TRANSFORMATION DES COEFFICIENTS THERMIQUES
119. Recherche empirique des lois mathématiques. — Les variations qu'éprouvent les propriétés des corps lorsque leur température se modifie sont soumises à des lois dont la nature peut être parfois prévue en partant de suppositions élémentaires simples, que Ton développe par le calcul; mais, dans la plupart des cas, la forme de la relation mathématique qui existe entre la température et la grandeur de la variation en question n'est indiquée par aucune hypothèse nécessaire ou même probable. On cherche alors à rassembler les résultats de l'expérience dans une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la température, et dont les coefficients sont déterminés de manière à satisfaire le mieux possible aux conditions de l'expérience. Le nombre des termes de la série qu'il convient de conserver est indiqué a posteriori par l'accord entre les résultats de l'expérience et les variations calculées par la formule trouvée.
Pour toutes les applications, on peut alors conserver la formule telle qu'elle a été directement calculée; mais, si l'on veut remonter à la forme même de la vraie loi du phénomène, on cherchera à découvrir, entre les coefficients de cette formule, certaines relations numériques. Dans l'état actuel des mesures, il faut nécessairement se borner à la recherche de relations extrêmement simples; car, parmi les relations compliquées que l'on peut imaginer, il en est un très grand nombre qui satisfont également bien aux résultats de rexpérience.
Lorsque les relations numériques sont connues, la méthode déductive peut alors permettre de tirer des conclusions sur la nature des forces élémentaires qui entrent en jeu pour produire les variations thermiques observées.
La marche à suivre dans la recherche des relations numériques est aisée à trouver.
Soient ^0 une température de départ, t une variation exprimée dans une échelle et un système quelconques. Nous aurons
/(to+0-/«.) [i + y^ 7 + -^^- — + 7^^ 77^ +---J.
Remarquons d^abord que les coefficients des diverses puissances de t doivent dépendre de cette quantité, puisque, dans tous les cas, la somme des termes de la série doit avoir la même valeur, quelle que soit la fonction particulière t de la température absolue. S'il existait, par conséquent, des relations numériques simples entre ces coefficients dans une certaine échelle t, elles seraient détruites par le passage à une autre échelle, puisque les relations entre les différentes échelles sont compliquées, comparées à celles que nous cherchons. Or toute relation de ce genre exprimée dans une échelle arbitraire est elle-même arbitraire; donc, pour la recherche des relations numériques, la fonction / doit être exprimée par rapport à Téchelle absolue.
Lorsqu'on passe d'un système de températures à un autre, l'unité dans laquelle t est exprimé change et t varie réciproquement. L'unité arbitraire doit être éliminée des relations cherchées. Cette unité étant élevée aux mêmes puissances que t dans les différents termes de la formule, elle sera éliminée de la suite des rapports
Ces rapports dépendent encore de ^o> c'est-à-dire du point de départ des températures. Le seul point de départ qui ne soit pas arbitraire est le zéro absolu; les températures doivent donc être comptées à partir de ce point. La relation devient donc
CHAP. VI. DÉVELOPPEMENTS ET APPLICATIONS. 7ng
En désignant par B une température absolue, la formule dont les coeflQcients sont déduits de Texpérience doit avoir la forme
/(0)=/(o)(n-ae-i-pe«4.Ye3+...),
et la relation supposée doit être cherchée dans les valeurs relatives des quantités a, ^^, y^y, ....
Si, par exemple, on trouve
on conclura que
7(6) = A(i-hA:eH-A:«0«-4-A:»e3-H...)= ^^^ ,
ou, pour
on a
a : /P : v^Y = I : ^ ^ : 6 \ /(e) = Ac*«.
Nous montrerons maintenant comment on peut, à l'aide d'un calcul très simple, transformer un trinôme exprimé en fonction d'une échelle thermométrique donnée en un autre trinôme fonction d'une autre échelle*.
120. Passage d'une échelle thermométrique à une autre. — Dans la presque totalité des expériences faites jusqu'ici, il a été possible de représenter les variations thermiques avec une précision égale ou supérieure à celle des mesures, par une fonction parabolique du second degré. Nous partirons d'une relation de ce genre, et, pour donner à l'exposé plus de netteté, nous choisirons comme type de variation la dilatation thermique.
Dans les recherches sur la dilatation des corps, on se sert presque exclusivement de thermomètres à mercure; c'est aussi au moyen de ces instruments que la température est mesurée dans la plupart des applications. Il est donc utile d^exprimer les dilatations en fonction de l'échelle des thermomètres à mercure. Mais les relations naturelles étant exprimées dans l'échelle normale, il faut pouvoir ramener toutes les relations à cette dernière. Il est utile aussi, en vue de la comparaison avec des expériences an-
280 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
ciennes, de réduire les dilatations à l'échelle du thermomèlre à azole.
L'introduction du zéro absolu dans les formules peut avoir lieu après ces transformations, lorsqu'on a en vue la recherche des relations numériques dont la forme générale a été donnée précédemment.
Soit
la fonction qui représente une dilatation thermique.
Nous nous proposons de transformer cette fonction en une autre fonction de métne forme, dans laquelle T soit la variable: f et T sont reliées par l'équation
( ^=^T — T(ioo — T)(Â-f-BT-T-GTî) ^^^ I =T(i4-H-+-IT-+-KT«-f-LT»).
en posant
H = — looÂ,
^. r I — A — looB, ,
(3) '} d'où
L ^^ G, / r r« zi :: ii __ i
Posons i-+-H = H', et étendons les considérations qui vont suivre au cas où H' est très différent de l'unité. La transformation ne s'appliquera plus alors seulement au cas du passage d'une échelle centigrade à une autre échelle centigrade très voisine; en donnant à H' des valeurs convenables, elle pourra servir à passer du système centigrade au système Réaumur et inversement.
En introduisant la valeur de t, tirée de (2), dans l'équation (1), on obtient une fonction du huitième degré, que l'on peut écrire
(4) It= /o(n-aT-4-bTî-4-cT3-t-liT*-4-eT8-f-fT«-hilT''-*-||T«), en posant
a=aH', e = 2p(H'L-+-IK),
b = al -+- pH'ï, f = p(K»-i- 2IL).
c =aK-h2pH'I, = 2pKL,
li = aL4-p(I«-+-2H'K), I) ^ pL».
La relation (4) est rigoureuse, mais elle est inapplicable; nous nous proposons de la remplacer par une formule du second degré
(6) LT = /o(i-Ha'T-f-p'T«),
dont les coefficients a' et P' seront déterminés par la condition que, entre deux températures données T^ et T2, la somme des carrés des différences entre les allongements soit un minimum. La condition mathématique du problème est donc
(7) I (Ij — Lt)*^^ = mini]
''. ' )^ ' "inimum.
En posant
(8) ttT4-bT«-f-cT»4-bT*-f-eT»-hfT«4-iiT7-h|>T8 = M,
cette condition se résout dans les deux suivantes :
-, f '(M-a'T~p'T«)»rfT=:o,
A y '(M--a'T-P'T«)«6rr = o.
En effectuant la différentiation, on trouve
f (a'T«-hp'T»-MT)rfT = o, f (a'T8 4-p'T*-MT»)rfT=o
et, par suite,
r|a'T»-f-Jlp'T*— |oT»— ibT*— IcT*
i a'T*-f- 1 p'T» - A aT*— I bT«— j cTs
Ce sont les équations normales du problème.
Les coefficients de dilatation sont déterminés, le plus souvent,
282 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
par des expériences partant de 0°; nous admettrons cette température comme limite inférieure; en remplaçant, pour simplifier récriture, Ta par T, les deux équations précédentes s'écrivent
( f«'H-ip'T = |a4--JbTH-|cT»H-lliT»-hleT*-f-ifT»-+-|iïT«-+-i^T7,
on tire de là
(i3) * «'=«-|fT*-AïT3__§eT*~|fT»-|jT«-ffl)Ts
Ces deux formules générales donnent les valeurs des coefficients a' et jî', dans l'échelle T, entre les limites o*' et T°, si Ton admet que ^ et T sont reliés par une fonction du quatrième degré; et I) s'annulent, si la relation adoptée est du troisième degré.
121. Cas particuliers. — Nous avons pris comme tjpe du thermomètre à mercure le thermomètre en verre dur; c'est à l'échelle particulière à ce thermomètre que nous ramènerons, dans ce qui suit, les coefficients donnés en fonction des échelles des autres thermomètres \ mercure. Les coefficients ainsi modifiés, ainsi que ceux qui sont exprimés directement en fonction des thermomètres à azote et à acide carbonique, seront ensuite transformés dans l'échelle normale. Nous prendrons, comme limites entre lesquelles les formules doivent concorder le mieux possible, les températures extrêmes auxquelles on peut faire de bonnes mesures au comparateur ou à l'apareil Fizeau, savoir o** et 40** pour le premier, o** et 85** pour le second de ces instruments. Les formules seront appliquées à une partie des échelles dont il a été question dans les Chapitres IV et V.
Thermomètres en cristal ordinaire et thermomètres en verre dur. — La difl'érence de marche est exprimée par (p. 21 5)
te — ti,= t{ioo — ^) (16,701 — O,O025^)lO-«.
Au degré d'approximation que Ton peut garantir dans le résultat de ces comparaisons, Téchelle t est indifitéremment celle du verre ou du cristal.
Les valeurs de H, I, K, L à introduire dans les formules (5)
sont, d'après (3),
!! = -♦- 1,6701.10-', I = — i6,95o .lo-*, K =-i- a, 5 .io-«, L = o;
d'où
b =— i6,95o.io-«a-+-i,oo3343p,
• f = -H 6,2 .io-*»P;
g et I) sont nuls.
En remplaçant dans les formules (i3), on a, pour T = 4o**,
a„ = 1, 001 668 5 a^H- 0,021 5 p^, p,, = — i6,8i7.io-«ac-l- i,ooi54Pc«
Pour T= 85%
Œp = 1, 001 663o a^-i- 0,0963 Pc, PiP = — 16,668. io-«ac-+- o,99955pc.
Thermomètres en cristal dur et thermomètres en verre dur, - La formule de réduction est (p. 21 5)
t!c — tv= /(loo — 0(14,126 — o,o3ii^)io-«.
Il résulte
I =— 17,236 .io-«, K = -h3i,i .10-*, L = o;
d'où
a = -H 1,0014126a, b = — 17,236. ïo-« a -H i, 002827 p, c=-h3i,i .lo-'a— 34,52. io-« p, b = -+-62,6 .10-» p,
t= ~ 1,1 .io-"p,
f = -+- o,97.io-»p.
284 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
Pour T = 4o°,
P^ = — 15,578. io-«ai-+- i,ooii3Pc'.
Pour T = 85%
a^= 1,0013227 a;, -^0,0778 Pc, .
pp = — 18,712. io-«ac-T-o,99956p;:.
Thermomètres en verre dur et thermomètre à azote, — Nous avons donné précédemment (p. aSo) la relation
Ta, — ^„ = Ta,(ioo — TaO ( — 55,921 -h 0,496 16 Ta, — o,oo25865TL) io-«. On en tire successivement
et
a =-H 1 ,0055921a, b = — 0,10554.10-» a -h i,oii2i5p, c = H- o, 75481. lo-'a — 0,21225.10-* p, b= — 2,5865 . 10-9 a -«- 1,5292 .io-« p, e = —5,368 .10-» p,
f= -1,12 .io-««p,
a= —3,9 .io-«»p,
\^= H-6,7 .io-**p:
Pour T = 4o^î îl vient
«Al = i,oo52o36 ai,H-o,o887 p^, Pai = — 7i,i93.io-«a^-t- 1, 00290 p^.
Pour T = 85**, on trouve
aAx=^ 1,004318 3 a». H- 0,2543 P„, pAi = — 46,691. io-«a„ H- 0,998 3op^.
Thermomètres en verre dur et thermomètre à hydrogène. — Nous avons trouvé, dans ce cas (p. aS^),
Th — ^„ = Th(ioo — Th)^- 62,296 -t-o,48946Th — 0,001 28o5Tâ)io-<i
d'où
K =-h 0,61761 .10 •, L = — iy28o5 .io-«
et
b = — 0,11124.10 -'a -h 1,0 12498 p, c =-i-o,6i75i.io-«a — 0,22387.10-» p, ï = ~i,28o5 .io-»a-h i,255i .io-« p, t = —a, 714 .10-» p,
f= -h 0,666 .io-»«p,
B= —1,58 .io-»»p,
^= 4-1,6 .io-»»p.
Pour T = 4o%
«0= i,oo588i 2 a«, -ho,ioi8 p„, pH = — 8i,235.io-«ât,-r-i,oo3i8Pi,.
Pou^T=85^
an— 1 ,0048943 a„ -4- 0,2960 p,;, pM = — 5i ,475. io-«a^ 4- o,99774P„.
Thermomètre à acide carbonique et thermomètre à hydrogène, — La iransformation rigoureuse exigerait que la différence des échelles fût d'abord exprimée en fonction des indications du thermomètre à hydrogène; mais les modifications introduites dans les formules seraient de beaucoup inférieures à Terreur probable du résultat ; nous pouvons donc adopter, pour la formule de réduction, la différence entre les formules qui servent à passer des thermomètres à mercure en verre dur aux thermomètres à acide carbonique et à hydrogène. Nous aurons ainsi (p. 254)
Tco« — Th = T(ioo — T)(-i- 28,910 — o,o9o36T — 0,000 38731 T«)io-«.
Nous tirons de là
I =— 37,946 .io-«,
286 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
et
b = — 37,946 .io-«a-h 1,005790 3,
f = -h5i,63 .io-«a — 76,1114 .io-« p,
b = -H 0,3873 .lo-'a-i- o, 105998. io-« p,
f= — 0,0267 .io-*'p,
H = -H o,o4o .io-»»p,
\f = -4- o,i5 .lo-i'p.
PourT = 4o%
«H = 1,002844 aco«H-o,o436 Pco"> Ph = — 34 , 3o8 . 1 o-« «CD» H- 1 , 002 04 pco«-
Pour T = 85%
an = 1 , 002 606 aco« -+- o , 1 56 9 pco«> Ph = — 28,098. io-«aco« -h 0,99893 PcQt.
Les formules précédentes peuvent être combinées entre elles, de manière à donner de nouvelles formules de transformation : nous exécuterons encore les calculs suivants.
Thermomètres en cristal et tfiermomètre à hydrogène. — En introduisant les valeurs de a^ et ^i^, en fonction de a^ et ^c dans les formules qui donnent an et j^h par rapport à ol^ et ^c^, on trouve :
Pour T = 40°,
an = 1,0075578 ac -1-0,1236 Pc, Ph = — 985^1 • io-«ac H- 1 ,004 72 Pc.
Pour T = 85%
an = 1 ,006 56o 5 a^ -+- o , 3926 Pc, pu = — 7i,i96.io-6ac-t-o,99729pc.
Thermomètre à azote et thermomètre à hydrogène. — Ea résolvant par rapport à a^ et P„ les formules qui relient a^^, et ^^x à ces dernières quantités et en introduisant dans les valeurs de an et pH) ^^ trouve :
Pour T = 4o%
«H = 1,0006750 aAi -^-o,oi3o Pax, pu = — 9»970-i«~*aAi-T- 1, 00028 pAï.
Pour T = 85«,
«H— 1 ,0005754 aA« -h 0,041 6 Paii «H = — 7i777- io"*«A« -^ o,99944Pai.
Les formules qui viennent d'être développées s'appliquent avec une approximation satisfaisante à la résolution du problème proposé, pour des limites de température plus rapprochées que celles pour lesquelles les coefficients ont été calculés; mais, en dehors des limites prescrites, les divergences entre le trinôme de dilatation primitif et le trinôme transformé croissent rapidement. Si Ton veut établir la concordance des dilatations entre des limites sensiblement plus éloignées, il convient d'établir les formules qui servent à la transformation en question.
122. Vérification. — Il est utile de vérifier le calcul numérique par un chemin détourné. On y arrive, en calculant les dilatations, pour un certain nombre de températures équidistantes, par la formule donnée et par la formule transformée ; on donnera à ^, dans ces deux formules, les valeurs correspondantes d'une même température dans les deux échelles. Les Tables VIII, IX et X peuvent être employées pour ce calcul.
Dans la plupart des transformations qui viennent d'être indiquées, on a réduit au second degré une fonction du huitième degré de la température, en cherchant à faire concorder le mieux possible les résultats. Les deux fonctions ont seize valeurs communes, parmi lesquelles plusieurs peuvent être infinies ou imaginaires. Les autres, généralement en petit nombre, sont réelles et comprises entre les limites prescrites pour la concordance. Aux autres températures, les valeurs des fonctions diffèrent.
123. Exemple. — M. Benoît a trouvé (* ) pour la dilatation du trépied de l'appareil Fizeau dont il s'est servi :
ac = 8, 539594. io-«, Pc = 2,2985 .10-».
L'échelle de température est celle des thermomètres à mercure en cristal ordinaire.
(*) Travaux et Afemoires, t. VI, p. 98.
288 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
En substituant successivement dans les formules de transformation dans Téchelle du verre dur, de l'azote et de l'hydrogène, entre o° et 4o**, on trouve :
«v =8,553892 . io-«, pp -- 2,i584 . 10-»;
aAi = 8,598594 . io-«, Pa«- 1,5557 .10-»;
otH — 8,604 4 '8 • lo-*, Pii= 1,4704 • 10-».
Les valeurs correspondantes des mêmes températures dans les quatre échelles sont :
Indications correspondantes des thermomètres à mercure à gaz.
en cristal en verre
ordinaire. dur. Azote. Hydrogène.
Les dilatations moyennes entre o**, 10°, ao", 3o° et 4o**, sont :
t^. Cristal. Verre dur. Azote. Hydrogène.
Les allongements en microns par mètre sont les suivants :
Cristal. Verre dur. Azote. Hydrogène.
10 85,626 85,626 0,000 85,6i4 -ho,oi2 85,617 —0,009
20 171,711 171,710 -ho,ooi 171,712 —0,001 171,713 — o,ooa
40 345,261 345,263 —0,002 345,245 -f-o,oi6 345,246 ~o,oi5
124. Changement du système de températures. — Bien que, dans la presque totalité des travaux scientifiques actuels, le système centigrade des températures soit le seul employé, il convient d'établir les formules qui relient les fonctions exprimées dans ce système à des fonctions des systèmes Réaumur et Fahrenheit.
Pour ramener au système centigrade une dilatation donnée
dans le système Réaumur, on remplacera la relation (2) du n° 120
par
/ et T désignant la même température dans les systèmes Réaumur et centigrade. En remplaçant dans (5) et (i3), on trouve
a = 0,8 «R = ac,
b = o,64pR = :V C, 1^, . . ., ly sont nuls.
Si l'on veut passer du système Fahrenheit au système centigrade, les formules précédentes, trouvées eu supposant que les deux systèmes partent du même zéro, ne suffisent plus ; il faut
poser
En substituant directement dans Téquation (i), on trouve
«c = 1,8 ar-+-i i5,2pr, pc=3,24pF.
La longueur initiale à o°C., par rapport à la longueur à o"F.,
est
lo(i-h 32aF-+- 1024 ?f)-
Une dilatation exprimée dans le système Fahrenheit par
/f = /o(n-aF/-4- ?F^')
sera donnée, dans le système centigrade, par
lj= /o[iH-32aF-l-io24?F-+-(i,8aF4-ii5,2pF)TH- 3,24PfT«]. Pour les transformations inverses, on posera
pour passer du système centigrade au système Réaumur ; d'où
b = i,5625pc=?R, G. 19
et, pour passer du système centigrade au système Fahrenheit,
On en tire
ar = 0,555. . ., Oc — I9i753 pc»
pF = o,3o8G4 Pc.
La longueur initiale à o^F. est
^(i — >7>77---»«c-+- 3i6,o5Pc).
Si, enfin, on veut compter les températures à partir du zéro
absolu, on posera
/ = T — 273, d'où
/o(i + «/ -t- p/») = /oli " 273» -+- 74529P -h (a — 546p)T 4- PT«]. La longueur initiale au zéro absolu devient
/o(i — •273a-h74529p); les nouveaux coefficients de la dilatation sont
12o. Dilatations cubiques. — Les formules développées précédemment peuvent être appliquées directement au calcul des dilatations cubiques.
La dilatation linéaire d'un corps étant donnée par une formule contenant les deux premières puissances de /, la dilatation cubique sera exprimée par une fonction du sixième degré en /. Cette fonction pourra êlre réduite au second degré par les formules (i3) du n^ 120, dans lesquelles a, b, r, ... sont les coefficients des puissances croissantes de / dans l'expression de la dilatation cubique ; et 1) sont nuls.
Supposons le cas tout à fait général où les dilatations sont différentes dans trois directions perpendiculaires, et désignons para, et Pi, a2 et ^3, aj et ^3 les coefficients de la dilatation dans chaque direction ; nous obtiendrons les deux coefficients d^une formule quadratique pour la dilatation cubique en introduisant, dans les
deux formules (i3), les valeurs suivantes des constantes :
a = «i + flij -1- ocg,
c = a, p, -+- a, p, H- a, Pi -+- «i ps -h «i Pi -h «i pi H- «i «j aj, ^ = PîPjH-p3pi-*-Pipi-Haîaapi-Hasaipi-r-a,a,p,, f = «1 Pî P» -H «t P» Pi -+- «3 Pi Pî, f=PiP.P».
Lorsque les dilatations sont les mêmes dans les trois directions, les formules se réduisent à
b = 3(a«--P), c = a(a*^6P), l, = 3p(«î^P), f=3ap«, f=P».
Dans ce dernier cas, on aura
a' = 3a — 1 a(a«H- 6p)T«— k} p(a«-r- p)T»— \-l ap«T*— | p^T*,
p' = 3(a«-f- p) -h I «(««-+- 6 p)T -H ia p(a« h- p)T« -f- M «pîT'-H 1| p*T^
Dans Fétat actuel des mesures, il est rarement utile de conserver plus de deux termes dans chaque formule.
126. Compensation entre les coefficients. — Premier cas. — Lorsqu'on réunit les résultats des mesures relatives à une variation thermique dans une formule du second degré, les variations sont représentées aussi bien que possible par la formule trouvée ; mais des données expérimentales très peu différentes peuvent conduire à une formule dont les deux coefficients diffèrent sensiblement de ceux de la première ; l'un sera plus petit, l'autre plus grand que le coefficient correspondant ; les variations données par chacun des termes différeront, mais leur somme se rapprochera beaucoup de la variation donnée par la première formule. Il est aisé de s'en rendre compte.
Considérons une dilatation et prenons comme exemple le platine
292 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
iridié. Le coefficient du terme en t^ est égal à i,5.io~* environ. Entre 0° et 4o**, ce terme donne, pour 1", un accroissement de 2(^,4 l si donc nous réunissons les extrémités de Tare de la parabole de dilatation par une droite, la courbe s^en écartera, au maximum, de ot^,6; il suffira donc de commettre, aux deux extrémités et au milieu de la mesure, des erreurs de ot^,3 en sens contraire, pour annuler le coefficient p. Le coefficient a sera augmenté, et les dilatations données par les deux formules différeront au maximum de o(^, 3.
Les résultats accessoires des comparaisons de thermomètres nous ont conduit à affirmer que le coefficient du terme en t^, dans le verre et, a fortiori, dans les métaux et alliages d'une composition déterminée possédant de bonnes qualités thermiques, concorde, d'un échantillon à Tautre, beaucoup mieux que des expériences directes ne permettraient de le supposer.
Après avoir déterminé la formule de dilatation pour un certain nombre d'échantillons d'un même métal, on pourra donc admettre que, dans ces diverses formules, le coefficient p doive concorder, et calculer, pour chaque échantillon, le coefficient a en adoptant, pour ^, la moyenne des nombres trouvés.
Nous aurons donc à résoudre le problème suivant :
Étant donnée la fonction entière du second degré représentant le mieux possible le résultat des observations faites sur une variation thermique, et la nouvelle valeur du coefficient du terme au carré ^ trouver la valeur du premier terme pour laquelle la seconde formule se rapproche le plus possible de la première.
Soit
la formule de variation trouvée ; remplaçons jî par ^', et cherchons la valeur de a' qui, mise dans la fonction
satisfasse à la condition
(/J — ItY dt = minimum.
ou
Nous aurons donc
/ [(a'— a)t H- (P'— p)f«]« dt = minimum
On tire de là
et, en efiectuant l'intégration,
d'où
Pour ^1 = o,
Les deux formules concorderont le mieux possible entre o** et t^. Ce problème est susceptible de nombreuses applications.
Deuxième cas. — Un grand nombre de dilatations, déduites par un calcul rigoureux ou non d'expériences souvent bien faites (*), sont exprimées par une formule du troisième ou du quatrième degré, tandis qu'il serait le plus souvent possible d'établir une formule du second degré représentant les résultats des expériences avec des écarts de beaucoup inférieurs aux erreurs des mesures. Certaines de ces expériences devraient être discutées et soumises à un nouveau calcul; pour d'autres, on pourrait se contenter de réduire à un degré moindre, au moyen d'une transformation générale, la formule donnée par l'auteur.
Les équations (i i) du n** 120, résolues par rapport à a' et jî', ou, dans un cas particulier, les formules (i3) peuvent servir à cette transformation. Les coefficients a, p, y, o de la formule donnée seront assimilés à (t, b, C, 1»; les parties droites des équations (i3)
(') Par exemple, les dilatations des liquides déterminées par Isidore Pierre.
294 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.
ne contiendront plus que deux ou trois termes, suivant que la formule primitive en contient trois ou quatre.
