SL

Fig. G

\ Lei tt à la soutangente PT, ou le coeflicient différentiel re \ “A

exprimant la limite du rapport des changemens de l’ordonnée à ceux de l’abscisse, indique la tendance plus ou moins grande de cette courbe, dans chacun de ses points, à se rapprocher de l’axe des abscisses, et peut servir à mesurer, dans la courbe de mortalité, la tendance à mourir relative à chaque âge ; le rapport inverse, celui de P7'à PM ou dr mesurant l’effet con-

traire, pourra être appelé la vitalité de chaque âge. Sur le n° 127, page 228.

1°. Si l’on conçoit que la rente s se paie par portions égales à sdx, x désignant Le temps écoulé depuis l’origine du placement, qu’on représente par z la probabilité que l'individu qui l’a fait existera au bout du temps x, enfin que, pour abréger, on fasse 1 += g, la somme sdx, rapportée à l’origine de ce temps, et multipliée par la probabilité de la payer, deviendra

szdx $ zdx

d'où es):

et l'intégrale devra être prise depuis x—0, jusqu’à l’âge le plus avancé de la table de mortalité.

Ce qui précède suppose qu’on ait l’expression ana lytique de la Loi de mortalité, ou l’équation de la courbe qui représente cette Loi (112). Soit y —f(x) cette équation, y étant le nombre de vivans à l’âge x compté depuis la naissance ; pour transporter l’origine des x à l’âge a, il suflira d'écrire a + x, au lieu de +, ce qui donnera = f (a <+- x); or, le nombre

des vivans de l’âge a étant f(a) , on aura

__f(a+x) CMS dæf (a + x)

On peut laisser partir la variable x de la naissance, en écrivant seulement g®4, au lieu de g°, et la formule ci-dessus devient

dxf (x) Ta S=mf ee ASE | !

l'intégrale étant prise depuis x —a, jusqu’à la fin de la table de mortalité.

2°, Si la rente ne devait commencer à courir qu’un nombre 7. d’années après l’époque du placement, a étant l’âge auquel il s’est fait, la valeur du capital

serait encore = (x) TT f(a) Z—a ?

mais l’intégrale ne devrait commencer qu’à x —a<+n, parce qu'il faut en retrancher toute la partie qui précède le premier paiement de la rente.

L'application de ces expressions, soit à la formule de Lambert, soit à l'hypothèse de Moivre, rapportées dans le n° 112, est trop facile pour s’y arrêter: je me bornerai donc à faire observer que l'introduction de la loi de continuité, distribuant les décès et les paiemens sur

. tousles instans de l’âge, convient mieux que toute autre

hypothèse, au cas où le banquier s’engage à payer aux héritiers , la portion de rente échue depuis le décès du rentier; mais elle change un peu le produit de lintérèt de l’argent, parce que, dans la pratique, on n’obtient

je

ds er ju

340 TRAITÉ Ent d rate pas, pour de petits intervalles de temps, l’intérêt composé, mais l'intérêt simple.

3°. En substituant les différences aux différentielles, on mettra tel intervalle qu’ on voudra entre les paiemens ; car alors on pourra calculer ia somme de la suite des valeurs de l'expression

| . sf(x) y f(a)g®7*”

à partir de æ—a, en faisant croître x de la différence À assignée pour l'intervalle de deux paiemens. Gette somme dépend, comme on sait, de l’intégrale

1, Ê(X) sf(x) f(a) SRI ;

et l’on obtiendrait son AE par la série

sommatoire d’Euler, citée page 313, en y faisant. . :2 É

HE rs C’est à peu près ainsi que. Laplace

traite ce sujet dans la 7'’héorie analytique des Proba-

bilités, p. 426.

On pourrait aussi résoudre, par des constructions géometr iques, les questions relatives aux rentes, en combinant avec la courbe de mortalité, la logar ithmique, au moyen de laquelle on nes la marche de l’intérèt de l’argent : c’est ce qu’a fait M. Duvillard, dans ses. Recherches sur les Emprunts.

Sur le n° 154, page 256.

La formule de cet article revient à

frPdx(r — x) , frrdx(i — x) + fridx(i — x} ?

= ” , . . !, LA] les intégrales étant prises depuis x a jusqu'à x =:

" à C4 eux , LA a Ÿ < LEE. À . 1 k 7 ER uurée, 547 Da

Quanda—} et b=41, guinautighanger fxtdx(i — x) a"

en fxPdæ(1—x), pourvu qu'on prenne cette dernière depuis x—0 }j —}; car si l’on fait 2 | *$ zx—1—2, il vient FER we « er F

à do W. \ de Le La 1

fadr(r 2 =— fcda( —2)) NE »: PARNARR

entre les limites 2=;, 2—0; et par fzPdz(1 — 2) ou fxPdx(i — x}, lorsqu'on e limites, c’est-à-dire qu’on intèg re. dep jusqu'à x —#. TAPANT RE CAS SAP 1

Dans ce cas, le dénominateur de la pr diquée ci-dessus, devenant ia somme des val la même intégrale fx’dx(1—x}, prise d depuis x—!1 jusqu’à x=—1, et ensuite depuis #= jusqu’à x— }, est la même chose que l’intégra

A L'ur

tière , depuis x—o jusqu'à x —1 : la probabil dont il s’agit revient donc à AUS

faPdx(i — x) JePdx(i — x)

l'intégrale du numérateur étant prise depuis x =; - « ? L]

jus nl et celle du dénominateur, depuis x —o jusqu . C’est précisément l’expression que donne Laplas e 33 du Supplément qu'il vient d'ajouter

à sa 77 éorie analytique des Probabilités (en 1517), et qui n’avait pas encore paru lors de la première impression de l’article auquel se rapporte ce qui précède.

Sur le n° 162, page 202.

1°. Pour introduire la continuité dans les erreurs, il faut les représenter par une variable 4, ne recevant que des accroissemens infiniment petits. Observant en suite que le nombre des erreurs possibles étant infini

dans cette supposition, la probabilité de chacune de ces erreurs doit être infiniment petite , on pourra l’exprimer par ydt, y désignant une fonction donnée de t. Cela posé, le polynome indiqué dans le n° 161, sera remplacé par la somme des valeurs consécutives que prend la fonction yx'dt, lorsqu'on donne à x toutès lès valeurs comprises depuis 4—— a jusqu’à 4—b, si telles sont les limites assignées aux plus grandes erreurs possibles, négativement et positivement , ce qui revient à l’intégrale fyx'dt, prise entre les mêmes limites, par rapport à la variable 4, la quantité x étant d’ailleurs constante et indéterminée. \

Si n désigne toujours le nombre des observations, il faudra considérer le développement de la fonction (frx'dt)", ordonné suivant les puissances de x, et le terme affecté de x*, donnera la probabilité que z sera l'erreur de la somme des observations.

Si l’on ne veut assigner à cette erreur que des limites , ret s, considérant ici la valeur de z comme passant par tous les degrés de grandeur compris entre ces limites, il faudra multiplier par dz la probabilité trouvée, et intégrer entre les limites z=7r, z —s.

C’est ainsi que Lagrange a traité cette question dans le Mémoire cité page 289; ses dénominations sont a au lieu de x, x au lieu de {, ce qui donne la formule fra*dx (p. 225 du Mém. cité), du développement de

laquelle il s'était précédemment occupé.

2°. En reprenant ce sujet, dans la T'héorie analyique des Probabilités, Laplace a donné aux mêmes calculs une forme très élégante. D’abord il a substitué SA æV—1 à la quantité x du n° 160 l’exponentielle e ; qui change une puissance quelconque x" en

euæ Ÿ —1

ce

= cos Ma + V/—1sinmz,

DES PROBABILITÉS. 349 et donne pour Le cas où les erreurs, supposées également probables, sont les nombres entiers compris entre —n et +", j

COS(— 77)... .+cos( ==) +- cos 0+Cosx....-+Cos77 + —ifsin(—nr)...+4sin(—7)+#sin o+sinz...—+sinnz | = 14 2C0s7+-2C0$2@...—+ 200877 ;

alors le nombre des observations étant désigné par s, le terme indépendant de cos z dans le développement de

(1 +2cos x + 2005 27...4+ 2c0s 77)",

et divisé par 22 + 1, exprimera la probabilité que la somme des observations est exacte.

Ayant construit des formules pour obtenir par approximation les intégrales des fonctions de grands nombres , Laplace transforme en une intégrale le terme cherché, et voici comment. Si l’on effectuait le développement de la puissance indiquée, le résultat pourrait être mis sous la forme

A + À’ cosæ + 4"co0s 27 - etc. ; en le multipliant par dz et l’intégrant, on aurait Az + A' sin + :4"sin 27 - etc. ; et prenant l'intégrale entre les limites o et x (ce x désignant la demi-circonférence), tous les termes s’é-

vanouiraient à l’exception du premier qui donnerait Az : on a donc, entre les limites indiquées ,

A == fe (1 + 2 C0$7...+ 2 cos 77)".

Dans le Mémoire que j'ai cité, de M. Plana , il pose (1H 2cosz +...—Locosnz) —(onti)fe ©, et détermine ensuite la valeur de dZ, ce qui fait dé-

pendre de l'intégrale fe "di, la recherche de À.

C’est aussi à la recherche d’un terme indépendant de 7 qu'on ramène celle de la probabilité que la somme des erreurs des observations sera égale à une quautité donnée m, probabilité qui est le coefficient de x" dans le développement de l'expression

; (TT. HAT 1 ap ar)", Pour cela, 1l faut observer que ce développement contiendra deux termes affectés l’un de x", l’autre de x", et ayant le même coeflicient, qui deviendront imdépeudans de x lorsqu'ils seront multipliés le premier par x" et le second par x" ; que par conséquent si l’on multiplie le développement dont il s’asit, d’abord par x”, ensuite par æ7", et qu’on prenne la moitié de la somme des produits, le terme indépendant de x dans le résultat, sera lé terme cherché. Or, cette opération revient à multiplier ce même développement par

A CS emæV—1 Let Fans

————— “2 = © — ——— = COS MNT :

2 TU à 2

le terme cherché sera donc celui qui est indépendant de 7 dans le développement de

cosmaæ(1 + 2 cos ..…..—2 cos x)”, et par suite la valeur de l'intégrale fdz cos ma (1 + 2 cos x... 2 cos 17)",

prise entre les limites o et #.

C’est daus l'ouvrage de Laplace qu’il faut voir comment cette analyse s'étend au cas où les erreurs ont toutes les valeurs possibles entre leurs limites, avec une probabilité exprimée par une fonction de ces valeurs. Ilentre alors trois intégrations successives dans les formules ; mais ce qui précède suffit pour montrer à quel point ces recherches se compliquent ; aussi tien-

IN Ca

nent-elles beaucoup de place dans la Théorie analrtique des Probabilités, où, par des artifices d’analyse très remarquables, l’auteur est venu à bout, dans les corrections combinées, d’éliminer la probabilité des erreurs qui est inconnue, en supposant seulement qu’elle décroît avec une grande rapidité à mesure qu'il s’agit d’erreurs plus fortes, ce qui est très vraisemblable, puisque la perfection des instrumens et l’habileté des observateurs, rendent fort petites les différences entre les diverses déterminations de la même quantité.

3°, Enfin la recherche d’un milieu entre les observations, et celle des centres de gravité, ont une analogie qui ne doit pas être passée sous silence.

Il suit de ce qu’on a vu dans le n° 2.54 » que le plus grand terme du développement de l expression

(e: sa TS he ja Th... Her... + eçx4 5x5)" (61),

est celui dans lequel l’exposant n est partagé en parties

proportionnelles aux probabilités E 53 C4 3e.Co-...C4) C5»

c’est-à-dire que les exposans de chacune de ces lettres sont respectivement

ne 5, NE 4, ... NES, nez, ne5; celui de x sera par conséquent —ne 5;xX<5—ne,{>x<4...+nexo...t+ne xX4H4-nesx SE ;

et comme il exprime l'erreur la plus probable de la somme des observations, l’erreur de la moyenne sera

au —e53 X 5 —e; X NAS +e, X 0..-+e; X 4 + es XE,0 A) ?

c’est-à-dire la somme des diverses erreurs multipliées

respectivement par leur probabilité, ce qui exprime

aussi la valeur moyenne des erreurs. Mais si l’on re-

présente par a, b, c, etc. lenombre des cas qui amènent chaque erreur, et que les grandeurs de celles-ci soient P;9;r,etc., on aura pour l’erreur moyenne

ap bq

2 Dot (TRS DS. + Re __ap +0g<+ cr +.

DEAR APR en sorte que si, comme l’a remarqué Lagrange, on prend sur une droite, à partir de l’une de ses extrémités, des intervalles p, g, r,... à chacun desquels on suspende les poids a, b, c,... la valeur moyenne donnera la position du centre de gravité de ces poids.

Si l’on suppose que les observations soient susceptibles de toutes les erreurs possibles entre des limites données, et que la loi des probabilités de ces erreurs soit connue, on portera sur une ligne droite, prise pour axe, des abscisses qui marqueront les erreurs, on élevera des ordonnées proportionnelles à ieur probabilité, et l’abscisse du centre de gravité du segment de cette courbe compris entre les limites données, sera l'erreur moyenne ou la correction du milieu. Elle sera nulle si, la courbe étant symétrique pour les abscisses positives et néga— tives, le centre de gravité tombe sur l’axe des ordonnées. Ceci est entièrement semblable à ce qu’on a vu page 343, pour la détermination de l’âge moyen dans une population.

Ni 4 etc.