SA MESURE

Une force est constante lorsqu'elle agit toujours avec la même intensité ; elle est directe quand son action s'exerce dans la direction du chemin parcouru par le corps, ou l'organe sur lequel elle agit, tel est le cas de la pression ou de l'effort exercé par la vapeur sur le piston.

On admet en mécanique et on peut considérer comme évidentes ces deux propositions :

i^ Les quantités de travail développées par deux efforts constants et directs agissant sur le même chemin sont proportionnelles à ces efforts ;

2^ Les quantités de travail développées par deux efforts égaux et directs sont proportionnelles aux chemins parcourus.

Si nous représentons par T le travail développé par une force F en parcourant un chemin E et par T' le travail développé par une force F' sur un chemin E' ; les deux quantités de travail T et T' développées dans ces conditions seront proportionnelles aux produits des efforts par les chemins parcourus et nous aurons T:T'::FxE:F'xE'.

Si F' = 1 kilogramme et E' ^ 1 mètre, T' exprimera l'unité de travail 1 kilogramme et l'on aura T = E x F.

Représentation graphique du tratail. — Prenons le travail développé par une force constante et directe et représentons le chemin

PDISSANGS DBS MAUHINBS

frft^tA,

Fig. 683.

parcouru en mètres par une certaine longueur à une échelle donnée» et de môme reiïbrt estimé en kilogrammes par une certaine longueur à une échelle également donnée ; tirons une ligne horizontale AB représentant à l'échelle ^ ^

indiquée le chemin parcouru ; élevons au point A une perpendiculaire AD indiquant la vapeur de l'effort en kilogrammes à l'échelle convenue ; construisons le rectangle ABCD, la surface de ce rectangle représentera en kilogrammètres le travail développé par une force F égale à AD pour un chemin AB. Car, si à l'échelle, on a pris K centimètres sur la ligne AB dite des abscisses pour représenter 1 mètre et K' centimètres sur la droite AB des ordonnées pour représenter i kilogramme ; la surface K x K' représentera un kilogrammètre

et Ton aura T travail = surface t? =?; .

Cas d'une force directe et Tariable. — Si la variation de l'effort est représentée par la ligne Dc'd'tf/^p'C, on divisera cette ligne en

un certain nombre de parties de telle façon à obtenir des éléments rectilignes qui permettront l'effort moyen entre deux variations; ainsi de D en c' on prendra l'ordonnée moyenne de même de c' à â! \ calculons les surfaces élémentaires ADc'c, cc^ôiày etc., faisons la somme de toutes ces surfaces élémentaires et nous aurons la surface totale ABCD exprimant le travail, et en la divisant de même par le produit K X K' qui représente la surface d'un kilogrammètre, on aura le nombre de kilogrammètres développé par cet effort variable sur un chemin parcouru AB.

Cas où la force croit de quantités proportionnelles aux chemins décrits. — Dans ce cas, la ligne qui limite les variations de l'effort peut être une suite dviiy et l'expression du travail est représenté par la sui*face du trapèze am m!a! et Ton a

amm'a F + F' x E

T = surface

kxk'

u la ligne am* qui limite les efforts peut être la branche d*une iraboie dont Taxe est ax perpendiculaire au chemin parcouru.

IIACHINBS A VU>EUR MABIKES

face représentanl le travail est égale au rectangle amKa' ntée du segment parabolique Ka'Km' dont la surface est lU 1/3 du rectangle a'Km'x.

FiR. 6tU;.

Fig. 6ti6.

id la ligne qui limite len effort» eut quelconque un peut empour évaluer la surface lu méthode de Simpson qui condiviser la base en un certain nombre de parties égales, r une perpendiculaire à chaque point de division sur la :ela fait pour obLenir la valeur de la surface : prendre la ! des perpendiculaires extrêmes, à cette mesure y ajouter ble de la somme des perpendiculaires de rangs impairs, quadruple de la somme des ordonnées de rangs pairs ; on lie le tout par la base et l'on divise ce produit par le triple rjsions.

'un effort de direction et d'inteniité constantes mais n'agiuant Il la direction du chemin parconni. — Ainsi, un corps A placé plan incliné abc, est sollicité par son poids P qui est vertipnr suite de la résistance du plan incliné, il suit la direction bc au lieu de la direction h de son f ' poids.

Le travail développé est donc V x h et non P x b'c, la longueur du chemin réellement parcouru par le corps, et cela quelles que soient la longueur et l'inclinaison de l'hypoténuse bc.

Pour établir celte proposition d'une Yig, 667, manière générale, plaçons le corps A en

question à la position a et forcé de suivre action représentée par la ligne ai, et supposons qu'il soit é par une force F dont la direction reste constamment ■le a ax.-

plaçons la force F par un poids P équivalent et agissant à mité d'un fil inextensible et flexible agissant dans la direc- ; la force F et s'enroulant autour d'un rouleau placé en K

PCISSAKCB DES MACHINES 89

supposé sans frottement, la distance aK étant suffisamment longue pour admettre que dans les diverses positions qu'elle prendra en passant de a en i elle reste constamment parallèle à elle-même.

Quand ie corps passe de la position a à la position b et parcourt le chemin élémentaire ab, le poids P qui était en m descend en m' ; car les deux directions du fil peuvent être considérées comme

tangentes au même point K, ai donc de ce point comme centre %-ec une longueur 6K comme rayon nou s décrivons l'axe élémentaire 66' qui se confondra avec la perpendiculaire 66, nous aurons ob' = mm' quantité dont le fil s'est raccourci d'un côté et augmenté (le l'autre de la même quantité. Quand le point P a passé de m en Ml', le travail développé par la forme F et par le poids P' étalent t^gaux entre eux et à F x mm' et I' x mm' ; en remplaçant mm' par son égal ab' nous aurons T = P x aô' =r F x où', or ali' est la projection du chemin parcouru sur la direction de la force.

Donc dans ce cas on peut dire que le travail développé est égal à l'effort exercé multiplié par la projection du chemin parcouru 9Ur la direction de l'effort.

Ca* où ]e chemin parcouru eit rectiligne. — Si nous désignons }>ar > l'angle que fait la direclioc de l'effort ¥ avec celle du chemin

rectiligne E parcouru; lorsque le corps ^ -

aura parcouru l'élément e sur sa direc- ■ ion, le travail développé T sera = à ' X e coB a, expression que l'on peut ■lettre sous les formes T = F x e cos se, f- — e (F cos a) T 33 (F x e) cos à. C'est-à-dire que le travail est égal à iffort multiplié par la projection de Fig, ^g,

'ffort sur le chemin parcouru, ou à

tffort multiplié par le cosinus de l'inclinaison multiplié par le lemin parcouru, ou à l'eiïort multiplié par le chemin parcouru par le cosinus de l'inclinaison.

MACHINES A VAk»ËUR llAHmES

CAS UKNKHAL DUNE POftGK d'iNTBNSITB ËT DB DIRECTION VARIABLES

Tel est le cas d*ttne bielle et de sa manivelle. — Pour obtenir

le travail transmis par la bielle B sur le bouton de la manivelle M par le tige du piston T. Il suffira de diviser la circonférence décrite par le bouton de la manivelle en un certain nombre de parties égales, 12 par exemple, de prendre Tinclinaison de la bielle avec la tangente menée à chaque point de division et de multiplier cet efforts par le cosinus de Tangle adjacent ou de l'inclinaison de la bielle avec la tangente menée à chaque division; de développer la circonférence décrite par le bouton de la manivelle» de diviser cette droite en un même nombre de parties égales que la circonférence, d'élever à chaque point de division une perpendiculaire représentant le produit de lefîprt par Tangle d'inclinaison et de joindre tous ces points par une courbe continue; la surface ainsi comprise entre la ligne des efforts et la droite représentant le développement de la circonférence exprimera le travail en kilogrammètres développé par la force variable, en ayant eu soin préalablement de prendre à une même échelle, K millimètre pour représenter en kilogrammes les efforts et K' millimètre pour présenter le mètre.

ÎFIk. 670.

N* des diviâious.

ElTorls.

Inclinaisons.

ProduiU.

So»*

bs-^

Si nous désignons par P les ordonnées de rangs pairs et par 1 de celles de rangs impairs, par E celles des extrémités.

PUI»SAKGB DBS MAGHUCBS

Nous aurons pour expression du travail en appliquant la formule de Simpson et en supposant que le rayon de la manivelle soil de 0«»,4S.

T kilogrammètre =

C'esl-â-dire que le travail développé est égal à la longueur de la circonférence multipliée par 4 fois les ordonnées de rangs pairs plus deux fois celles de rangs impairs, plus les ordonnées extrêmes. Le tout divisé par trois fois le nombre des parties.

Moyen de Tobtenir à Taide d'an indicatenr de pression. — Les moyens que nous venons d'indiquer, ne conviendraient pas pour 1 évaluation des machines puissantes.

Pour celles-ci on se sert de Tun des indicateurs que nous avons décrits et qui permettent d'estimer la variation des efforts pendant la durée de la course du piston moteur, et par conséquent de déterminer l'effort moyen qui agirait pendant toute la course et produirait le même travail.

L échelle de pression de l'indicateur étant connue pour produire une llexion de tant de millimètres par kilogramme, il est donc facile à l'aide d'une courbe tracée sur chaque face du pistou moteur; c'est-à-dire pendant la course montante et pendant la course descendante, de déterminer la valeur de l'ordonnée en kilogrammes ; autrefois les indicateurs étaient gradués en atmosphère, c'est-à-dire pour une pression d'une colonne de 0,76 de mercure correspondant à l'^SyOSS par centimètre carré ; mais on a remplacé cette unité par le kilogramme, comme par les manomètres des chaudières.

Supposons le diagramme relevé sur les deux faces du piston et soit repitésenté par les courbes (iFXQMOG pour la course montante, et KEXSNK pour la course descendante, la ligne GK représentant la ligne atmosphérique ou la ligne des zéros tracée par le style de {Indicateur dont le piston n*est soumis à aucune pression ; celte ligne GK représente aussi à une certaine échelle la course du piston et par conséquent les volumes successifs de la vapeur.

Divisons cette droite à l'aide d'un instrument spécial en forme

de V articulé, en un certain nombre de parties égales 10 par

exemple pour simplifier les calculs dans l'estimation de l'ordonnée

I moyenne, par chacun des points de division, élevons des per-

I pe idiculaires qui seront limitées en hauteur par le périmètre

I de courbes ; encadrons ces courbes par les perpendiculaires

FGB el EKB' élevées aux points G et K et tangentes aux cpurbes. Les points G et K marquent les extrémités du développement du papier, par conséquent la courbe ne peut avoir des points à gauche de FGB et à droite de EKB' et si les points extrêmes de la droite n'étaient pas bien marqués, et indiquaient seulement la direction de cette droite, on modifierait la position de ces points en menant la tangente à la courbe en M et en S, qui donneraient l'intervalle que l'on diviserait en 10 parties égales. La

Fig. 671 .

courbe étant limitée par les deux tangentes FGB et EKB', divisons la longueur de la droite GK en deux parties égales et aux points l, 2, 3..., 10 élevons les ordonnées yî/yjy,o- Nous décomposerons ainsi la surface de la courbe GF x QMOG en dix tranches qui peuvent être considérées comme des trapèzes ayant pour hauteur la distance comprise entre deux divisions 4-2, 2-3, etc., et pour base l'ordonnée moyenne entre les perpendiculaires 1 et 2, 2-3, 3-4, etc., c'eat-à-dire que chaque trapèze aura pour

y + î/ ^„ V xy^, y y étant l'ordonnée moyenne

mesure

ou

10 '^ 2 ^" 10 entre y et y'. Donc la surface totiile de la courbe GF x QMOG aura pour mesure la somme de tous ces trapèzes et une exprimée par l'expression

GFXQMOG = GK X

(3/i + 1/2 + ys -J- yio)

IF PnSSANCK DR!! MACHINES 91

Or le numérateur de la fraction exprime la somme des ordon-

nces, le dénominateur le nombre de ces ordonnées, ce qui donne

comme résultat la valeur de l'ordonnée moyenne. Cette ordonnée

se rapprochera d'autant plus de la réalité que le nombre de divi-

j sions égales sera plus grand; maïs en pratique on se contente

I de la division 10 que nous avons adoptée. Quelquefoifi on rectifie

j les extrémités des courbes par des lignes droilos; et si les ondu-

I lations de la courbe sont trop accentuées, on enveloppe ces

I ondulations par une courbe extérieure et une courbe antérieure.

et on fait passer entre ces deux courbes extrêmes une courbe

moyenne sur laquelle on agit comme sur la courbe précédente.

Ainsi, la courbe ABMPQA est rectifiée par len deux courbes poinlillées tangentant les ondulations et c'est sur la courbe médiane pointillée que l'on calcule l'ordonnée moyenne.

On pourrait également déterminer la surface de la courbe par la méthode Simpson; en divisant la surface par la base on aurait la valeur de l'ordonnée moyenne.

Connaissant l'ordonnée moyenne que l'on obtient pratiquement en reportant toutes les longueurs des ordonnées à la suite les unes des autres sur une bande de papier et en divisant cette somme exprimée en millimètres par 10, on n en millimètres la valeur de l'ordonnée moyenne; connaissant l'échelle de tant de millimètres pour un kilogramme, on a donc la valeur en kilogrammes de cette ordonnée La droite BB' représente le vide absolu, GB est la pression atmosphérique du moment. GV le vide relatif.

Pourdéterminer la puissance delà machine, représentons par D te diamètre du cylindre ou du piston en mètres, par C la course également en mètres, la surface du piston sera :

itD» ; tD' .

— T — en m ou 10000 —7— en cm

En faisant la somme de tous les travaux élémentaires du piston en passant successivement par les divisions 1, 2, 3, 10 ; avec les pressions représentées par les ordonnées y^, y„ y,, y,,, exprimées en kilogrammes; nous aurons successivement de 0 à 1. de l â 2, de 9 à 10, les expressions suivantes qui nous donneront

9 travaux correspondants, en représentant ces travaux par

résentant la distance 0-1 et >/„ l'ordonnée en kilogramme, par ti mètre carré.

M\GHINBï A VAPKIII UAdlMES

C, = 10000 X -2^ X Vi X -nr i^„=10 000^XI/„X-^

il In flomnip, noue aurons le travnil (otni.

, + i, + (,„ = iOOOO X -^ X ''''■ + V',.+ ^-' :

R numérateur de Ih parenthèse = 10, multipliant et ilivi- ■ 10. il vient en mettant 10000 — — x -rr- en facteur

antJlô de la parenthèse indique la pression moyenne (] igneronsparp'.

r = ^xinûooxCxp'

î dos façon du piston et pour l'antre rafr. T" ~ -^^ X 10000 X C X p"

;nanl par p" l'ordonnée moyenne. En faisant la somme , ipelant p lordonnée ou pression moyenne entre p' et p", — p; noua aurons pour expression du travail pour un si N représente le nombre de tours par minute, nous )Our N t<)urs et par t".

NT lOOOOirll' ^ „ N

'm- = 4 xcxapx— ,

en kilogrammëlres el en chevaux de IW.

F = 3,490638 D'GNp.

10 000 X -2 X :i.li:4 X 60 x 7r. =4.490658.

PL'ISSANCB DBS HACHINES 93

Si p au lieu de représenter des kilogrammes par centimëtj-e carré représentait des centimètres de mercure, le fadeur constant seul varierait, et en divisant par 76. nous aurions.

F = 0.0474638 D^CISp; ai p était exprimée en atmosphârs (76 centimêlres = 1.033) ; nous aurions : h' — .1,607246 n^CNp en divisant le facteur constant par l'ï.OSS.

La formule que nous venons d'établir est celle d'un seul cylindre; dans une machine à plusieurs cylindres il faut donc pour avoir la puissance totale, faire la somme de la puissance de chaque cylindre.

Par conséquent si ces cylindres ont même diamètre et même courae. p seule varie en représentant par Ap la moyenne des ordonnées""--^' "pour A cylindres. On aura donc pour exprcHSton de la puissance d'une machine a trois cylindres égaux et de même course.

t" F — 3,4907 AI>*CNp pour des cylindres égaux ;

a° Machines à deux cylindres inégaux. Les cylindres peuvent être inégaux: les types les plus répandus sont généralement, d'un petit cylindre et d un grand, ou d'un petit et de deux grands du même diamètre, ou d'un petit et de trois grands dont deux ont le même diamètre, la course étant la même.

Dans ce cas, comme D et p varient, il faut donc établir les quantités relatives au cylindre D et au petit cylindre rf Hoient IH', et dp, ces quantités. Nous auron;: pour rexprcHwiim de la puissance, le nombre N étant le même.

F = 3,4007 es (n*P, + rf'p,]

On écrit souvent cette formule soub une autre forme quand la vapeur passe d'un cylindre A l'autre, en multipliant et en divisant par D*.

On remarque dans cette formule que si l'ordonnée p des formules précédentes était égal à :

p=(|.. + ^xp,).

on obtiendrait la ni^me puissance avec le grand cylindre seul.

3* Machines à trois cylindres, un petit et deux grands égaux en diamètre, et même course tous les trois; soit P, et P, les redonnées moyennes le« deux grands cylindres. F devient

F = -l-iflOT CN flrf'p, + n' (p, + p,)]

MACHINES A VAPEUR MARINKâ

iplacer P, + P^ par deux foin la moyenne P' de t

F = 3,i9Q- (rf»p, + 2 D»?"), rmulc si on mol 2D* en fadeur con

F = 3,4907 3 n»CN I

ule est la même que si on n'avait que le» d' idres, et si on y réalisait une ordonnée moye loyenne par portée aux grands cylindres ou i détente) p = -^^r- p, + P', ou bien que si on n'a' 'lindre dont le diamMre D' serait tel que; D'' = S ndrait à dire que la surface de son piston ou indré serait égal à. la somme des sections ou deux grands cylindres.

î à trois cylindres inégaux ; la course et le nom it communs; dans ce cas

F =: 3,4907 CN [(d*j), + (Pp* + D«)], t D' en facteur commun, cette formule peut preni

' = 3,4907 D'CN ^ A p, + ^ p, + P^

s à cylindres égaux en diamètre mais le cylin une course plus petite {Vengeur).

machine les trois cylindres ont le même diamètre leur à une course c plus petite que C.

s la puissance est représentée par;

F = 3,4907 D»iN [(Cp, + 2 C (P, + Pj)l,

ant et en mettant 2C en facteur commun et en f ■nnc des ordonnées P' des deux grands cylindres

F — 3,4907 X 2 D'CN (-^ p, + P' j .

icore déterminer la puissance des machines par

/antes.

PriSSANCE DRS MA(^Ht<iES 97

•sRJon en kilogrammes par centimètre carré pendant.

mètre des cylindres ;

itres la course des pistons (la même] ;

Tibre de tours par minute ;

mbre de cylindres égaux.

•e de chniiiie pisfon étant égale à 10000 -^ , la proa-

effective sur chaque piîston sera 10000 — r— x I* et le kiliwrammëtres, le nombre de courses C on la vile^se it -, sera représente parcylmdie par

T kilogrammèlres :

lOOOfl irlWNI' X 2

vail de chaque cylindre était égal on aurait :

T kilogrammèires rxliô "

ivaiit après réduction :

T kilogram mètres = 523,ft -5- D'CNP aux de7j kilogrammètres.

533,6 4- D=CNP

F chevaux =

-1 moyen effectif avait été calculé en centimètres de ar centimètre carré au lieu de l'être en kilogrammes,

noyen P serait alors représenté -^ — ~ — - centimètres r et la formule deviendrait :

F chevaux = 523,6 — "'^N "'°^^P' 2 7fl

ant les calculs

'- D=CNp

7,-A r chevaux =: —

cette formule, le nombre des cylindres est égal à ï ~ c'esl pour celte raison que l'on conserve — .

UACHINE6 A VAPEUR HARI>

^rmination de la force eiïective d'une machine sur l'arbre, ce eiïective sur l'arbre d'une machine est le travail dispoaccumulé sur cet arbre lorsque l'on a retranché du travail i pistons, le travail absorbé par les frollements, celui qui )sorbc par l'inertie des pièces animées d'un mouvement •et-vient, ce mouvement étant détruit à chaque fin de I, et enfin le travail résiiltanl du fonctionnement des pom-

: évaluer ce travail nuisible qui est estimé en moyenne à 00 du travail des pistons pour les machines à condensation, ; être plu!» élevé pour les machines à échappement direct el le pression; le coefficient K tel que nous l'avons admi lonc 0,75 du travail du piston. Nous aurons donc pou ision de la puissance sur l'arbre avec les deux formules ci