AVANT-PROPOS

« L'origine la plus naturelle et la plus » élémentaire en même temps que l’on » puisse assigner aux logarithmes, consiste »* à considérer ces quantités comme les » termes d’une progression arithmétique » dont le premier terme est zéro, corres* » pondant aux termes d’une progression

(*) Je fais imprimer ce Mémoire dans la forme et dans les termes oi\ il a été adressé à l’Académie de Bruxelles. Je tiens à constater cette observation , parce que , indépendamment de la question de fond , on trouvera , soit dans l’avantpropos, soit dans le cours de l’ouvrage, quelques idées de réforme qui, tacitement du moins, paraissent avoir obtenu l’assentiment de l’Académie. Ce motif m’a déterminé à ne rien changer à ce Mémoire ; et cette détermination est d’autant plus puissante, que, depuis l’époque oil il a été écrit, les idées dont je parle ont pris dans les applications que j’en ai faites un degré de confirmation qui. ne permet plus le doute à leur égard. Au reste, c’est un objet dont le public sera, j’espère, très prochainement juge.

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» géométrique dont le premier terme est » l’unité. » (M. Pagani, Note sur la théorie des Logarithmes , compte rendu de la séance du 6 avril 1839 de l’Académie royale de Bruxelles, page a 56 . )

Si , en effet, il est vrai que cette origine est la plus naturelle et la plus élémentaire , n’est-on pas en droit de se demander pourquoi elle n’est pour ainsi dire qu’indiquée par tous les auteurs d’éléments, et dans presque toutes les écoles? pourquoi l’on n’en fait mention que pour donner une idée sommaire et très- vague de ce qu’il faut entendre par le mot logarithmes?

pourquoi enfin l’on s’empresse d’ajouter , après en avoir fait connaître les premiers éléments, que plus tard, après une étude plus approfondie de l’algèbre , on sera en mesure de mieux comprendre la théorie des logarithmes, et d’en faire une étude à la fois complète et rigoureuse.

La réponse à toutes ces questions est facile, car nous savons tous que sous le rapport de la rigueur des raisonnements , de

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la complète validité des démonstrations, il y a dans cette partie des éléments beaucoup à desirer ; de sorte que jusqu a ce jour on a été obligé, en désespoir de cause, de remettre après l’étude des exponentielles et après celle des séries, l’examen des théorèmes qui constituent la théorie des logarithmes.

Et cependant le besoin d’appliquer les propriétés des logarithmes , la nécessité de l’usage des tables sont tellement sentis, que , faisant pour cette fois défaut aux premières exigences de la logique, on veut, en France, que les élèves qui se présentent à la plupart des écoles du Gouvernement sachent se servir des tables , bien que leurs connaissances sur la théorie soient fort incomplètes, puisqu’on ne leur demande rien de plus en algèbre que la partie de cette science qui s’arrête à la résolution des équations du second degré.

On peut donc dire avec raison qu’une théorie à la fois naturelle, élémentaire et rigoureuse des propriétés des logarithmes

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est une chose qui manque complètement à la science, et qu’en présence de la nécessité bien reconnue de l’usage des tables logarithmiques, une semblable théorie serait d’une incontestable utilité.

Tel est le but que je me suis proposé d’atteindre dans la composition du Mémoire que je présente au jugement de l’Académie. J’ai voulu ramener toutes les propriétés des logarithmes au point de départ signalé par M. Pagani, à la comparaison des deux progressions; mais j’ai voulu en même temps, dans la marche que j’ai suivie, m’assujétir à ne faire aucun pas qui ne fût appuyé sur les règles solides des raisonnements les plus rigoureux, sans qu’il fût nécessaire, pour trouver cet appui, d’aller au-delà des notions les plus élémentaires de l’analyse. Peut-être trouvera-t-on que j’ai atteint ce but, puisque la résolution des équations du premier degré m’a suffi pour tout démontrer.

Toutefois, ce n’est point par un vain désir de triompher de quelques difficultés

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d’analyse que j’ai consacré à ce travail quatre années d’études , et à Dieu ne plaise qu’on ne voulût y voir qu’un exercice sur quelques artifices de calcul : envisagé sous ce point de vue, il serait peu digne de l’attention de l’Académie, et son mérite à mes propres yeux serait presque complètement effacé.

Mais ce travail est le résultat de cette pensée, que l’étude de la véritable philosophie de la science conduit à des enseignements plus utiles et plus simples que le jeu des formules algébriques 5 et, comme je l’ai dit dans le cours de # ce Mémoire, il y a toute cette différence entre les deux méthodes que je compare ici , que celle dont j’ai fait usage, celle que je cherche à appliquer constamment dans mes études, a pour but de faire comprendre le pourquoi d’une vérité, tandis que l’autre ne va presque jamais au-delà du parce que .

Peut-être ces observations ne paraîtrontelles pas dépourvues d’opportunité, à une

époque où les écrits des géomètres ne consistent guère qu’en des accumulations de formules. Il semble que dans la recherche de la vérité on ne veut tenir compte que de l’exactitude mathématique, et qu’on a peu compris l’importance d’un mode d’investigation philosophique, soit pour donner aux résultats obtenus leur véritable interprétation , soit pour en faire une application convenable à l’étude des faits naturels. Aussi , de nos jours , dans la science réputée exacte par excellence , le doute est-il parvenu à s’introduire. Combien ne pourrais-je pas citer de résultats obtenus sous des formes algébriques que nous croyons devoir admettre comme exacts , et qui cependant se refusent à des interprétations rationnelles. Que penser , en effet , sous le point de vue philosophique, du cas appelé irréductible dans les équations du troisième degré? Que dire, sous le même point de vue, de la forme problématique des racines de l’équation x*= i ? Peuton accepter autrement que comme un

fait algébrique cette singulière relation

et savons-nous à quelle considération de philosophie naturelle elle pourrait s’appliquer? Enfin , dans le nombre des choses créées, y en a-t-il une ou plusieurs à la supputation desquelles puissent se prêter les formes que nous nommons imagi- ' naires? Ainsi, sans même sortir du domaine de l’algèbre ordinaire, il faut reconnaître que nous sommes entourés de mystères, et que se restreindre exclusivement à l’étude des formules algébriques, c’est se condamner à subir les lois de quelques formes symboliques plutôt que celles de la raison. Que serait-ce si nous jetions un coup d’œil sur le calcul infinitésimal:' Ici il ne faudrait pas aller bien avant pour se trouver en face de graves difficultés; les premiers pas que l’on fait dans son exposition ne révèlent-ils pas entre les auteurs des divergences inexplicables? Et, pour

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n’en citer qu’un seul exemple, les considérations d’infiniment* petits, qui jusqu’à ce jour ont été tolérées comme une concession de l’esprit et dans des vues purement intellectuelles , devront-elles , d’après un célèbre géomètre des temps modernes , être acceptées comme une réalité aussi incontestable que la lumière de l’astre qui nous éclaire? (*)

Au reste, qu’on ne m’accuse point, et pour tous les esprits sains cette observation est presque oiseuse , qu’on ne m’accuse point d’hostilité contre les ressources que fournissent les procédés algébriques : et moi-même, dans le cours de ce Mémoire, n’ai-je pas donné la preuve de l’utilité de leur emploi? Je ne veux m’élever ici que contre l’abus de ces procédés , contre

(*) Dans un ouvrage intitulé : Études philosophiques sur ta science du calcul, j’ai directement abordé toutes ces <[uestions , et je crois être parvenu à soulever le voile qui , jusqu’à présent, en a recouvert la solution. Cet ouvrage est soumis en ce moment à l’examen de l’Académie des Sciences.

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l’emploi presque exclusif qu’on en fait , contre cet usage qui tend à faire prévaloir l’analyse des signes et expressions algébriques sur cette analyse de raisonnement , de laquelle dépendent essentiellement les progrès de la science.

On fait maintenant, pour les études mathématiques, ce qu’à une époque bien éloignée on faisait pour les recherches chimiques. Procédant au hasard dans leurs opérations, combinant sans intelligence et sans but les divers corps, les chimistes manipulaient , et rarement une idée-mère servait de base et de guide à leurs travaux.

Aujourd’hui cette science n’accepte plus pour maître le hasard ; les manipulations ne sont plus destinées à ouvrir la marche , mais à l’éclairer : c’est le génie de l’homme qui donne l’impulsion, c’est toujours lui qui préside aux phases diverses des opérations.

Or, ce que je crois qu’il est utile de proclamer, c’est que nos géomètres veuillent bien ne pas se borner à n’être que des manipulateurs de formules, qu’ils veuillent

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bien nous initier dans les secrets de leurs découvertes autrement que par des signes d’opérations, et que, descendant de ces hauteurs à qui personne ne refusera le titre de transcendantes , ils fassent quelques efforts pour nous expliquer, en langue vulgaire, leurs procédés, leurs résultats et le degré d’importance des uns et des autres dans le domaine des applications.

Ces explications m’ont paru nécessaires pour faire comprendre comment j’ai procédé dans mes études, quelle est la tendance générale des investigations auxquelles je me suis livré, et dans quel esprit ce Mémoire a été rédigé. Je ne dirai rien ici de mon plan; je renvoie , pour cet objet, à la table des matières : cette table, à mon avis, doit être , dans tout ouvrage , l’indicateur le plus fidèle de l’ordre dans lequel ces matières ont été disposées : il doit emporter avec lui la justification du plan d’exposition.

On comprendra facilement, après avoir lu ce qui précède, que je ne devais point

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avoir pour but de présenter à l’Académie un ouvrage complet sur l’emploi des logarithmes , et qu’il devenait par conséquent inutile d’entrer dans les détails ordinaires de la construction et de l’usage des tables.

A quelques différences près, ces détails doivent presque toujours se ressembler.

En effet , ils sont une conséquence de la théorie; et les vérités de cette théorie sont immuables , quel qu’ait été le mode qu’on a adopté pour les démontrer. Ce n’est pas que l’on ne puisse trouver , dans ce mode même , quelques procédés favorables pour faciliter dans la pratique les opérations; mais chacun sera à peu près sûr de les déduire lui-même des principes posés.

L’objet principal que j’avais en vue était de soumettre à l’examen de l’Académie ma méthode d’exposition. Telle est, dans mon travail , la part qui lui est destinée : peutêtre trouvera-t-elle que sous ce rapport j’aurais pu lui épargner certains détails ; mais je la prie de ne pas perdre de vue que ce qui est aujourd’hui soumis à sa