FONCTION DE LA BIELLE

La bielle devant transmettre la plus grande partie de l'effort qu'elle reçoit par son pied de la tige du piston au bouton de la manivelle, ou à la soie de Tarbre moteur, et donner lieu à la plus faible pression possible sur le patin et la glissière, il importe donc de lui donner une longueur convenable par rapport à celle de la manivelle et pour que cette condition de pression soit remplie, et que le rapport des vitesses entre le centre du bouton de la manivelle et celui du pied de la bielle ne présente pas trop de différence ; cette longueur est généralement égale à quatre fois le rayon de la manivelle, et quand les dispositions le permettent la longueur des coussinets de tête surtout est égale au double du diamètre du tourillon afin de diminuer la pression par centimètre carré. Dans les grandes machines où la place est limitée, la longueur du coussinet est égale au diamètre ou a une fois 1/4 seulement. A la pression exercée par le piston il faut encore ajouter la partie qui résulte du poids de la bielle pour les machines horizontales, et dans les machines verticales, la pression exercée sur les coussinets est augmentée du poids du piston et de tous ses accessoires. Puisque dans le jeu de la bielle il y a la force d'inertie qui joue un certain rôle et ce rôle étant important dans les machines à grande vitesse : il faut donc tenir compte de cet élément dans le calcul de ses dimensions. La bielle agissant par pression et par traction alternativement et pour chaque tour peut être considérée dans son application comme une colonne chargée à l'une de ses extrémités et reposant sur l'autre, et travaillant par compression.

Pour calculer sa section au milieu si elle n'est pas circulaire, on admettra qu'elle a une tendance à fléchir dans le sens de sa plus faible dimension. Quelquefois le corps de la bielle va en croissant depuis le pied jusqu'à la tête; c'est donc le cas de la colonne chargée à l'une de ses extrémités et appuyée par l'autre. Dans d'autres cas. si sa section est rectangulaire, elle est renflée à son milieu. En tout cas, comme cet organe est exposé à des efforts alternatifs de compression et de traction, on calculera sa section en doublant le coefficient de sécurité, et la pression P ciue la bielle supportera sera donnée par la formule P = 271^ x -^^ formule dans

laquelle E représente le module d'électricité du métal I le moment d'inertie / la longueur de la bielle et f le coefficient de sécurité qui ne doit pas être inférieur à 8 ou au moins à 6. Les dimensions transversales d'une bielle à son milieu sont

égales au 1 /28 de la surface du piston et aux extrémités -^ ; ces

dimensions correspondaient aux anciennes machines; mais actuellement avec le fer forgé ou l'acier, la charge peut être de 40 à 50 kilogrammes au milieu et de 90 kilogrammes à 100 kilogrammes aux extrémités.

Si l'on désigne par :

P la pression par cm* sur le piston ;

D le diamètre du cylindre, le diamètre de la bielle à ses extrémités sera donnée par la formule d = 0,072 P^ x D et à son milieu / étant sa longueur par d = ( i x 0035 x /) 0,072 x P"*" x D largeur de la tète prise dans la chape 0,L181 x P * X D épaisseur de la même partie 0,094 x P^ X D. Epaisseur moyenne de la chape au point de serrage de la clavette 0,03222 x P * x D.

Épaisseur moyenne au-dessus de la clavette 0,02392 x P *^ x D

Distance entre la clavette et l'extrémité de la chape 0,0366

Largeur de la clavette et des contre-clavettes au point d'assemblage avec la chape 0,083 x P^ X D.

Fig. A

Épaisseur commune des clavettes de la bielle 0,02128 x P * X D

Reprenons maintenant le jeu de la bielle au point de vue de

rinfluence due à sa longueur pour la régularité du mouvement et

sa pression sur le patin de la glissière et sur les articulations.

Pour trouver la pression exercée sur les glissières en raison

de la longueur de la bielle par rapport à celle de la manivelle.

3i6 MACHINES A VAPEUR MARINES

prenons une bielle B d'une longeur MN et une manivelle de rayon 0 M, soit N le tourillon de la tige du piston, où est articulé le pied de la bielle B; GG les faces intérieures de la glissière et PP les faces du patin appuyant sur les faces correspondantes des glissières et soit AO la direction de la tige du piston ; c'est-à-dire la direction de la poussée et de la traction exercées par cette tige sur le tourillon N et par conséquent sur la bielle B. Représentons, à une certaine échelle par les longueurs NK, et NK' la valeur de cette poussée ou de cette traction. Supposons que le sens de la rotation de la manivelle pour le sens de la marche AV soit représenté par la flèche d. La tige du piston dont la direction est AO et celle de la bielle étant MN, la poussée et la traction exercées par la tige sur la bielle n'étant normales que quand la bielle et la tige sont en ligne droite, c'est-à-dire aux points morts du piston et dans ces positions le frottement sur la glissière est nul. Dans les autres positions intermédiaires, cette poussée et cette traction se décomposent donc en deux directions l'une N f sur la direction de la bielle et l'autre Nf perpendiculaire sur la direction de AO fli'. Cette dernière déterminant le frottement sur la glissière inférieure, et comme dans un triangle rectangle un côté quelconque de l'angle droit égale l'hypoténuse multiplié par le sinus de l'angle opposé d'où f K' = Nf X Sin a, angle formé par la direction de la bielle et par celle de la tige du piston ; on voit que cet angle sera d'autant plus grand q'ùe le rapport entre la longueur de la bielle et celle de la manivelle sera petit, et que par conséquent la pression sur le patin sera d'autant plus grande elle-même que cet angle le sera. Aux points la poussée sur le tourillon de la manivelle est celle de la tige du piston; mais cette poussée qui, dans ces positions est maximum, appuie simplement l'arbre contre ses coussinets et ne détermine aucun mouvement de rotation; le travail du piston est donc nul en cette position.

BIELLK KT MANIVELLE

Relation entre les vitesses du centre du bouton de la manivelle et le pied de la bielle, trois cas :

Premier cas. D'une bielle quelconque. — Supposons d'abord une bielle d'une longueur déterminée, soit OM le rayon de la manivelle, MB la longueur de la bielle, A A' le diamètre de la circonférence décrite avec le rayon OM de la manivelle et BB' chemin parcouru par le pied de la bielle égal au diamètre AA', sur la direction AX qui doit suivre le pied de la bielle pendant que la manivelle décrit une circonférence. Le pied B de la bielle sous l'énergie qu'il conçoit d'une force appliquée en B se meut suivant

DESCniPTULN DES MACHINES

la ligne droite BB' et B'B pour le retour, tandis que le centre M du bouton de la manivelle OM parcourt les demi-circonférences A'MA et ADA'. Le centre M du bouton comme nous Tavons déjà dit. ne pourrait pas franchir lf»s points morts A ft A' sous uuf' vitesse aiMjuise préalableMiienl. Le mouvement du eentre M est i-in.ulaire continu et jréiiéralemeni uniforme, tandis que cehii du pied B est varié et rectilif^ne alternatif: il a son maximum de vitejç.se quand la direction de la bielle est perpendiculaire à la dirortion de la manivelle OM, à la position ON, il est nul aux points A et A', et c'est un avantage au point de vue des articulations ; car, comme le sens du mouvement doit être inverse à chaque bout de course s'il s'agit d'un piston, comme la vitesse est nulle, il n'a donc pas de vitesse à éteindre et s'il n'y avait pas de jeu dans les articulations il n'y aurait pas de choc par ce fait.

Prenons la bielle MB dans une position quelconque MB", et proposon.s-nous dans cette position d'établir le rapport des vitesses des points B" du pied de la bielle et du centre du tourillon de la manivelle, et pour cela appliquons la théorème de M. Chasles. Prolongeons la manivelle MO jusqu'à la rencontre en F de la perpendiculaire B"F élevée en B" sur la direction AX ; dans un déplacement élémentaire, les droites MF et PB" seront des normales à ce déplacement et le point F sera le centre instantané de rotation de la bielle, et par conséquent les vitesses des points M de la manivelle et B" du pied de la bielle seront proportionnelles aux rayons MF et FB". Traçons OU parallèle à FB".

Par celte construction, nous avons obtenu les deux triangles MFB" et MOK qui sont semblables et si nous désignons par u> la vites.so angulaire du centre de la manivelle par r son rayon et

par r la vitesse du point B", nous aurons légalité — = -pSTi

= — en désignant la droite OK par G, d'où wr = -rr ;d*où rz^wG.

Si comme nous l'avons dit, le mouvement du point M est uniforme, celui du pied B" est proportionnel à la quantité G variable en chaque position de OM. On voit clairement que dans une rotation

Fig. 224.

complète de la manivelle OM que v est maximum quaad la direction de la bielle MB est normale à OM; c'est-à-dire tang»eaie à la circonférence, position NB'" delà bielle qu'elle va diminuant de ce point N pour devenir nulle en A, augmente progressivement dans le mouvement descendant à partir du point A et redevenir maximum en un point symétrique de N sur la partie gauche de la circonférence et redevenir nulle en A'. A l'aide de la valeur que nous avons trouvée pour u, on pourra donc représenter graphiquement les vitesses et les espaces parcourus par les points M et B.

Pour cela il suffira de développer en ligne droite la circonférence directe par le point M, cette droite représentera la ligne des abscisses, de diviser préalablement cette circonférence en un certain nombre de parties égales, d'élever sur le développement de la circonférence des perpendiculaires à chaque division et de porter sur ces perpendiculaires ou ordonnés la valeur de v et de joindre tous ces points par une courbe continue.

Denzième cas. Bielle d'une longueur finie. — Avec une bielle d'une longueur finie, il est facile de remarquer que les chemins parcourus par le pied M de la bielle B sur le diamètre A'B' sont encore

proportionnels aux pro- ^^^ jections des axes dé-

crits par le centre G , sur le diamètre A'B'; 1 ^ mais qu'il n'en est plus de même par rapport à un diamètre vertical C'G". En effet, prenons le milieu M à la course ABj parcouru par le point M et égale au diamètre A'B', et de ce point milieu M décrivons l'arc CG, avec la longueur B de la bielle pour rayon, cet arc coupe la circonférence décrite par la manivelle OC aux points G et Gj en avant du diamètre G'G" perpendiculaire à A'B', divisant avec ce dernier la circonférence en quatre quadrants égaux; donc quand le centre G de la manivelle OG a parcouru les arcs A'G et AGj plus petits qu'un quadrant, le pied de la bielle a réellement parcouru la distance AM égale à la demi-course, par conséquent quand la manivelle OG aura parcouru un quadrant et sera venu en c', le pied de la bielle sera venu en M'; il ne lui restera donc plus à parcourir que M' B, pour le quadrant G'B'; de même pour le quadrant B'G" dont les espaces parcourus par des arcs égaux seront plus grands dans les quadrants de gauche A'G' et A'G" que dans les quadrants de droite G'B' et B'G". Gette particularité se démontre fticilement par la construction suivante.

Tirons le rayon OG rencontre de l'arc décrit de la mi-course M

Fig. 225.

comme centre avec la longueur de la bielle B comme rayon; comme MO :=. MG, le triangle MOG est isocèle, et si du sommet M nous abaissons la perpendiculaire MK sur le rayon OG le pied K de cette perpendiculaire divisera le ray n OG en deux parties égales; nous aurons donc dans le triangle MOK un côté quelconque OK de Tangle droit égal à l'hypoténuse MO multiplié par le cosinus a de l'angle MOK adjacent à ce côté; d'où cos a = -r^ , dans

cette égalité OM est la longueur invariable de la bielle B, oK est égal à la moitié du rayon oc\ donc la course qui est double du

rayon oc est égale par conséquent à 4 x oK ; d'où a = — , L désignant la longueur de la bielle B, donc l'angle a au MOK n'est pas un angle droit; car, pour qu'il fut égal à un angle droit il faudrait que comme» fût égal à 0^ ce qui ne peut exister qu'autant que la direction de la bielle B sera parallèle à la direction AB' ou fût

infinie et dans ce cas alors -rr = ^•

Partant de là, on voit que le volume engendré par le piston d'un cylindre à vapeur est plus grand dans les quadrants AG' et AC" que dans les quadrants C'B' et B'G", puisqu'en G et G, il a déjà parcouru la moitié de sa course; donc il lui faut plus de vapeur que pour son retour pour obtenir la même pression dans le cylindre ; il va plus vite pendant la première partie de sa course ; il faut donc des orifices de vapeur plus grands, par conséquent une avance plus grande du tiroir. Dans la construction des machines, on tient compte de l'obliquité des bielles pour régler la hauteur des recouvrements des barrettes des tiroirs sur les orifices. En résumé, plus les bielles sont courtes par rapport à la longueur des manivelles ou à la course du piston, plus il y aurait de variations dans l'admission de la vapeur et plus les pressions, et par conséquent les frottements, seraient grands sur les glissières; plus les vitesses sont irrégulières pour le patin et par conséquent les espaces parcourus et les volumes engendrés par le piston pour les arcs égaux de la manivelle.

La longueur de la bielle vaut en moyenne 4 fois le rayon de la manivelle.

Troisième cas. D'une bielle d'une longueur indéfinie. — Relation entre les vitesses et les espaces parcourus dans le cas d'une bielle infinie; c'est-à-dire parallèle à la direction du chemin parcouru.

Dans ce cas, comme nous allons le démontrer, les espaces parcourus par le centre du bouton de la manivelle sont égaux entre eux dans les quatre quadrants et les chemins parcourus par le pied de la bielle seront égaux pour des arcs égaux parcourus d'un mouvement uniforme par le centre du bouton de la mani-

320 MACHINES A VAPKUR MAHINES

velle. Cette condition est remplie par le cadre des pompes Thirion pi Mazeline.

Soit la bielle irifirii(» AH<»I la TiKUiivellp OA.

HA devant rester cnnsliunnjtMit parallèle à ♦»IU*-niênie, lorsiiii«« l«» <'**ntre A du tt^nrillun de la manivelle OA décrit la eirrcuif»'*reiiee OA. La p<»sition de la bielle étant en HA an point de départ, supposons ([u'elle prenne la position H'A'; des points B et B' — A et A', abaissons les perpendiculaires BB^ — B'B'j — AAi A'A'j sur

, la direction du chemin

ji J^^-^-v. parcouru par le pied

iT ' ÂT^X ^N, ^® ^'^ bielle; dans ces ^;v.^A. Ti^^tX \ positions les manivelles

^^>, 7"îo ) «ont OA et OA'; par le

*• ^' ^ \; ' y pied B de la bielle BA,

X^.^.,,^^ menons une parallèle Fig. 226. au rayon AO et joignons

le pied B' au point de rencontre C do 'la parallèle à AO, le quadrilatère BA OC est un parallélogramme et comme BA est égal et parallèle à B'A' et à CO la figure B'GOA' sera également un parallélogramme doncB'C sera égal et parallèle à A'O; or les projections de droites égales et parallèles étant [égales, il s'ensuit que les distances h^ B' et A^A/ sont égales et seront égales dans des positions successives pour des arcs égaux parcourus par le centre du bouton de la manivelle.

Dans le mouvement estimé parallèlement à l'axe du cylindre, pour un point quelconque de la bielle et par conséquent de son pied ou du piston relié à la bielle par sa tige, ce mouvement est exactement le même que celui du centre du bouton de la maaivelle projeté sur le prolongement de la tige du piston qui se confond avec la direction de la bielle» le piston étiint à ses points morts.

On peut donc représenter par une courbe les mouvements simultanés du pied de la bielle et du centre du bouton de la manivelle; pour cela, il suffira de diviser la circonférence décrite par ce bouton en un certain nombre de parties égales, 16 par exemple, puis développer cette circonférence selon une ligne droite et si à chaque point de division de cette droite on élève des perpendiculaires égales aux chemins parcourus par la projection du bouton, on obtiendra une courbe sinusoïde en joignant tous ces points; son sommet sera sur la perpendiculaire n" 8. Si l'on cherche des vitesses correspondantes on voit qu'elles sont nulles aux points morts et qu'elles sont maximum quand la manivelle est perpendiculaire à la direction de la bielle; on peut alors calculer qu'elle

est égale à ■ ■' ' • . Comme nous l'avons dit elle devient nulle aux

points morts pour changer de sens et cette particularité est très

DESCRIPTION DBS MACHINES 321

importante au point de vue du fonctionnement des organes; car, si le piston conservait toute sa vitesse avant son renversement de sens, avec toute l'énergie accumulée, et le jeu, que Ton est pratiquement obligé de laisser aux organes, il y aurait des chocs d'autant plus grands que l'énergie serait plus considérable et le jeu un peu plus grand. La transmission, ou la transformation d'un mouvement rectiligne alternatif en circulaire continu par l'emploi de la liaison d'une bielle et d'une manivelle remplit donc le but que l'on s'est imposé et dans de bonnes conditions de fonctionnement.

Nous résumerons donc les différentes relations de la bielle et de la manivelle, sous le rapport de leur rapport de grandeur.

Plus les bielles sont courtes par rapport à leurs manivelles :

1^ Plus les pressions sont grandes sur les glissières ;

2^ Plus l'effort transmis par la tige du piston à la bielle est grand, plus il diffère de ce premier effort;

3^ Plus les vitesses et les espaces parcourus sont îrréguliers.

Comme il n'y a qu'une partie de l'effort transmis par la tige du piston dans la direction de la bielle et la seule qui produise le mouvement, l'autre partie étant normale ne produisant que le frottement, et ce frottement est d'autant plus considérable que le rapport entre la longueur de la bielle et de la manivelle est petit. Pratiquement l'angle du pied de la bielle avec la direction de la tige du piston, est négligeable lorsque la longueur de la bielle est supérieure à sept fois celle de la manivelle; si G repré-

sente la course et L la longueur de la bielle, on écrira -^ < — .

Dans les machines marines où l'on ne dispose pas toujours d'une place suffisante pour avoir un rapport aussi grand, on prend

-r^ compris entre 3 et 5, et généralement on donne à la bielle

quatre fois la longueur de la manivelle. La valeur du sinus de Fangie de la direction de la bielle avec la direction de la tige du piston varie de ii<>30' à 19<^30'; le cosinus de cet angle est compris entre 0,9789 et 0,9436 et la tangente a est comprise entre 0,2035 et 0,3541.

Transport de rén^rgie de la bielle. -— Dans les relations de grandeur entre la bielle et la manivelle, connaissant à un moment donné l'effort qui est transmis par le piston par l'intermédiaire de sa tige, effort donné par une ordonnée de la courbe d'un indicateur, on pourra trouver la fraction utile de cet effort qui produit le mouvement de rotation et la fraction nuisible de cet effort qui produit le frottement. Nous prendrons pour exemple le cas ordinaire d'une bielle dont la longueur égale quatre fois et demie celle de la manivelle. SoitOA le rayon de la manivelle M, et AG la

HACHIMIS 1IARINE8. 21

longueur de la bielle B et OX la direction de Taxe du cylindre ou de la tige du piston et NG TefTort de poussée et de traction exercé alternativement par la tige du piston pendant un tour de la manivelle M. Cet effort NG se décompose en deux : Tun suivant GR, direction de la bielle agissant alors sur la manivelle et produisant la rotation, et Tautre selon GL, normal à la glissière et produisant le frottement et tendant à la faire fléchir. Si ces efforts représentés par des droites, le sont à une certaine échelle à raison d'un certain nombre de kilogrammes par millimètre de longueur, les longueurs RG et GL pourront donc être exprimées en kilogrammes. Puisque la bielle est rigide, nous pourrons transporter l'effort NG ou P en AC sur le prolongement de la bielle. Cet effort appliqué en A au centre du bouton de la manivelle,

\^ ^ Fig. 227.

peut se décomposer en deux, Tun selon la direction de la tangente At et Tautre suivant la manivelle OA en KA. Nous obtiendrons ainsi le rectangle KA^G.

La composante KA agissant par pression sur la manivelle ne fait qu'appuyer Tarbre contre ses coussinets et devient la cause d'un autre frottement ; la composante tangentielle At est donc la seule qui produise la rotation.

Cette composante est nulle aux deux points morts, et tout l'effort transmis par la tige du piston se transforme en pression, en frottement; son intensité maximum pour produire le mouvement est dans la position perpendiculaire à la manivelle, et dans ce cas, son intensité serait égale à l'effort total du piston si la bielle était d'une longueur infinie ou parallèle à l'axe du cylindre. Elevons OE perpendiculaire à la direction du chemin parcouru par le pied de la bielle et abaissons oU perpendiculaire sur la direction du pied de la bielle. Nous avons At := CK d'où At x Ao = CK X Ao = AC X oH ; ces produits représentant le double de la surface du triangle CoA.

Les deux triangles EoH et RGN sont semblables comme ayant leurs côtés perpendiculaires, d'où hyp. oE : hyp. RF :: oH : NG, d'où oE X NG = oH X RG ou oH x AC = oE x P. Donc l'énergie est égale au produit de l'effort selon la direction de la tige du piston multiplié par la perpendiculaire élevée sur la direction du chemin

DESCRIPTION DBS MACHINES

parcouru par cette tige. Si Ton admet que P est constant pour un tour complet ou quatre fois la manivelle, le travail moteur Tm = 4 M X P et si Q représente Teffort tangentiel moyen, Tr = 2rMQ; donc dans le cas d'un mouvement uniforme P x <M =