CHAPITRE II

MESURE DES POTENTIELS ÉLECTROSTATIQUES

Electroscope. — Ëlectromètre absolu. — Electromëtre à quadrants. — VoUmètre

électrostatique.

108. Electroscope. — Supposons qu'un conducteur en équilibre présente une densité électrique variable d'un point à un autre de sa surface ; il en est notamment ainsi lorsque ce conducteur présente la forme 4'un ellipsoïde allongé. Plaçons un electroscope à feuilles d'or assez loin de ce conducteur pour qu'il puisse être considéré comme soustrait à son influence. Attachons au bouton de l'électroscope un fil long et fin dont l'extrémité libre pourra être mise en contact avec un point quelconque de la surface du condensateur. L'écarlement des feuilles d'or sera constant quel que soit le point touché par le fil ; il sera par conséquent indépendant de la grandeur et du signe de la densité superficielle au point considéré , il caractérisera le potentiel du conducteur électrisé. Si Ton assimile ce potentiel à la température d'un corps chaud, le rôle de l'électroscope devient comparable à celui d'un thermomètre.

Pour rendre sûres et précises les indications de l'électroscope, il convient de rendre conductrice la surface intérieure d^ la cage en la tapissant d'une feuille il'étain (dans laquelle on ménage quelques ouvertures pour permettre de voir les feuilles d'or) etde mettre cette surface en communication, d'une part, avec les deux bornes intérieures de l'instrument et, d'autre part, avec le sol. On peut alors faire de l'électroscope un instrument de mesure dit électromètre f en le graduant préalablement de manière que

170 TllAITÉ PRATIQUE D'ÉLECTRICITÉ

l'écartement des feuilles d'or fasse cotiDattre le potentiel V correspondant à la surface d'un conducteur électrisé.

109. Electromôtre absolu. — Sir William Thomson a inventé un électromètre absolu^ fondé sur l'attraction qui s'exerce entre un plan indéfini XY et une plaque mobile S parallèle à ce plan (fig. 43) lorsqu'on les a portés à des potentiels différents V et Vi.

vi 5

Fig. 43.

En faisant abstraction des perturbations qui ont lieu vers les bords de la plaque, on peut regarder la surface inférieure de cette plaque et la surface supérieure du plan indéfini comme deux surfaces de niveau équidistantes, entre lesquelles la force électrique, constante et normale à ces surfaces, a pour valeur

Un tube de force découpe sur les deux conducteurs deux éléments superficiels égaux dont les charges électriques sont égales et de signes contraires (n^o6) ; il en résulte que les deux surfaces, en regard possèdent, au signe près, la même densité constante (r. Il en résulte aussi, d'après le théorème de Coulomb (n*^51), que la force électrique entre les deux surfaces est égale à 4it<j ; on a donc

d'où

4 TU e

Nous savons, d'autre part, que la pression électrostatique, exercée sur la masse o-rfS, que porte l'élément rfS de la surface de la plaque, a pour valeur (n** 52)

Cette action étant dirigée suivant la normale extérieure au conducteur tend, dans le cas actuel, à attirer la plaque vers le plan

MESURE DES POTENTIELS ÉLECTROSTATIQUES 171

indéfini ; Tattraction totale sur la surface S de cette plaque est

Stt \ c /

Supposons que le disque B soit supporté par un fléau de balance ; nous pourrons équilibrer Tattraction par un poids connu P et nous aurons

formule qui fait connaître la différence des potentiels du disque mobile et du plan fixe. Tel est le principe de Télectromètre absolu. Pour éviter la perturbation sur les bords du disque S, on le découpe dans une plaque plus large et on le laisse entourer par Vanneati de garde avec lequel il reste en communication électrique. La figure 44 indique comment le disque est soutenu par un ressortqui le maintientunpeu au-dessus de Tanneau de garde ; x v r

l'expérience consiste à déplacer ^^^' **•

le plateau XY jusqu'à ce que le disque soit exactement amené dans le plan de Tanneau de garde ; on détermine le poids P qui serait nécessaire pour produire le même effet. Mettons d^abord le plateau XY en communication avec le sol et soit e^ la distance qui, dans ces conditions, correspond à l'alignement du disque mobile dans le plan de Tanneau de garde, nous aurons, V étant nul,

Portons ensuite le plateau XY au potentiel V qu'il s'agit de mesurer et soit e la distance obtenue dans ces conditions ; nous aurons

En retranchant cette formule de la précédente, nous trouverons

il suffira donc de mesurer le déplacement (e — ^o) du plateau XY d'une expérience à l'autre.

Fig. 45.

110. Electromètre à quadrants. — Uéleciromèlre à quadrants de Sir William Thomson se compose essentiellement d'une large et mince aiguille d'aluminium G (fig« 45), suspendue horizoo* talement au moyen d'un fil de torsion attaché à son centre ;

cette aiguille est placée dans une sorte de botte cylindrique de cuivre, divisée en quatre parties égales correspondant aux quatre secteurs circulaires Ay B, G, D ; ces quatre parties communiquent deux à deux, en croix, par des fils métalliques.

Dans la position d'équilibre de Taiguille, sa ligne médiane se trouve placée, comme Tindi* que la figure, dans un des plans diamétraux de séparation des secteurs. On peut, par Tintermédiaire du fil de suspension, mettre cette aiguille en communication avec Tarmature d'un con* densateur, de manière à la porter au potentiel V de cette arma* ture ; supposons, d'autre part, que le système des deux quarts de cylindre A et B soit porté à un potentiel connu V| et que celui des deux quarts de cylindre G et D soit porté à un autre potentiel connu V,. L'aiguille abandonnera sa position d'équilibre primitive pour en occuper une nouvelle, faisant avec la première un petit angle 6.

Considérons un élément quelconque dS de la surface de l'aiguille et soit 9 la densité électrique correspondante. Nous savons que lorsqu'un système de conducteurs électrisés est en équilibre, le potentiel de chacun d'eux est une fonction linéaire de leurs charges (n^ 57) ; il en résulte que la charge de l'aiguille, et par suite la densité a en chaque point, est une fonction linéaire et homogène des trois potentiels V, Vi, Vj. La pression électrostatique ou tension exercée sur l'élément dS est proportionnelle au carré de la densité superficielle (n** 59) et a pour valeur

2r(j« dS ;

MESURE DES POTENTIELS ÉLECTROSTATIQUES 173

Tensemble de ces forces produit le couple de rotation auquel fait équilibre le couple de torsion du (il de suspension de Taiguille, couple proportionnel à l'angle 6. Nous voyons ainsi que 6 doit être une fonction homogène du second degré des trois potentiels

Si Ton reliait mélalliquement les deux paires de quadrants, de manière à rendre V, et V, égaux entre eux, Taiguille se trouverait placée dans Fintérieur d'un cylindre de révolution et son couple électrique serait nul pour toute orientation ; par conséquent Q doit s'annuler lorsque V^ = V,. Remarquons en outre que si Ton permutait les deux potentiels Yi et V,, 6 devrait changer de sens (et, par suite, de signe), en conservant sa valeur absolue. Nous pouvons donc écrire

e ^ (v, ~ V.) [k\ + h (V, + vj]

k eth étant deux paramètres à déterminer.

Il existe entre ces deux paramètres une relation très simple. Remarquons, en effet, que le couple de torsion, représenté par l'angle 0, est égal et de sens contraire au couple de rotation résultant des forces électriques ; ces dernières ne dépendent que des dérivées des potentiels et no varient pas lorsque l'on ajoute une même constante à tous les potentiels ; il en résulte que la fonction

ne doit dépendre que des différences V — Vi et V — V„ ce qui exige que Ton ait

En définitive, nous obtenons la formule

e = ft(v,-Y,)(v-Ii-±^),

dans laquelle entre un seul paramètre inconnu.

Comme il serait difficile de calculer la valeur de ce paramètre A, on détermine cette valeur expérimentalement en tarant l'électromètre à quadrants par comparaison avec un i6lectromètre absolu.

L'instrument peut, d'ailleurs, s'employer de plusieurs manières. Si nous rendons Vt égal et de signe contraire à V,, en faisant communiquer respectivement les deux paires de quadrants avec les deux pôles d'une pile sèche dont le milieu est relié métalliquement au sol, on aura

e = 2 & Vj V,

en sorte que la déviation sera proportionnelle au potentiel de l'aiguille. Si nous faisons communiquer l'aiguille avec un des pôles de la pile sèche, dont nous supposerons le potentiel Y connu, et si nous relions respectivement les deux paires de quadrants à deux conducteurs portées à des potentiels \i et Yi dont il faut trouver la différence, nous aurons la déviation

0=MV.-V,)(v-Xl-+Iî^;

mettons, en second lieu» l'aiguille en communication avec Tautre pôle de la pile sèche, de manière que son potentiel change de signe et devienne — Y, nous obtiendrons une nouvelle déviation

par conséquent

e — 6' = 2 A V (V, — Vj) ;

la différence des déviations fera donc connaître la différence des deux potentiels Y, et \^. On peut éviter l'emploi d'une source auxiliaire d'électricité, telle que la pile sèche, en faisant communiquer l'aiguille avec l'une des deux paires de quadrants, de manière que l'ont ait Y = Y» ; la formule générale donne alors

en sorte que la déviation devient proportionnelle au carré de la différence des potentiels ; le sens de cette déviation est toujours le même, l'aiguille étant toujours attirée par la paire de quadrants avec laquelle elle ne communique pas. Si, tout en conservant cette dernière disposition, on rendait Yi égal à zéro en

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faisant communiquer avec le sol la paire de quadrants qui ne communique pas avec l'aiguille, la formule se réduirait à

en sorte que la déviation serait proportionnelle au carré du potentiel V2 auquelle l'aiguille est portée.

L'électromëtre à quadrants a reçu diverses dispositions sur la description desquelles nous ne nous étendrons pas. Indépendamment du modèle Thomson, il existe un modèle Mascart, un modèle Eric Gérard, etc.. Ces instruments sont, comme les électromëtres absolus, des appareils de précision principalement destinés aux laboratoires de physique.

111. Voltmètre électrostatique. — Sir \V. Thomson a fait subir

Fin. 46.

i sOD éleclromëtre primitif une transformation qui le rend uUli-

sable dans Findustrie ; Tinstrument ainsi modifié porte le nom de Voltmètre électrostatique ; il est représenté par la figure 46.

L'une des deux paires de quadrants est supprimée, et Taxe de rotation de Taiguille est rendu horizontal. La figure montre la disposition verticale de la paire de quadrants conservée AA et de Taiguille d'aluminium CG; cette aiguille est prolongée par un index qui se meut sur un arc de cercle gradué ; le couple électrique de rotation est équilibré par un poids que porte Taiguille. Des bornes extérieures à la botte de Tappareil servent à établir les communications électriques avec la paire de quadrants et avec Taiguille.

Le déplacement de l'aiguille fait connaître la différence des potentiels auxquels sont respectivement portées la paire de quadrants et l'aiguille; comme la valeur du couple de rotation dépend du carré de cette différence, Taiguille se déplace toujours dans le même sens. L'échelle est graduée empiriquement de 0 à 60, de manière que chacune des divisions corresponde à un même accroissement de la différence des potentiels.

L*appareil est muni de trois poids, dont les valeurs en milligrammes sont respectivement 32 1/2, 97 1/2 et 390. Si Ton suspend à l'aiguille le premier de ces poids, chaque division représente une différence de 50 volts; cette différence s'élève à 100 volts, si Ton remplace le premier poids par le second, et à 200 volts, si Ton fait usage du troisième poids. On peut ainsi mesurer des différences de potentiels considérables, qui peuvent s'élever jusqu^à 10 000 volts.