CHAPITRE II. 5l

p — \/ r* — a /r0 | cos / cos /0 -f sin / sin /o cos ( x — x0) \ -+-r0\

On peut de cette équation tirer la valeur de — qui sera

de la forme

J=7 t ~+ —3-+ etc.

En substituant cette valeur dans lequation

Çd m

et comparant entre elles les deux valeurs de V, on trouvera

R, Ax=2— jBldm>^i k>=— (b% dm,

R4 A3 = — / Bj dm, etc.

Bi est égal à l'unité, dès lors, si l'on admet comme hypothèse fondamentale, que dans chaque partie appréciable d'un conducteur quelconque, comme aussi dans toute l'étendue de la terre, la quantité de fluide positif est égale à la quantité de fluide négatif, ce qui entraîne

l'équation \dm=.o, on trouvera k1=o1 et par consé-

quent le premier terme de la série convergente, qui donne Y , disparaîtra; on verra facilement que A, est donné par l'équation

R3 A, = «cos/-t- ùs'm /cos X -+- c sin /sin X, dans laquelle les coefficients

a = — / cos l0dm, b — — / sin l0 cos >.„ dm ,

C s= — / sin /0 sin \0 dm , VI. 2e partie. 33

5 I 4 THÉORIE MATHÉM. DES PHÉN. MAGNÉT. TERll.

sont , comme M. Gauss l'a montré dans l'ouvrage qui a pour titre Intensitds vis magnetictè\ page i3, les moments du magnétisme terrestre relatifs à trois axes rectangulaires, dont le premier serait l'axe même de la terre, le second et le troisième les deux rayons de l'écjuateur correspondant aux longitudes, o et go0. Nous pouvons supposer connue la forme générale des coefficients du développement de V et de — ; ces coefficients

P sont tous des fonctions rationnelles entières des quantités

cos /, sin /, cos X, sin "k ; A3, B3 du 2e degré, A4, B du

3e, etc. D'ailleurs les séries qui donnent - et V seront

P convergentes tant que 7' ne sera pas plus petit que R,

et à plus forte raison plus petit que le rayon d'une sphère qui renfermerait l'ensemble entier des parties magnétiques de la terre.

La fonction V, déterminée par l'équation V = — / —

vérifie nécessairement l'équation aux différentielles partielles

d*rV cl2 Y ,dV i d*Y

qui n'est qu'une transformation de l'équation bien connue

£v d*v dyv

~dx~* + dy* + dz\—°'

dans laquelle x, yy z ^sont les coordonnées rectangulaires du point /•, /, u. Si, dans cette équation différentielle, on substitue à V sa valeur, on trouvera que les coefficients A2, A3, A„ satisfont eux-mêmes à des équations aux différentielles partielles, dont la forme générale est

"U+OA^^+cei/^H-^^-^^o.