CHAPITRE II. 5ll

si Ton a égard à la valeur / Xtr//deT, cette équation

pourra se mettre sous la forme

sm I J 0 (

et deviendra l'expression analytique d'un théorème remarquable qu'on peut énoncer comme il suit :

Quand on commit pour un lieu quelconque de lu terre, lu eomposunte nord, de lu force magnétique liorizontale, ou celle des composantes de celle jorce qui, est dirigée siu\'unl le méridien, ou peut en conclure i/mnédiulcment lu composante est ou ouest de et Ile même force, ou lu composante dirigée Miicunt le cercle parallèle. En supposant de même que Y soit exprimée au moyen de / et de X, et représentant par U

l'intégrale / Y, dl, dans laquelle on regarde / comme

constant , on trouverait

^/(V+RU) dï - = °-

La fonction V + RU et par suite la quantité

(/(V+RU) dV

Rdl ~ dl ~~Xl

seront indépendantes de A, et l'on pourra poser

Le terme —rj ne différera de la composante X, que d'une quantité fonction de /, qui sera par conséquent la même

5l2 THÉORIE MATHÉM. DES PHÉN. MAGN. TERR.

pour tous les points d'un même parallèle, et qui sera déterminée dès que l'on connaîtra la force magnétique horizontale en un point de ce parallèle. Ces considérations nous conduisent à un second théorème non moins important que le premier : Si l'on connaît la composante est de la force magnétique en un point que/conque de la su/ face de la terre , et la composante nord de cette même force , pour tous les points d'une ligne quelconque , allant du pôle nord au pôle sud, on pourra déterminer immédiatement cette même composante nord pour tous les autres points du globe.

Si l'on voulait étendre ces conclusions à la force magnétique totale, et tenir compte de la composante verticale , il faudrait considérer V comme une fonction de trois coordonnées qui peuvent être i° la distance /• du point que l'on considère à la surface de la terre ; i° l'angle / compris entre le rayon /• et la partie nord de l'axe du monde; 3° l'angle \ que fait, avec un méridien fixe, le plan passant par les pôles et par le rayon /■. Supposons que la fonction V soit développée suivant les puissances ascendantes de R et les puissances descendantes de /', ou que l'on ait

V = -^— H - + —3-+ "74- + etc-

Les coefficients A,, A, A„ sont des fonctions de /et

de \. Pour mettre ren évidence les liaisons qui existent entre ces coefficients et la distribution du magnétisme dans l'intérieur de la terre, considérons un élément infiniment petit, dm, dont le centre de gravité ait pour coordonnées r„, /„, A0, et qui soit à la distance p du point dont les coordonnées sont/-, /, 1. On aura, comme nous l'avons dit,

, dm V = — / etc.

et de plus