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pour la durée de la vie moyenne, à partir dé l’âge 4P.

Il suit de là, que si l'on construit sur l’ordonnée PM, fig. 5, un rectangle PMTS équivalent à l’aire curviligne PMB, la base PS indiquera le nombre cherché.

L’aire du segment de la courbe CB étant représentée en général par {ydx;, on a pour la durée de la vie moyenne l'expression analytique

frdx Try Si l’on y met pour y la valeur proposée par Lam-

bert (112), les intégrations à effectuer n’auront aucune dificulté.

3°. Ce qui précède fait bien voir comment la’ vie probable diffère de la vie moyenne : celle-ci n’est égale

à la première que quand la ligne de mortalité PMB devient droite, parce qu’alorsau point O,où OJ=;PM, les triangles BOI et MLI sont égaux ; ainsi le rec tangle MLOP est équivalent au triangle PMB. Je rapporterai ici, d’après M. Duvillard (*), la démonstration générale que Lambert a donnée de cette différence.

La ligne BP — x’ étant prise pour l’abscisse du point M, si l’on conçoit l’équation de la courbe CMB développée dans la forme

x = ay" + by" HE etc.,

on aura

PEL may"+ nby"+ HT m+i n+ tr

+ etc.

Cette intégrale étant nulle lorsque y—=0, n’à pas besoin de constante, et l’on en conclut pour la vie moyenne

DTA NN mar tante" LE re le FRS ILES oi

mais ON étant LPM= #}7y, il s'ensuit

BQ— ati 7)"+ (17) + ete, PQ=PB—BQ=—ay"| 1— a) (— m)+etc Lie , ET } 27 217

Cela posé, pour qu’on aitPO— PS, quel que soit y, il faut que

etc.,

{(*) Recherches sur Les Emprunts, p. BY.

d’ou il suit,

QU Lemon 4 HE mu Etc.

Mais chacune de ces équations ne donnant de valeurs réelles QUE M0 mr, n —0, R—1,1en.EmMn ployant l’une et l’autre de ces valeurs, on ne trouvera que x° = a + by, équation de la ligne droite.

4°, La manière dontla population se composesuivant les âges, ou la oi de la population, résulte aussi des constructions et des formules indiquées ci-dessus; car la somme de tous les nombres de la table, depuis un âge donné Æ4P jusqu’à la fin, est représentée par l'aire curviligne PMB, exprimée en nombres.

En effet, le nombre des naissances annuelles étant exprimé par V, si on les suppose également distribuées sur chaque instant de l’année, on aura

; à = Ndr,

dx pour celles qui répondent à l'instant dx ; dans les sui--

vans, le nombre des vivans étant réduit à y”, y", etc., on aura

Ndx.y’ ‘dx.y" Re CS TEA = yde telc Tr) e

et par conséquent Ndx + y'dx 4 y'dx + etc. — fydx.

Il suit de là, que l’ordonnée qui divise en deux parties égales l’aire ACB, indique l’âge au-dessous et au

dessus duquel sont comprises les deux moitiés de la population.

En appliquant cette remarque à la figure 1, on verra l’immense avantage que la population des campagnes de la Suisse a sur les deux autres, par rapport à cette circonstance.

5°. On peut demander encore quel est l'âge moyen de la population, c’est-à-dire celui qui s'obtient en divisant la somme des âges de tous les individus par le nombre de ces individus. Suivant cette définition, xy

étant la somme des âges de y individus de l’âge x,

il viendra, pour les âges x‘, x”, x", etc. l'ex

pression

BP LT LENS UN 2 TV +LTY +ry + etc.

S +g" +7" + etc.

Multipliant les deux termes par dx, et passant aux intégrales, le nombre cherché sera exprimé par la formule

les intégrales ayant pour limites celles des âges que l’on embrasse.

On voit qu’il est égal à l’abscisse du centre de gravité du segment de courbe correspondant à ces âges.

La différence entre l’âge moyen et la durée de la vie moyenne est facile à saisir lorsque la liynede mortalité est droite; car alors le centre de gravité est au tiers de AB, fig. 5, à partir du point 4, et la vie probable répond à la moitié.

6°. Le rapport de l'ordonnée d’une courbe PA, fig. 6;

Eig 1.

Fig.