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à a: S ï g'Y met add | püis Latéloppont les exposans de e, et faisant leur
somme, on trouve , après les rédions ;
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DES. PROBABILITÉS. jt et si l’on suppose le nombre 7’ assez petit par rapport aux nombres rm etrn, pour que son quarré seul puisse entrer en comparaison avec leurs premières puissances, on réduira cette expression aux termes : :
d’où ïl résulters enfin | "P
«n“Hn,.,
rs LE 4 Re arm T°
V 27rmrn 27TrImIt
expression qui donnera-une valeur approchée. du rapportentre le terme affecté de m'"+4" nn , et la puissance (m + nym+r, si l’on néglige la série exponentielle qui CO DOS le second facteur de l'expression proposée, et qu’on regarde g® comme comparable seulement aux premières puissances des nombres rm.et rn ET
Si l’on compare cette expréssion à celle du rapport entre le développement de. (m.+ n)"+#" et son plus grand terme (p. 307), on verra que
mm +n à
1 "#té F | e?7mn
est une expression approchée du quotient de ce plus. grand terme divisé par celui qui est affecté de... m4 niet SR AMONEN AL 72 — 18 an 17,2 rm + mn — 14000, d’où r = 406, g9 — E elle donne 44,7, valeur qui ne diffère pas SNA de celle
(*) Elle devient celle qu’on trouve p. 278 de la Théorie analytique des Probabilités, lorsqu'on y'changeé rm+rnenn,rm en. x,-rnen za*et q’ en [.
qu'a trouvée Nicolas Bernoulli dans l’endroit cité sur La page 176, et d’où il conclut que la somme des 163 termes qui précèdent le plus considérable.du développement de (m + n)4°% et des 163 qui le suivent, est au reste de ce développement, dans un TARDE AT grand que celui de 43,58 à 1.
On peut parvenir à ce résultat au moyen des re marques faites dans le n° 34; car si l’on conçoit que les groupes de termes formés. à partir de M, de L,etc., soient composés chacun d’un nombre g' de termes, et qu’on les représente par g, g’, g”, etc.; on aura
NON NO ALT AS A + TE NA 7 gp ge etc.
Si donc on fait pe = k , il viendra
afro < pen cf a et par conséquent g'+6"+8"+ ete. EE QUE pete ler ki
et céla, en quelque YÉGRe ue soient les groupes: donc enfin le groupe g sera à la somme de tous les autres, dan$-un rapport plus grand que À — 1:71.
8. On peut encore obtenir plus directement la valeur approchée du rapport entre le groupe de termes désigné par g, et la totalité du développement de (m+n}, en cherchant la somme des valeurs que prend l'expression
DES PROBABILITES. -. 39
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depuis g—0, jusqu’au nombte assigné pour sa plus grande valeur, au moyen de la série sommatoire donnée par Euler dans son Calcul différentiel, et qu’on trouve aussi aux endroits cités en note au bas de la page 304. Cette formule , qui est
ÉLUS +ou + LU 4 ete. A]
| | pers lorsqu'on y fait x—g, u —be
, donne.
— ag? , ,— ag? kr, —4ag® I] "aq" She” "T —bfe Ÿdg+2 be Ÿ —à bag'e + etc. ;
mais on peut se boïner aux deux premiers termes quand ba est fort petit, ainsi que cela a lieu pour à 1 osé, puisque
l’exemple proposé, p qu
a= b= ir —.
2rmn À 27rmn
En posant ae q va= = 4, on obtient Donne
Le :
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qu’il faut prendre depuis £—0 jusqu’à la plus grande valeur de +, et doubler, si l’on veut réunir le groupe qui précède le plus grand terme, à celui qui le suit; puis on y ajoutera cé terme. Dans la note IIT, je reviendrai sur l'intégrale mdiquée.
On peut tirer de ces formules une démonstration de la proposition du n° 34; mais celle deJ acques Bernoulli. paraît préférable, non-seulement PAF qu ’elle est élé- ” mentaire, mais encoré parce qu’on y voit mieux la marche de l’approximation que dans les calculs ci-déssus, fondés sur des séries qui ne sont point convergentes. dans toute leur étendue, et où l’on néglige beaucoup de quantités dont il ne kemble pas. fâcile d’ apprécier exactement l'influence sur le résultat.” |
En terminant cette note, je dois dire que la sommation de la partie moyenne des termes des puissances élevées du binome, a été ramenée à des intégrales définies, par Laplace, dans les Mémoires de l’Académie dés Sciences, ann. 1782, p: 60, et par Legendre, dans les Exercices de Calcul intégr al, V° partie, p 923.
Sur le n° 91, page 161.
