o,0253 -i-o,025o -i-o,ooo
En appliquant la méthode des moindres carrés aux calculs des constantes d'une formule de la forme donnée précédemment (88 et 89), les divergences ci-dessus conduisent à l'expression
te — ^t» = ^(100 — t) (14,126 — o,o3ii) 10-*,
qui laisse subsister les erreurs résiduelles inscrites en regard des résultats, et montre que te — tv 6st maximum pour ^ = 46,94^1 sa valeur est alors égale à o,o3i5 degré. On voit, d'après la répartition des erreurs résiduelles, qu'une fonction à deux paramètres suffit pour représenter les divergences dans les limites des erreurs d'observation. Pour une formule à un seul paramètre, la répartition des erreurs- résiduelles est insuffisante.
D'autres comparaisons (*), faites de 10 en 10 degrés de o"^ à 80", entre deux thermomètres en verre dur et quatre thermomètres à échelle fractionnée en cristal ordinaire français, ont donné, comme différence de marche (*),
te — ^„ = ^(100 — f)(i6,7oi — o,ooaOïo~*'
(*) J.-R. Benoit, Nouvelles études et mesures de dilatation, etc. ( 7*. et M., l. VI, p. 56; 1888).
(») KoiV Tables VII et VIII.
2l6 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
Le maximum est de o,o4i4 degré à 49^^gS6. Les erreurs résiduelles de ces comparaisons étaient aussi très faibles.
Le résultat général de ces dernières expériences peut être formulé comme suit : Les divergences entre les thermomètres de verres différents sont très bien représentées par un cas simple de la formule générale.
Ce résultat, joint à ceux du n** 91, montre à l'évidence que le thermomètre à mercure, contrairement à une opinion très répandue, se conforme aussi bien qu'on peut le désirer aux conséquences d'une théorie élémentaire.
93. Conséquences relatives aux dilatations. — La théorie du thermomètre à mercure ne nous a permis de tirer aucune conclusion suffisamment précise sur la différence de marche des thermomètres. Mais, par un procédé inverse, cette théorie va nous conduire à diverses conséquences de quelque importance concernant la dilatation des corps solides.
La marche du calcul est la suivante :
Partant de Texpression qui représente la dilatation du verre et du mercure, nous pouvons calculer une valeur suffisamment approchée de la correction — à relative à la tige. Connaissant en outre la différence de marche entre plusieurs thermomètres, nous en déduirons la valeur de la correction cp' relative au réservoir. D'autre part, la loi de la dépression du zéro permet de ramener les dilatations au cas où Ton opère avec le maximum de résidus. C'est en combinant la valeur vraie de ç' avec celle qui serait donnée par la formule de dilatation que l'on peut corriger cette dernière. Le calcul que nous allons développer nous donnera d'abord des relations numériques entre les coefficients des termes en t^ dans la dilatation du verre et du cristal; il nous démontrera l'existence pratique d'un terme du troisième degré; enfin nous en déduirons les limites probables entre lesquelles peut varier le coefficient du terme quadratique dans la formule de dilatation de divers échantillons d'une même matière.
Pour la dilatation du mercure, nous adopterons les nombres de Regnault modifiés par M. Broch (14) et réduits à une fonction du second degré concordant aussi bien que possible avec la première entre o® et loo". Pour le verre et le cristal durs, nous partirons
CHAP. TV. — SUR l'échelle DU THERMOMÈTRE A MERCURE. 21 7
des coefficients trouvés par M. Benoît (*) entre o** et /\o^; nous supposerons que l'extrapolation soit permise jusqu'à loo*. Tous les résultats seront rapportés au ihermomètre à hydrogène.
Les coefficients des deux termes de la formule exprimant la dilatation du mercure sont :
m'=i8i756.io-», n' = 3,42.10-'.
M. Benoît a trouvé, pour la dilatation linéaire du verre et du cristal entre o° et 4o", les coefficients suivants rapportés à Téchelle des thermomètres en verre dur (2) :
Pour le verre «»,= 71 4I.10-', ^»,= 8,5. 10-»;
» le cristal 0^= 9062.10-», bc — g, 5, io~^.
Dans l'échelle du thermomètre à hydrogène, on a
«f,/* -^9116.10-9, bcji — 8,9.10-9
et, pour la dilatation cubique,
Ces coefficients se rapportent sensiblement à la dilatation du verre sans résidus. Nous calculerons la dilatation avec les résidus en introduisant les valeurs de [x, v dans l'équation (3) du n° 89.
Pour calculer ces coefficients, il faut d'abord connaître le nombre de degrés que contient le réservoir du thermomètre; en d'autres termes, le nombre réciproque du coefficient de la dilatation apparente du mercure dans le verre. Si cette dilatation était uniforme, ce coefficient serait constant; mais il varie légèrement et doit être calculé pour un intervalle de température déterminé.
Considérons le coefficient moyen entre 0° et 100®. Les nombres ci'dessus nous donnent la valeur de ce coefficient sans les résidus ;
(•) J.-R. BenoIt, Construction d'étalons prototypes de l'ohm légal. Gau- Ihier-Villars, i885.
(') Ces cocfficienls ont été déterminés au comparateur sur des tubes de i" de long, de 4"" à 5""" de diamètre et de i"" environ d'ouverture.
après avoir calculé une valeur approchée de la correction relative aux résidus, on répète tout le calcul pour obtenir les nombres définitifs; on trouve alors, pour le coefficient moyen de la dilatation apparente du mercure entre o° et loo® :
Pour le verre dur 158287. 10-*,
» le cristal iSaôgi.io-'.
Le nombre de degrés moyens [o- 100] contenus dans le réservoir est donc (*)
Pour les thermomètres en verre dur 63 1 8,
» » en cristal 6549.
On en tire (68)
Pour le verre dur [!«,= i4i.io-', v», = o,i.io-',
» le cristal fji<:= 122. 10-*, v^ = 5,o.io~'.
Les coefficients de la dilatation avec les résidus sont donc
IVI„ = m», — [t.v = 21 411. 10-*, N^= «t, — Vt,= 24,0.10-'; Me = nie — (jLc = 27208. 10-», N^ = /le — Vf. = 21,8.10-'.
Ces nombres seront utilisés plus tard.
Nous pouvons, à Paide des équations (9) du u? 88, calculer les coefficients de la correction relative à la tige. En introduisant les m et n obtenus précédemment, nous trouvons
Ai,t, = 23,92. io~«, Bî,„ = 0,024. 10-*;
Aî,c = 29,98. io-«, B,,c = 0,027. io-«.
La correction de Poggendorfl' est donc, pour le verre dur et le cristal, respectivement
— 4^», = — T(ioo — T) (23,92 -h 0,024 T)io-«,
— il;^=T(ioo — T)( 29,98 -+-o,o27T)io-«.
(*) Nous avons adopté précédemment, pour le verre dur, le nombre 625o, qui se rapporte à la dilatation moyenne entre o"* et So" ou à la dilatation vraie à 15". Comme nous le verrons plus tard, la différence des coefficients des termes en t'y que nous avons admis pour le mercure et le verre, est sans doute trop forte.
CMAP. IV. — SUR l'échelle DU THERMOMETRE A MERCURE. 219
Pour T = 5o°,
— ip^ = o,o63 degré,
Dans les limites de la précision atteinte dans ces mesures, nous pouvons exprimer les coeflicients indifféremment dans Téchelle / ou T. En combinant les équations ci-dessus entre elles et avec les formules pour la correction totale (92), nous trouvons successivement
— ('^u — 'te) = T(ioo — T) (6,06 -4- o,oo3T) 10-8
et
çp'^-«<p;= T(ioo -T)(8,07 — o,o34T)io-«.
Donc
A'i,p— A',,^. = 4-8,07. io-«, B'|,^ — B;,e = — 0,034. io-«.
En nous reportant aux équations (3) du n*' 88 et aux équations (10) et (i i) du n°89, nous serons conduits à poser, en simplifiant les formules dans les limites de la précision avec laquelle les coefficients adoptés sont connus,
p' p^ pf p
^''••'""^'*'""(/n'-M,)H-iooV-N,) "(/n'-Mc)-hioJ(n'-Nc) =- ^»^34- '«''•
La différence Bj^., — h\^c n'étant pas nulle, on en conclut que le terme en T' dans les formules de dilatation n'est pas négligeable dans les limites de la précision que fournissent l'étude et la comparaison des thermomètres. Il n'a pas été fait jusqu'ici de mesures de dilatation desquelles on ait pu conclure à l'existence pratique de ce terme.
Introduisons, dans la première des formules ci-dessus , la valeur des dénominateurs; il vient
d'où
i58,4Nc — i52,8N^ — 5,6/i' = i95.io-î'.
En remplaçant /i' par sa valeur et en mettant i55,6 en facteur de Ne et N„, on trouve
i55,6(Nc— N^) ■+- 2,8(Nc -h N^) = aiS. lo-».
210 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
Le fadeur de Ne + N„ est très petit par rapport à celai de Ne — N„; si donc nous introduisons les valeurs approchées de Ne et N„ dans la somme, la différence de ces quantités sera déterminée avec une précision beaucoup plus grande que ces quantités elles-mêmes.
En effectuant le calcul, il vient successivement
i55,6(Ne— N^)-h 128. I0-» = 2i5,oo.io-»,
Ne — N^ = ^- 0,56. 10-9.
Nous voyons que, contrairement à ce que nous avions admis d'abord, la différence Ne — N,, est positive ; ric — /?,. était lui-même positif, et c'est en introduisant la correction pour les résidus de dilatation que la différence a changé de signe. L'erreur porte sur une quantité un peu inférieure à 1.1 o~® dans le coefficient du terme quadratique de la formule qui exprime la dilatation linéaire; cette erreur est assez petite pour être fortuite; cependant le sens et l'ordre de grandeur de la différence s'accordent avec ce qui aurait dû se produire si, dans les mesures de la dilatation, la tige de cristal n'avait pas atteint toujours la longueur définitive correspondant à la température de la mesure. D'après ce que nous savons sur la lenteur des mouvements du zéro dans les thermomètres en cristal, cette hypothèse est parfaitement justifiée.
Nous ne tirerons pas de nouvelles conclusions de la relation entre les quantités/?' et P. Tout le calcul qui précède avait uniquement pour but d'indiquer la marche à suivre pour tirer de nos formules des données très précises lorsqu'on possédera de nouvelles déterminations des quantités qui y entrent.
Il y a lieu maintenant déjà de déterminer de nouveau la dilatation du mercure et du verre, pour un intervalle étendu, en tenant compte des résidus.
Les résultats des expériences que nous exposerons dans le Chapitre V nous montreront que les erreurs des données expérimentales sont plus grandes qu'on ne pourrait le supposer de prime abord, et que même l'application que nous avons faite des formules à la détermination de Ne — N,, introduit une erreur assez grande dans le résultat.
Nous pouvons tirer des résultats des comparaisons une autre conséquence importante. Nous avons trouvé que les thermomètres
CHÀP. lY. — SDR/ L^ÉCHELLE DU THERMOMETRE À MERCURE. 221
du même verre concordent entre eux au-dessous des limites des erreurs d'observation, c'est-à-dire à un millième de degré près environ.
S'il existe des divergences réelles entre deux thermomètres, elles doivent certainement être attribuées à une variation très petite du coefficient n dans la fonction qui représente la dilatation du réservoir. Il faudrait^ en effet, admettre une différence très grande dans les valeurs de m pour que cette divergence puisse se rapporter à la tige.
Calculons quelle doit être la variation du coefficient n (ou N) dans A| [(88), éq. (3) et (4)] pour produire une variation d'un millième de degré vers 5o° dans les indications d'un thermomètre en verre dur.
Partons de la forme simplifiée
Al =
{m! — m)-\- \ oo( n' — n )
Nous pouvons, comme précédemment, supposer le dénominateur constant et égal à i58.io~*.
En introduisant la valeur de A| dans l'expression de cp, et en posant T = 5o, on aura donc à chercher la variation e de /i, pour
laquelle
i5oQz-j TTj -=12=0,001.
an iSS.io"*
En effectuant le calcul, on trouve
La variation de la dilatation linéaire serait de a.io"**. Nous pouvons en conclure que la variation du coefficient du terme en t^ dans la dilatation du verre dépasse à peine ^ d'un échantillon à l'autre. Or le dosage du verre est peu précis, et ses propriétés élastiques et thermiques sont relativement mauvaises. Les métaux et alliages que l'on emploie dans la construction des instruments de précision et des étalons de longueur possèdent certainement une plus grande régularité. 11 est très probable, d'après cela, que, pour les bons alliages, exactement dosés et soumis à un traitement analogue, le coefficient du terme quadratique ne doit pas différer au delà de 2.io~** d'un échantillon à l'autre.
222 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISIOH.
Pour le platine iridié à lo pour loo, employé par le Comité international des Poids et Mesures à la construction des étalons de longueur et de masse, ce coefficient, exprimé dans Téchelle du thermomètre à hydrogène, est voisin de i5o.io~** ; on peut donc être certain que les deux premiers chiffres significatifs de ce nombre ne varient pas. Or les meilleures méthodes directes ne permettent pas de garantir le second à moins de deux ou trois unités près. Le raisonnement qui précède conduit donc à des conclusions toutes nouvelles.
CHAP. V. — SUR l'échelle THERMOMÉTRIQUE NORMALE. 223
