M = CV

Si Ton mettait ce conducteur en communication avec le sol, il reviendrait à l'état neutre et sa décharge produirait un travail positif; réciproquement l'électrisation de ce conducteur a exigé une dépense égale de travail, qui s'est emmagasinée dans la charge à l'état d'énergie potentielle.

Pour augmenter la charge de rfM, il faudrait transporter de l'infini sur le conducteur cette quantité ^M d'électricité, ce qui exigerait le travail

dW = VrfM = ^(L\I.

Intégrons les deux membres depuis zéro jusqu'à M, nous aurons, pour valeur de l'énergie potentielle W correspondant à la charge M,

r« M» MV

par conséquent : L énergie d'un conducteur isolé et soustrait à toute influence électrique est égale à la moitié du produit de sa charge par son potentiel.

On peut généraliser ce théorème en considérant un système de conducteurs en équilibre Ai, As, ..., portant respectivement les charges Ml, M„ ..., avec les potentiels V,, Vi, ....

Désignons par M la somme des charges Mi, Mi, .... Si l'on produisait un nouvel état d'équilibre avec les charges Mi + diiij Mt + e/Mi, ..., ayant une somme égale à M + dti et correspondant aux potentiels Vi + rfVi, Vi + rfVi, ..., on aurait

V^ 4- dVt __ V< + dV, M + dM

d'où

On en déduit

dV,=:XidM.dV,^«dM, ...

dV, =^dM, ,(iV. = J.dM,, ...

Pour substituer le nouvel état d'équilibre au premier, il faudrait amener respectivement de l'infini sur chacun des conducteurs, supposé isolé et soustrait à toute influence, les charges additionnelles dMij (/Ml, ..., ce qui exigerait la dépense de travail

dW = Vj dMj 4- V, dM, + ... , OU, d'après les formules précédentes,

dW = M| dVj 4- M, dVj + . .

En prenant la moyenne de ces deux valeurs on trouve

dw = -i. d. [Mj V, + M, Vg + ... ].

Intégrons en faisant passer toutes les charges de zéro à leurs

valeurs Mi, Ms..., nous aurons :

W = "sr [^1 ^1 + ^« ^« + • • • ]•

Par conséquent : L'énergie totale d'un système de conducteurs en équilibre est égale à la demi-somme des produits obtenus en multipliant chaque masse par le potentiel cotrespondant.

Ce théorème aurait pu être énoncé immédiatement, en le considérant comme un corollaire de celui que nous avons démontré plus haut (n® 11) relativement à l'énergie potentielle d'un système quelconque de masses magnétiques ou électriques.

Les conducteurs électrisés seulement par influence, ayant chacun une charge totale nulle, donnent des produits nuls ; les conducteurs communiquant avec le sol, ayant chacun un potentiel nul, donnent également des produits nuls. Ces conducteurs influent néanmoins par leur présence en agissant sur les capacités électriques et, par conséquent, sur les potentiels des autres conducteurs.

SiHiroe éieet.7

60. Condensateurs. — On appelle condensateur un appareil composé de deux conducteurs fermés, séparés par un milieu non conducteur ou diélectrique de faible épaisseur. L'un d'eux, le collecteur (flg. 20), est mis en communication avec une source électrique tandis que Tautre, le condenseur, est mis en communication avec le sol.

Pour exposer la théorie de cet appareil, nous supposerons cous-

Fig. 20.

tante l'épaisseur e du diélectrique. La source électrique, mise temporairement en œuvre, a communiqué au collecteur une charge M répandue sur sa surface extérieure, en le portant au potentiel Y, Une charge — M (égale et de signe contraire) a été induite par le collecteur sur la surface interne du condenseur ; la charge M induite sur la surface extérieure s'est dégagée dans le sol, à cause de la communication métallique, et le potentiel du condenseur se trouve maintenu à zéro.

Désignons par C la capacité électrique du collecteur ^ ; nous aurons

Li — y .

Remarquons maintenant que la surface extérieure du collecteur et la surface interne du condenseur, supposées sensiblement parallèles, sont deux surfaces de niveau très voisines, ayant respectivement les potentiels V et zéro. Pour un point P du diélectrique, pris à la distance e de la surface interne du condenseur, la valeur du potentiel est sensiblement

La variation du potentiel, lorsque Ton passe du condenseur au point P, est, par conséquent, en remarquant que e est un élément dn de la normale en A

d'où l'on déduit

dV = — — V = — — V d«,

dy__V dn c

Or — -r- est la force électrique F au point P ; donc

* Cette capacité du collecteur, en présence du condenseur communiquant avec le sol, est toujours supérieure à la capacité G' de ce condenseur supposé infiniment éloigné de tout autre conducteur. On a donné le nom de force condeniante au

rapport -q .

Nous savons, d'autre part, qu'en désignant par a- la densité superficielle du condenseur au droit du point P, on a

F = 4tt j ; par conséquent

V = 4rae.

Cette formule montre que la densité cr est constante sur toute la surface interne du condenseur; en désignant par S cette surface, nous voyons que la charge totale M du collecteur a pour valeur

La valeur de la capacité électrique C du collecteur devient, par suite,

^"" V --4:re'

elle est proportionnelle à la surface de Fappareil et inversement proportionnelle à l'épaisseur du diélectrique.

Quant à Fénergie potentielle W du condensateur, elle se réduit à celle du collecteur, puisque le condenseur communique avec le sol ; on a donc

Par conséquent : V énergie potentielle d'un condensateur estpro^ portioîmelle au carré de m charge^ proportionnelle à sa surface et inversement proportionnelle à F épaisseur du diélectrique.

Cette énergie potentielle se dépense dans une décharge brusque, accompagnée d'une forte étincelle, si Ton fait communiquer les deux armatures (condenseur et collecteur) au moyen d'un arc métallique qu'on appelle un excitateur.

61. Batteries électriques. — Avec n condensateurs, ordinairement tous identiques (soit, par exemple, des bouteilles de Leyde), on peut former une batterie électrique^ en les attelant soit en surface 6oit en cascade.

Dans la batterie en surface, on fait communiquer entre elles toutes

les armatures intérieures (collecteurs) et Ton met toutes les armatures extérieures (condenseurs) en communication avec le sol. Chaque bouteille de Leyde constituant un conducteur fermé qui contient à l'intérieur seulement des masses électriques et reste sans action à Textérieur, aucune influence ne s'exerce entre les éléments de la batterie. Une source extérieure, temporairement mise en œuvre, communique à chacune des armatures intérieures une charge M en la portant au potentiel Y. En désignant par

la capacité de chaque bouteille de Leyde, la capacité totale de la batterie en surface est exprimée par le produit

Par conséquent : La capacité totale (Tune batterie en surface est proportionnelle au nombre des condensateurs qui la composent. L'énergie potentielle correspondante est

W = ^ MV = 1 QV,

« en désignant par Q = n M la charge totale.

Dans la batterie en cascade, larmature extérieure de la première bouteille communique avec Tarmature intérieure de la seconde, Tarmature extérieure de celle-ci avec Tarmature intérieure de la troisième, et ainsi de suite. L'armature extérieure de la dernière bouteille communique avec le sol. Mettons temporairement l'armature intérieure de la première bouteille en communication avec une source d'électricité qui lui donnera la charge M et la portera au potentiel V.

L armature extérieure de la première bouteille et l'armature intérieure de la seconde, constituent, avec le fil conducteur de capacité négligeable qui les unit, un conducteur isolé qui s'électrise par influence ; comme la partie formée par la première armature extérieure a reçu par induction la charge — M, la partie for» mée par la seconde armature intérieure prend la charge + M ;

toutes les deux sont portées au potentiel Y^ Un raisonnement analogue à celui que nous avons fait au sujet d'un condensateur unique (n^ 60) nous conduirait à la formule