Aimant solénoîdal. — Cela posé, on dit qu'un aimant est
solénoïdaly lorsqu'il est décomposable en filets solénoïdatix. Ces filets peuvent être soit tous ouverts, en se terminant de part et d'autre à la surface de Taimant, soit tous fermés sur eux-mêmes, soit les uns ouverts et les autres fermés.
Dans ce cas la distribution magnétique est entièrement superficielle ; pour un point intérieur quelconque, la densité magnétique p . est nulle, c'est-à-dire que Ton a
ÔA , ôB , dC
quant à la densité superficielle relative à un élément co de la surface, elle a pour valeur
(1=1 CCS 6 = -^ cos 6,
^ désignant la puissance magnétique du filet correspondant à cet élément de surface et 0 Tangle de Tintensité d*aimanlation I, tangente au filet, avec la normale sortante.
La valeur du potentiel Y d'un aimant solénoîdal pour un point quelconque, extérieur ou intérieur, se réduit donc, comme s'il s'agissait d*un aimant uniforme, à
(0 désignant un élément de la surface ;
<j la densité superficielle correspondante à cet élément ;
r la distance de cet élément au point considéré.
La sommation S s'étend à toute la surface.
Réciproquement, si la densité cubique p est nulle en chaque point intérieur d'un aimant^ cet aimant est solénotdal. L'axe magnétique de chaque aimant élémentaire constituant présente, en effet, dans un aimant quelconque, une direction variable d*un point à un autre par voie continue, j^n considérant les lignes enveloppes des axes jnagnétiques, on peut toujours décomposer Taimant en filets magnétiques correspondants, fermés ou aboutissant à la surface. Si l'on décompose un de ces filets en éléments de volume tods^ lous égaux entre eux, le moment magnétique M d'un de ces éléments de volume est généralement variable tout le long du filet.
Pour que ce filet devienne neutre, sauf à ses extrémités (condi* tion nécessaire pour que la densité cubique p soit nulle sur toute sa longueur), il faut que le moment magnétique M reste constant, c'est-à-dire que le filet soit solénoîdal.
26. Feuillet magnétique. — Considérons maintenant une lame matérielle mince, comprise entre deux surfaces parallèles (c'est-àdire à normales communes). A chaque élément o) de Tune de ces surfaces correspond un volume cylindrique eco, en désignant par t l'épaisseur de la lame au droit de l'élément considéré. Aimantons chacun de ces éléments de volume en lui donnant une intensité d'aimantation I inversement proportionnelle à son épaisseur e et dirigée suivant la normale à co; nous obtiendrons ainsi un aimant solénoîdal particulier que Ton appelle un feuillet magnétique. Le produit constant
a reçu le nom de puissance du feuillet. La formule générale
a = 1 CDS 6
indique qu'au droit de chaque élément co la densité superficielle est égale a + I sur l'une des surfaces et à — I sur l'autre ; le feuillet possède, par conséquent, une face nord ou positive et une face sud ou négative*
L'aimant infinitésimal correspondant à l'élément superficiel a> a pour moment magnétique
Isoi = ^(D ;
son potentiel au point P est, par conséquent,
rfV=4>cu52Ll,
r désignant (fig. 40) la distance de cet aimant au point P et ç l'angle que la normale sud-nord à <o fait avec 0 P. Considérons un cône ayant P pour sommet et co pour base ; son angle solide (soit, en
d'autres termes, rélément de surface qu'il découpe sur une sphère
Fig. iO.
de rayon égal à Tunité ayant son sommet pour centre) a pour valeur
Cii CCS 9
cfU =
par conséquent
dV = * dû.
La valeur de Tangle solide d Û doit être positive ou négative , suivant que Tangle plan (p est aigu ou obtus, ou, ce qui revient au même, suivant que Télément superficiel co vu du point P appartient à la face positive ou à la face négative du feuillet.
Gomme ^ est constant pour tous les éléments de la surface du feuillet, le potentiel de cette surface au point P est
de là ce théorème de Gauss : le potentiel dun feuillet magnétique en un point quelconque est égal au produit de la puissance magnétique de ce feuillet par sa surface apparente vue de ce point.
Par surface apparente^ on doit entendre la somme algébrique des angles solides, ayant leur sommet au point considéré, qui correspondent à tous les éléments co de la surface-feuillet. Si un cône élémentaire coupe la surface un nombre pair de fois, les angles solides correspondant aux divers éléments ainsi découpés sont deux à deux égaux et de signes contraires, en sorte que
• tfM. ♦
leur somme est nulle. Il en résulte que les seuls angles solides élémentaires dont on ait à tenir compte sont ceux dans lesquels on peut décomposer l'angle solide fini qui correspond au contour terminal du feuillet ; la surface apparente est donc indépendante de la forme et de l'étendue de la surface du feuillet.
Supposons que la surface-feuillet circonscrive une cavité présentant une ouverture ÂB (fig. 11), et considérons deux points M et N, infiniment voisins, pris de part et d'autre de cette surface. Les surfaces apparentes relatives à ces deux points sont de signes contraires et leur différence est égale à =i: 4i7. Le potentiel augmente de 4ic4» lorsque Ton passe d'un point de la face négative au point correspondant de la ^ ^' ' face positive ; si Tunité positive de masse magnétique partait du premier de ces points pour arriver au second, après avoir suivi une trajectoire quelconque, le travail effectué par la force magnétique émanant du feuillet serait égal à — iir^.
Lorsque la surface-feuillet est fermée sur elle-même, la valeur du potentiel est zt 4ic^ pour tout point intérieur, et zéro pour tout point extérieur. La force magnétique est nulle en chaque point, aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur; par conséquent, un feuillet fermé sur lui-même n'exerce aucune action magnétique, ni à [intérieur y ni à [extérieur de sa surface.
27. Energie relative d*un aimant dans un champ magnétique. — On appelle ainsi le travail qu'il faudrait dépenser pour amener cet aimant depuis l'infini jusqu'à sa position actuelle, en présence du champ magnétique supposé fixe.
Considérons, d'abord, un aimant infiniment petit ayant son milieu au point P, dont les coordonnées sont Xy y y z. Désignons par m la valeur absolue de chacune des deux masses magnétiques égales qui forment les pôles et par 2a, 2^, 2y les trois projections infiniment petites de Taxe magnétique.
Le potentiel du champ magnétique au point P étant égal à V, ee potentiel devient
„ , ÔV , ÔV ^ , ÔV
au pôle nord de l'aimant, et
Y ÔV^ÔV ÔV
au pôle sud. Il suffit de multiplier la première de ces valeurs par m et la seconde par — m et d'en faire la somme pour obtenir rénergie relative de Taimant dans le champ magnétique, c'est-àdire la dépense de travail qu'il faudrait faire pour amener cet aimant depuis l'infini jusqu'à sa position actuelle. Cette énergie relative est, par conséquent,
— m (2Xa + 2Yp + 2Zy),
X, Y, Z désignant les trois composantes de la force magnétique au point P. L'expression contenue dans la parenthèse représente le travail de la force magnétique sur l'unité de masse positive partant du pôle sud de l'aimant et cheminant jusqu'à son pôle nord ; si donc nous désignons :
par F la force magnétique en P, par / la longueur de l'aimant, par M son moment magnétique,
et par Q l'angle de son axe magnétique avec la force F, nous pourrons représenter l'énergie relative de l'aimant infiniment petit par
— f»/ F cos 8 = -^ MF cos G.
Considérons maintenant un aimant quelconque. Chacun de ses éléments de volume t/, possédant une intensité d'aimantation I, est assimilé à un aimant infiniment petit dont le moment magnétique est
M=:Im
et dont l'axe magnétique, parallèle à I; fait avec la force F du champ un angle 0 ; l'énergie relative de cet élément de volume est donc
dW = — IFm cos 0.
Si Ton désigne par x^ y, z les coordonnées du centre de cet élément de volume u = dx dij dz
par Y le potentiel du champ en ce point, et par A, B, C les trois composantes de I, on peut écrire :
dW
. ÔV ^ , dV . ^ àV\ , . ,
On obtiendrait l'énergie relative W de Taimant total en opérant Tintégration pour tout son volume.
Fiif. 12.
28. Application aux feuillets magnétiques. — Examinons le cas particulier où Taimant est un feuillet magnétique placé dans un champ quelconque.
Soit (fig. 12) e Tépaisseur du feuillet au droit de Félément superficiel co,
I rintensité d'aimantation correspondante à cet élément,
F la force du champ au centre de oj
et h Tangle de cette force avec I.
L'énergie relative du volume aimanté cos est
dW = — 1 6.W F cos 0 ;
mais le produit Is est constant et égal à la puissance magnétique ^ du feuillet ; nous avons donc
W = — ♦ s oj F cos ô.
Remarquons maintenant que le produit co F cos 0 représente en grandeur et en signe le flux de force, émanant du champ magnétique, qui traverse 1 élément co de la surface-feuillet dans le sens de rintensité d'aimantation, c'est-à-dire de la face négative vers la face positive. Il en résulte que Ténergie relative W est égale
et de signe contraire au produit de ^ par la somme Q des flux de force correspondant à tous les éléments superficiels. On a donc
de là ce théorème :
V énergie relative cTun feuillet magnétique est égale et de signe contraire au produit de la puissance de ce feuillet par le flux de force qui traverse son contour en pénétrant par la face négative.
Supposons que le champ magnétique soit constitué par un second feuillet de puissance ^. Désignons par M le flux de force que le premier feuillet recevrait par sa face négative si la puissance du second feuillet était égale à Tunité ; le produit M^' représentera le flux de force qui traverse réellement le premier feuillet placé dans le champ du second, on aura donc
Cette énergie représente le travail qu'il faudrait effectuer pour amener les deux feuillets depuis Tinfini jusqu'à leurs positions actuelles ; elle est, par conséquent, égale à Ténergie relative du second feuillet dans le champ du premier. Soit M^ le flux de force que le second feuillet recevrait par sa face négative si la puissance du premier feuillet était égale à l'unité ; nous aurons
En égalant les deux valeurs de W, on voit que
Ce paramètre, qui ne dépend que des contours des deux feuillets placés dans leurs positions actuelles, est ce qu'on appelle le coefficient cTinduction mutuelle de ces deux feuillets.
29. Force magnétique à rintérieur d'un aimant. — Pour rendre observable la force magnétique qu'un aimant produit en un point intérieur à sa masse, il faut nécessairement creuser autour de ce point une cavité dans laquelle puisse se placer un pôle magnétique.
La forme de cette cavité influe sur la grandeur et la direction
de la force observable. Supposons, en effet, que cette cavité soit circonscrite par une surface fermée et que son volume soit assez faible pour que Ton puisse regarder comme uniforme Taimantation de la partie de l'aimant qu'elle a renfermé ; cette petite masse aimantée équivaut alors à une couche magnétique de densité variable o* répandue sur sa surface et, par conséquent, son ablation équivaut à la distribution d'une couche magnétique de densité égale et de signe contraire sur la surface de la cavité. Examinons le cas particulier où cette cavité présente la forme d*un cylindre droit, de révolution autour d'un axe parallèle à rintensité d'aimantation I. La densité superficielle ( — (t), à distribuer sur la surface de la cavité, est, d'après la formule connue
(j = I cos 6,
nulle sur la surface latérale, égale à — I sur la base pour laquelle la normale intérieure est de même sens que l'intensité d'aimantation, et égale à + I sur la base opposée. On peut calculer la résultante F des forces magnétiques que ces deux bases font naître au centre de la cavité, résultante évidemment parallèle à I et de même sens; on trouve ainsi :
F = 4irl / 1 —
R désignant le rayon de la base et 2H la hauteur du cylindre.
Si g tend vers zéro, c'est-à-dire si la cavité devient filiforme et parallèle à l'intensité d'aimantation, F tend aussi vers zéro ; dans ce cas, la force observée ne difTère pas de la force intérieure théorique dont les trois composantes sont les dérivées partielles du potentiel de l'aimant changées de signe. En d'autres termes, la force intérieure (Tun aimant est obsei^able au milieu dune cavité filiforme j parallèle à Vintensité (T aimantation au point considéré et ayant son milieu en ce point.
Si -n- tend vers l'infini, c'est-à-dire si la cavité prend la forme d'un disque très mince^ la valeur de F tend vers iîtl. Par conséquent la force observable au centre cTune cavité en forme de disque
mince, perpendiculaire à Piniensité cP aimantation I correspondant au centre de ce disque^ est la résultante de la force intérieure et d'une force égale à 4itl dirigée dans le sens de tintensité eTaiman" tation. On a donné à cette force le nom d'induction»
Considérons un feuillet magnétique et prenons, au droit d*un élément dS de sa surface, un point M infiniment voisin de la face négative et un point W infiniment voisin de la face positive. Les potentiels V et V du champ magnétique du feuillet qui correspondent à ces deux points sont liés entre eux (n^ 26) par la relation
V = V + 4ic*,
en désignant par <E» la puissance magnétique du feuillet; il en résulte que — ii^ est la valeur du travail de la force magnétique sur Tunité de masse positive allant de M en M^ par un chemin quelconque, sans traverser la surface du feuillet. La puissance magnétique <^ est identiquement égale, par définition, au produit Is de l'intensité d'aimantation I correspondant à l'élément superficiel d& par l'épaisseur s du feuillet ; par conséquent
représente le travail de la force inl sur l'unité de masse positive allant directement de M en M^ au travers du feuillet :
30. Induction. — La considération de Vinduction est, comme nous le verrons plus loin, très utile pour l'étude de l'aimantation par influence, de l'électro-magnétisme et des courants induits.
Désignons, pour un point intérieur quelconque, par U le potentiel du champ magnétique extérieur à Taimant, par Û le potentiel de l'aimant lui-même et par A, B, C les trois composantes de Tintensité d'aimantation.
Les trois composantes de Finduction auront pour valeurs.
/ Ô(U + Q) ^^^^ ' àx
La formule de Poisson (n** 15) donne pour le point (r, y, :;) considéré
A (U + û) = — 4itp ;
on a d'ailleurs (n** 1 9)
par conséquent :
ÔA ÔB ÔC____ da; "^ ôy "^ dy "~ ^ '
dX dY dZ^ ôj: ôy 05
On voit ainsi que T induction satisfait à l'équation de Laplacc pour les points intérieurs à Faimant aussi bien que pour les points extérieurs. S'il arrive que Texpression :
Adx + Bdy + Cdi
soit la différentielle totale d'une fonction de x, y z, (cas dans lequel l'aimantation est dite lamellaire) y on peut poser
