SUBSTITUTION DES INCONNUES ET ERREURS RÉSIDUELLES

Cale.

^Hi

4 ÎO

-t-IO

-hi83

-hioi

-hiï

-hi36

-4-3jo

-hl2

On en tire

[AA] = 3oi9,

v/[Âïï= 54,95,

r(ar)=±3,43.

(*) Il ne faudrait pas en eonclure que Ton obtient, en moyenne, une précision de 0,001 degré par la méthode de Gay-Lussac; il faut remarquer, en effet, que le

^4 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

Ces derniers résultats sont très voisins de ceux qui ont été trouvés par la méthode des moindres carrés.

33. Calibrage abrégé. — Lorsqu'on veut réduire le travail très considérable que nécessite un calibrage complet pour des points rapprochés, deux moyens se présentent : on peut espacer davantage les points principaux du calibrage complet; ou, en conservant les mêmes intervalles, renoncer à employer toutes les colonnes.

Nous avons vu que les erreurs probables des corrections dans un calibrage complet peuvent être rendues inférieures à o,ooo5 degré j or cette précision est souvent superflue. D'autre part, on reconnaît par l'examen minutieux des courbes des corrections de calibre que l'interpolation, toujours un peu arbitraire, laisse souvent subsister une incertitude beaucoup plus grande dans les corrections obtenues indirectement. On en conclura donc que, pour une somme égale de travail, il vaut mieux, dans certaines limites, rapprocher davantage les points principaux que de chercher à obtenir leurs corrections avec toute la précision qu'il est possible d'atteindre. Le calibrage doit cependant comprendre un nombre assez grand d'observations pour que celles-ci se contrôlent suffisamment. 11 est difficile de poser des règles fixes pour les limites auxquelles il convient de s'arrêter dans l'une ou l'autre direction. L^expérience et le tact de l'observateur doivent le guider dans chaque cas particulier.

Le plus grand inconvénient d'un calibrage abrégé consiste en ce que, lorsqu'une partie des observations du calibrage complet sont supprimées, les formules perdent en simplicité et en généralité. Les coefficients doivent être calculés pour chaque subdivision, et, lorsqu'un nouveau cas se présente, il faut former et résoudre d'une manière générale toutes les équations normales.

M. Broch a calculé un schéma conforme à la méthode des moindres carrés pour le calibrage abrégé en dix parties, celui qui se présente le plus fréquemment ; nous avons suivi la même marche

nombre des subdivisions est peu considérable. De plus, l'exemple développé a été pris, il est vrai, au hasard, mais dans un dossier d'un observateur très habile, opérant dans d'excellentes conditions.

pour la division en huit parties; nous développerons ici les formules qui conviennent à ces deux cas (*).

Les colonnes employées par M. Broch sont les trois colonnes moyennes, ajant les longueurs 4> 5 et 6 et fournissant respectivement -j, 6 et 5, soit dix-huit équations de condition. Les inconnues sont les neuf corrections x^i à x^^^ et les trois longueurs )x7, ^wfl et A5, soit douze en tout.

Pour la division en huit parties, les colonnes 3, 4 et 5 fournissent quinze équations pour dix inconnues.

3i. Division en dix parties. — Nous disposerons les équations dans deux Tableaux tels que les sommes des colonnes fournissent les équations normales relatives aux \ et aux x. Nous n'avons porté que les quantités connues dans les colonnes du second Tableau :

Tableau I. — Calcul des s et S.

t,ii s.

- J7.„— fl.

25, ' ZS.

61 it

-4- JT. — ar.. - a

s,it

(') Le procédé Neumann-Thiesen est aussi applicable à la formation des équations normales; mais la résolution de celles-ci est à très peu prés aussi laborieuse que dans l'emploi de la méthode rigoureuse; de plus, les différences entre les corrections calculées par les deux méthodes peuvent devenir très sensibles- La méthode Neumann-Thiesen perdant, dans ce cas, son plus grand avantage, nous ne la développerons pas.

THERMOMÉTRIE DE PRÉCISIOIN.

Tâble.\u II. — Calcul des t, S, D, et T.

Comme précédemment, nous substituons aux x les nouvelles inconnues P et Q, et nous conservons les symboles

En introduisant les nouveaux symboles

Tio = Dio H- - 57 H- 77 56 -h i 55,

Ty — D9 -T- ~ 57-1- 2^ 56^- T 53, 7 6 J

Tg = D« -f-

H Se.-~-

le système des qualorze équations normales déduites des deux

Tableaux se résume dans les trois groupes suivants :

t 7X:r=57-hQii-+-QlO-+-Q9-+-Q8,

(i) I 6X6~56-+-Qii-hQio-4-Q9-i-Q8-hQ:, 5 Xj = *5 -4- Q, j -h Qio -^ Qg -H Qg -h Qt ;

Sii = -f-3Pn -2P:- Pc,

Sjo = ■^- 3 Pio — Ps — P7 — Pc»

s, = -^'iV,- P»- P7,

Sg = - Pio- P9-H2P8,

S, =-2P„-- P,o- P9 -f-lP7

'\ Sfi = — 2P1, -iPio H-^Pe;

io5T,,^-i-2o8Qi,— io7Q,o— 107Q.J— lojQ»— 77Qt» loSTjo — — I07Qll^- 208Q10— 107Q9— îQgH- ^-SQ:,

(3) { 105T9 =- 107Q,,- io7QioH-3i3Qu-- iQi-h 28Q:, lOjTg ^— io7Qii— îiQio— 2Q9-h3i3Q8— 77Qt- 105T7 -- 77QnH- -iSQio^ 28Q,- 77Q«h-343Qt.

Ces quatorze équations sont reliées par les deux identités suivantes, qui servent de contrôle pour le calcul des S et des ï:

Sji -h S|o-H Sij-h Sg-T-S?-^ Se = o,

( 5Ti,-H4Tio-+-3T9-hATg-4-T7 =0.

11 reste douze équations indépendantes, qui contiennent les douze inconnues du problème.

En résolvant les systèmes (2) et (3), on obtient les groupes récurrents (5) et (6), ou les groupes (5') et (6') dans lesquels les inconnues sont exprimées seulement en fonction des quantités S etT:

9,6Pio= *>-6Pii -+- '>'0 S|o-t- i-i S.j-i-i6Sg-+- 8 87-+- SSe, 5P9 = 'iPi\-r- 3P10-+- 4S9H- •;•. Sg -I- S7,

(J) { 9.P8 = -h Pio-h Pg-r- Sg,

17= -r- •>. P9 — 1 8 Sj,

Pc = 3ï>n- Su ~2P-,

78 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

26(Pio— r*ii)= 'ioSio-T- 12S9-4- lôSgH- 8S7-+- 5 Se,

26(P9 — Pii)= 12S10-5- aSSoH- aoSg-t- 10S7-4- SSg,

rV) '; 26(P8 — Pii)= 16S10-+-20S9-4- îiSg-f- 9S7H-4S6,

26(P7— Pli)— 8Sio~ 10S9-+- 9S8-4- ri S7-f-2S6,

26(P6 — Pn)= loSioH- GSg-h SSg-h 4S7-H9S6,

, 52325Qio= 4i86oQn-i-3'2867T,o~ii569T9--6i4T8— 3772T7,

i38Q8 = 58Qn-- 2Q,o- 2Q9-+- 49T8-f- 11T7,

49Q7 = iiQii- 4Qio~ 4Q9-4- 11Q8+ 15T7,

52325(Qio—o.8Qn) = -î-32867T,o-^ 11069 T9— 644 Tg - 3772 T?,

. 52325(Q9 — o,6Qn)=-^-ii569Tio-+-2i758T9— 483 T»— 2829 T7,

■ io465o(Q8 — o,4Qm) = — i288T,o— 966X9-^37191X8-4- 8533T7,

io465o(Q7 — o,2Qn)=- 7544Tio— 56ô8T9-h 8533 T. -+-35029X7.

Ces diverses équations peuvent être transformées au moyen des relations (4).

On calculera successivement les P et les Q au moyen des équations (5) et (6); puis on vérifiera le dernier par la dernière des équations (5') et (6').

Le calcul se trouve ainsi vérifié en entier.

Les équations (i) fournissent les valeurs des X, que Ton calcule pour la substitution.

Erreurs probables. — L'erreur probable d'une observation est

Les valeurs des F et G ressortent immédiatement des équations (;V)et(6'); on a

d'où

r(.rio.)— r(Xi) — o,836r, r(To )=/•(. Ta) — o,86|r, r{^» )— /•(j-4)= o,88or, r(.T', )= /•(j'5) = o,6i6/', r{Xi }~ = 0,4 16/'.

35. Division en huit parties. — Eq suivant la marche du calcul précédent, on détermine les quantités S et T, que Ton vérifie par les équations

S9-I" Sg-f- StH- Se-î- - Sj= o, !

4T9^-3T,^-•^T7-+-Te =0.

Après avoir résolu les équations normales, on arrive aux formules suivantes, qui servent h calculer les quantités P,

'9^8= 19P9— 7S9-+- ySs-i- 3S7— Se, 7P7= aPgH-iPs -f- îStH-So,

P,=. - Pg H2P7-S7,

Ps^ 3P9— S9— aPc, équations qu'on peut mettre sous la forme

38(P8- P9) = 'A8S8-^2oS7-f-iaS,-H 785,

38(P7— P9)=20S84-36S7-hl4S6-f- 5Sj»

38(P,-P9)= lîSs-f- i4S7-^i6Se-i- 3S5, 38(P5— P9)= i4S8-i- 10S7-4- 6Se-hi3S5.

Les quantités Q sont données par

ii2Q8= 84Q9-+-9T9-4-71T8-1-10T7,

3Q7= 2Q8-T8-hT7,

3Q6=37Q9-+-7Q8-83Q7 + 3oT7,

ou aussi

On trouve les "k au moyen des formules

Xv= 7(54-+-Q9M^-Q8H-Q7-^Q6).

80 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

Pour le calcul des erreurs probables, nous avons

r{Xi)= r(Xi)=z OjSogr, r{x^)= r(Xi)= 0,801 r, r(j-6)= r(Xi) = Ojôayr, r(a:j) =o,577r.

36. Calibrage supplémentaire. — Reprenons Téquaiion fondamentale du calibrage

Nous avons considéré jusqu'ici xi, Xh et A comme trois inconnues, déterminées en établissant un nombre sufïisant d'équations de cette forme. Mais il se présente des cas où la position des points à déterminer est telle qu'on ne peut pas les faire rentrer dans un calibrage ordinaire, complet ou abrégé ; on détermine alors leurs corrections à l'aide d'un calibrage supplémentaire, en utilisant les corrections connues de divers points d'un calibrage ordinaire.

Dans chacune des équations obtenues par l'observation, l'un des X sera connu; on déterminera l'autre, soit en employant une colonne dont la longueur a été déterminée par des observations rentrant dans un calibrage ordinaire, soit en observant la colonne dans une position telle que les deux x de l'équation ainsi trouvée soient connus.

Par exemple, dans les thermomètres à deux ampoules du premier modèle, on détermine les corrections des points voisins de 100" au moyen de la colonne de 68 degrés employée dans le calibrage en trois parties; on établit ainsi des équations telles que (*)

(*) Les indices des x et des X correspondent respectivement aux points auxquels les corrections se rapportent et aux longueurs des colonnes en degrés; ce sont les indices naturels, au lieu des indices conventionnels adoptés pour les calcuN précédents. Nous les emploierons fréquempnent.

CHAP. 11. — ÉTUDE DES THERMOMÈTRES. 8l

JC31 el )iC8 sonl deux quantités connues, ^31,00 la quantité observée.

On peut aussi employer une colonne d'une longueur quelconque, que l'on observe, l'extrémité supérieure étant au point 100; l'équation ainsi obtenue sert à éliminer la quantité A de toutes les équations.

Dans l'un ou Tautre procédé, il faut répartir les observations servant à déterminer le X, symétriquement parmi les autres, afin d'éliminer les variations produites par la marche de la température. Dans la première méthode, on a l'avantage d'employer des colonnes que l'on possède déjà, et des observations déjà faites; dans la seconde, on élimine mieux les erreurs dans les corrections des points sur lesquels on s'appuie, en employant plusieurs colonnes partant des différents points principaux du calibrage ordinaire.

37. Exemple. — Les corrections du thermomètre n" 4340 ayant été déterminées de 2 en 2 degrés entre — 2® et -h 5o°, les corrections des points 96", 98** et 102° ont été trouvées par des colonnes de 62, 54, 56 et 58 degrés, observées respectivement dans les positions: [44*96]) [46" 98], [48 100], [5oio2]; [4'î*96], [44*98], [46 100], [48*102], .... Les observations dans les positions [48-ioo], [46100], ... servaient à établir l'équation d'où \ était tiré.

En posant .Tioo == o, on a, par exemple, les équations

^*8 — -^ ^»ïî = «48,100

^V8 — J'iS -*- •2*98 = «48,100 — «46,98

d'où

On reconnaîtra, dans le Tableau suivant, la marche du calcul

THERMOMÉTRIE DE PRÉCISIOJtT.

Thermomètre n*" 4340.

Colonne de 52 degrés.