisis (126), donne, à l’âge de 20 ans,.la pro- ; babilité

I ; environ — de mourir ir dans l'année, O4

d n re mois 1221 jt $ d 1 Mis die (+ semaine, 5291 A) N.# | ki 4 envir on dans Le jour | ENS e.. ul t == dans une heure:

| # Ces probabilités varient avec l’âge, mais par des dé à: nces qui sont d'autant moindres, que l’intervalle de emps est plus court. Prenant dans la même Table les 56 40 analogues pour l’âge de 5o ans, on trouxe

- 10 | | = dans unan, = dans une semaine, etc.

1% sg 7 581.52 à!

> aie # v,nr va LE

“dk

296 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE *Si l’on retranche de ces dernières celles ‘qui correspondent à l’âge de 20 ans, la différence sera la mesure de l’augmention que là âge apporte au risque de mourir pendant l’année, la semaine, etc., augmentation dont l’importance morale est fort petite; car un homme de 5o ans qui jouit d’une bonne santé, n’appréhende guère plus de mourir dans un intervalle très court; qu’un jeune homme de 20 ans. Ce genre de probabilités était celui que Condorcet proposait de préférence, comme pouvant servir de terme de comparaison. Au reste ce ne sont encore là que des vues qu'il ne faut pas trop restreindre; car. il est évident que le sujet ne saurait admettre des nuances bien délicates, et que le but est rempli quand on a offert à l'imagination un rapprochement qu'elle peut saisir.

Résumé général.

164. Dans les Notions préliminaires formant le premier paragraphe de ce Traité, j’ai tâché de faire sortir … celle de la probabilité, des habitudes mêmes de notre entendement, et de montrer que, reposant par sa nature sér une énumération , elle pouvait être susceptible de se prêter au calcul, au moins ‘dans un orand nombre de Cas. Après avoir parcouru lés plus importans , il me paraît utile de résumer les circonstances remarquables qu'ils nous out offertes, comme devant

compléter le Tableau de la science, déjà ébauché en. à parlant de son origine. ‘ +

Déterminer le rapport du noinbre des chances N. amènent un évènement , au nombre total des chances qui peuvent arriver, en descendant jusqu’à celles qui sont également possibles : tel est le problème à résoudre quand les évènemens sont produits par des con

binaisons dont les élémens sont donnés, et dont lemode est connu, ce. qui est le cas. des jeux ; et l’on sent qu'alors le calcul doit souvent rectifier les simples aperçus du bon sens, qui ne peut pas suivre le détail des combinaisons, lorsqu’elles se multiplient et se compliquent au-delà d’un certain terme. Aussi ayons-nous donné plusieurs exemples d’erreurs remarquables (19, 4, 46).

Le penchant qui nous fait attendre avec plus de confiance l’arrivée de l’évènement par rapport auquel nous pouvons répéter plus Souvent le jugement de possibilité que le jugement contraire (5), ne serait, dans le cas qui nous occupé, qu’une illusion, si la théorie mathématique dés combinaisons ne montrait pas que le nombre de celles qui sont favorables à ce penchant, augmente à mesure qu’on embrasse un plus grand nombre d’épreuves (33), et qu’elles conduisent à des probabilités dont la grandeur frappe également tous les esprits; en sorte que le temps donnerait aux plus grossiers la preuve de ce qui ne peut d’abord être saisi que par une sagacité très exercée : et de là se déduit le petit nombre de propositions suffisantes pour fonder les motifs qui nous font croire à la probabilité (39; fo) (*).

Cette même propriété de la répétition des épreuves conduit à l’évaluation pécuniaire des évènemens aléatoires, et mettant en évidence les suites que doit avoir nécessairement à la longue, la plus petite inégalité dans le sort des joueurs, dès qu'elle est constante (69),

(*) Le fond de ces diverses propositionsiest renfermé dans ce juge: ment de Gibbon. « Les lois de La probabilité si vraies'en général, » sitrompeuses en particulier. » ( Mémoires de Gibbon at Ier, p. 261—262 de la traduction française. )

208 TRAITÉ ÉÉÉMENTAIRE

montre combien il est imprudent de se-livrer au jeu quand on y a du désavantage , et même de risquer des sommes un peu considérables, quand le jeu est épal, parce que dans une longue suite de parties, il devient de plus en plus problable que l’un des joueurs éprouvera une perte surpassant telle somme qu’on voudra (71).

165. Ce n’est pas pour les seuls éyènemens que nous pouvons voir sortir des combinaisons qui les produisent,, que la probabilité acquiert du crédit sur notre. esprit : elle opère de mème à l’égard de. la répétition des faits dont l’origine nous est totalement in connue. En assimilant la production de ces faits au jet d’un dé, .au tirage de numéros pris au hasard dans une urne, on doit en effet conclure du théorème de Jacques Bernoulli (34) que, si des observations multipliées manifestent, dans la succession

des divers évènemens ; des rapports renfermés entre |

des limites peu distantes , ces rapports indiquent à peu près les probabilités simples d’après lesquelles

on peut conjecturer sur l’avenir. Le sentiment de la a

constance des lois de la nature ,, mspiré .de bonne heure, par l'immense répétition. des mêmes succes=,

sions dans le plus grand nombre des faits qui se pas= sent sous nos yeux, avait conduit à cet aperçu; mais il n’était pas inutile, ce me semble, de le voir sortir aussi du développement dés combinaisons mathématiques, et, ce qui est encore plus remarquable, de l'obtenir comme le terme moyen du nombre infini d’hypothèses qu’on peut faire sur la possibilité des évènemens dont les causes sont tout-à-fait ignorées (87, 93).

C’est sous cette dernière forme qu “lest bien circonscrit,

qu'on reconnait les bornes où il faut le renfermér,

et comment ‘l'assurance diminue à mesure que l’é-

tendue de l'avenir augmente par rapport à ‘celle, du passé (01). 8 dÀ 1

La fréquente succession des mêmes faits, qui mène à l'idée d’une liaison nécessaire entre eux, étant soumise au calcul, donne une mesure de la pra bAE Us de cette Laon. et. montre jusqu’à quel point on . peut y compter, quand même on n’aurait pas d’aut tres motifs de l’établir (104 ,. 105). Cette théorie mérite quelque attention, puisqu'elle offre un moyen très spécieux de réfuter les excès du scepticisme, sans recourir à ces principes posés à priori, et tout au moins aussi douteux et aussi obscurs Es ce qu’on veut prouver par leur secours, ”

166. La détéréiration des probabilités, par le nombre et le mode des combinaisons , le même problème , lorsqu'on n’a pour données que l'observation des évènemens passés, enfin la détermination de la probabilité de l'existence des causes, ou. pour parler plus exactement, des tendances ttes à la production des évènemens qui sont plus répétés que d’autres, sont donc des questions dont la solution n’est pas seulement curieuse comme pouvant exiger beaucoup de, science de calcul, mais encore comme donnant des fondémens plus DAitE aux principes généraux dé l’art de conjecturer (*).

(*) La dernière de ces questiôns, considérée en général, a bien

Pimportance qu’on lui attribue ici, mais non pas dans toutes ses applications. La connaissance de la valeur DEFF de Ja prpbabaiaé que des effets sont dns à une cause plutôt qu ’au hasard , n’appre-

nant rien sur la nature de cette cause, Pop bien loin 2: répondre par son utilité, à 1 appareil dé calcul qu’exige très souvent sa détermination. Quand la répétion dés faits, ou et constance est suffisamment constatée par les moyens les plus simples , on essaie de les her par des hypothèses; et l’histoire des sciences prouve qu’on marche à cet égard du simple au composé, en suivant l’ordre des

«167. Pour appliquer cet art, il faut des données ; et suivant leur nature elles seront susceptibles ou non de se prêter au calcul. Celles de la première espèce ne manquent point dans les jeux, où élles se tirent des conventions établies et de la forme des instrumens aléatoires. Dans les autres applications, ce sont des faits qui n’ont encore été recueillis que d’une manière très incomplète, et pour certaines classes seulement. La principale, celle des faits concernant la durée de la vie humaïne, a fourni d’utiles spéculations, et d’autant plus sûres, qu’elles ont été appuyées sur les élémens plutôt observés que ‘conclus; car, ainsi qu’on l’a vu plusieurs fois dans le cours de cet Ouvrage, c’est par les hypothèses imaginées pour suppléer aux observations immédiates, que l'erreur s’introduit dans le calcul. Les questions qui s’y montrent le. plus rebelles sont , sans contredit, celles qui tiennent à la volonté des hommes ; mais cependant nos actions ont des conséquences aussi nécessaires que celles de toutes les autres forces

de la nature, et laissent des traces qui, scrupuleuse-

ment examinées , discutées et énumérées, fournissent à posteriori une mesure de la valeur de ces actions. Si, par rapport aux témoignages, aux jugemens, les passions se jouent du calcul, leurs effets bien observésen préciseraienttoute l’influence beaucoup mieux que les déclamations auxquelles on peut aisément, avec de bonnes intentions et peu de lumières, se livrer sur un sujet tant rebattu (*).

RL A AL 7 IR CE PR RU EE LL apparences, qu’on prend d’abord ce qu’on voit pour ce qui est, et qu’on rapporte les formes et les effets nouveaux à ceux qui semblent les plus répétés. it

(*) En exemple de ce grand fait, on peut citer les Comptes genéraux de l'Administration de La Justice criminelle, publiés

À lt +

Ainsi ne nous lassons pas de répéter, avec tous ceux qui désirent sincèrement les progrès de la civilisation , qu’il en faut toujours revenir aux faits; que tout, à la longue, peut se compter, se mesurer, et par conséquent être soustrait, au moins en grande partie., à l’empire de l’imagination; maïs disons aussi qu'on ne saurait atteindre ce point si désirable, qu’en mettant la plus grande rigueur et le plus grand détail dans la classification des faits, afin d’éviter ces associations irréfléchies et inexactes qui chargent les meilleurs principes, de conséquences odieuses toutà-fait étrangères à ces principes, comme on pour-— rait le prouver, non-seulement par des discussions raisonnées, mais en montrant par les faits que les mêmes conséquences ont pu être tout aussi légitimement attribuées aux principes les plus opposés.

Enfin, quand les faits manquent ou ne sont pas con— *

en France depuis 1825. On y voit, dans les rapports des divers genres de crimes, classés suivant les sexes, les âges, les localités, etc., une constance déjà bien marquée:, offrant des résultats curieux et peut-être utiles. (/’oyez, d’une part, les recherches de » M. Quetelet, dans les Mémoires de l’Académie de Bruxelles, Le. VIF, et dans la Revue encyclopédique, mars 1833 ; et de l’au- Re. l’Essai sur la Statistique morale de La France, par M. Guerry.)

En général, depuis quelques années, la comparaison des phénomènes sociaux a pris un développement très considérable, MM. Benoiston de Châteauneuf, Charles Dupin, Quetelet, Villermé et d’autrés ont dépouillé, sous.de nouveaux points de vue, les registres de l’état-civil, de la conscription , des écoles, les états de consommation, et en ont tiré des conséquences intéressantes. Si l'on peut trouver que dans quelques-unes de ces comparaisons , le nombre des faits recueillis n’est pas encore assez considérable pour que les moyennes variant peu, les résultats aient une grande probabilité, les auteurs auront au moins le mérite incontestable d’avoir préparé à leurs, successeurs des cadres imporlans.

cluans, la discussion qu’il faut substituer aux mouve… mens d’un enthousiasme souvent factice, par lesquelson a égaré les hommes dans tous les sens, cette discus+ sion, dis-je, doit prendre des formes assez analogues à celles du calcul. Balancer des avantages et des incon= véniens, séparer des exceptions, fixer des limites, n’estce pas en effet une sorte de manière de compter? et quand l’affirmatif et le négatif se montrent au même degré, peut-on faire autrement que de rester dans le doute jusqu’à ce que de nouveaux faits l’aient dis= sipé? (*).

(*) ‘Franklin s'était fait, poar cette sorte de calcul, qu’il eppsluit Algèbre morale, une méthode qui revient, au 4 à ce qu’on a ait dans la note de la page 17, et qu ’il recommande au célèbre Priestley , dans les termes suivans :

« Je ne puis, dans l’affaice importante sur laquelle voas demandez mon avis, me permettre, faute de données suffisantes, d’influencer ,votre Taiaeone mais si cela vous est agréable, je vous apprendrai comment vous ATÉttres à predtices vous-même, à l’avenir, une décision. Dans le cas de ces hypothèses embarrassantes, d’où provient surtout la difficulté? De ce qu’alors même que nous les méditons le plus, toutes les raisons qu’on pourrait allégner pour on contre elles, ne se présentent pas d'abord à notre esprit. Une de ces raisons nous frappera dans un temps, bientôt nous la perdons de vue, et c’est alors une autre qui lui succède : de lX toutes ces incertitudes, ces alternatives, ces irrésolutions auxquelles nous sommes en proie; de là cette perplexité qui nous tourmente, Voici quelle est ma méthode pour parer à cet inconvénient : je divise en deux colonnes; par un trait, une feuille de papier; j’inscris en tête de l’une de ces colonnes le mot pour, et en tête de l’autre le mot contre. Après deux ou trois jours de réflexions, j'écris au-dessous de chacune de ces têtes , de petites notes sur les différentes raisons qui se présentent de temps à autre à mon imagination, pouret contre la mésure que jedois adopter. Lorsque enfin j’ai réuni sur ce petit méni0rial une masse suffisante de raisons contradictoires, je me mets en devoir de peser leurs valeurs respectives. Si je trouve que deux raisons (une de chaque côté) soient d’un même poids, je les élimine toutes les deux; qu’une raison pour égale deux raisons contre , jé

Le

supprime le tout ; que deux raisons contre égalent trois raisons pour, j'efface les cèng, et ainsi de suite, jusqu’à ce que je trouve enfin de quel côté demeure la balance. Après deux nouveaux jours de réflexions , si quelque arrière pensée importante n’est venue apporter de changement à ma balance, j'en fais V’arbitre de ma décision. Quoiqu’on ne puisse, à la rigueur, supputer et peser des raisons ensemble avec autant d’exactitude qu’on établit des quantités «lgébriques; cependant, quand , après avoir discuté séparément et comparativement chacune de ces raisons , j’en ai reproduit sous mes yeux toute la masse contradictoire, je pénse qu’il me devient plus facile d’asseoir un jugement et de prendre uné détermination : je me crois en même temps moins exposé à commettre des erreurs. Il est de fait que je n’ai retiré que de très grands avantages de cette espèce «d’équation, dans ce qu’on peut appeler une Æ/gebre morale. »

( Correspondance inédite e Franklin, lettre da 19 sept. 1552, à Priestley, t. I, p. 29, Paris. Janet père, 18197.)